Průběh napětí a proudu na spotřebiči

Úloha číslo: 514

Na následujících grafech je znázorněn průběh napětí na spotřebiči a proudu tímto spotřebičem.

1)

Průběh napětí a proudu

2)

Průběh napětí a proudu

3)

Průběh napětí a proudu

Pro všechny případy určete:

a) frekvenci zdroje,

b) maximální hodnotu a efektivní hodnotu napětí a proudu,

c) jak velký je fázový posun mezi napětím a proudem a zda u spotřebiče převládá induktance nebo kapacitance.

d) Napište vztahy pro okamžitou hodnotu proudu a napětí.

  • Nápověda – efektivní hodnota

    Definice: Efektivní hodnota střídavého napětí odpovídá hodnotě stejnosměrného napětí, které v daném obvodu vykoná za stejný čas (mnoho period) stejnou práci jako napětí střídavé (podrobněji viz úloha Výkon střídavého proudu v rezistoru).

    Najděte si vztah mezi maximální a efektivní hodnotou střídavého harmonického napětí.

  • Nápověda – kapacitní a indukční charakter

    Má-li spotřebič indukční charakter, znamená to, že induktance daného spotřebiče je větší v porovnání s jeho kapacitancí. Převládá-li induktance, napětí na spotřebiči předbíhá proud.

    Analogicky: Má-li spotřebič kapacitní charakter, znamená to, že kapacitance daného spotřebiče je větší v porovnání s jeho induktancí. Převládá-li kapacitance, napětí na spotřebiči se zpožďuje za proudem.

  • Nápověda – průběh střídavého napětí a proudu

    Průběh střídavého napětí popisujeme obecně pomocí rovnice:

    \[ u(t) = U_{max}\, \sin( 2 \pi f t + \varphi_u ), \]

    kde Umax je maximální hodnota amplitudy napětí, f frekvence napětí zdroje a φu je počáteční fáze napětí.

    Průběh napětí

    Rovnici pro průběh proudu určíme stejně.

    Pozn.: Počáteční fáze proudu φi či napětí φu neodpovídá fázovému posunu φ mezi proudem a napětím. Mezi těmito veličinami platí vztah:

    \[ {\varphi}= {\varphi}_u - {\varphi}_i. \]
  • Řešení grafu č.1

    a) Frekvence napětí zdroje

    Frekvenci f určíme jako převrácenou hodnotu periody T, která udává dobu trvání jednoho opakování periodického děje.

    Průběh napětí a proudu

    Z grafu je zřejmé, že perioda T je rovna 20 ms, protože za tuto dobu dosáhne napětí všech možných hodnot.

    Tedy platí:

    \[ f= \frac{1}{T}, \]

    dosadíme číselně:

    \[ f= \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}02}\,\mathrm Hz= 50\,\mathrm Hz . \]

    b) Maximální a efektivní hodnota napětí a proudu zdroje

    Maximální hodnotu napětí i proudu odečteme přímo z grafu:

    Průběh napětí a proudu
    \[ U_{max}=5\,\mathrm V,\] \[ I_{max}=0{,}25\,\mathrm A.\]

    Mezi maximální a efektivní hodnotou střídavého napětí (resp. proudu) platí vztah:

    \[ U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt 2}, \] \[ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt 2}, \]

    dosadíme číselně:

    \[ U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt 2}=\frac{5}{\sqrt 2}\,\mathrm V \dot=3{,}5 \,\mathrm V , \] \[ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt 2}=\frac{0{,}25}{\sqrt 2}\,\mathrm A \dot=0{,}18 \,\mathrm A . \]

    c) Kapacitní a indukční charakter a fázový posun mezi napětím a proudem

    Zda má střídavý obvod kapacitní nebo indukční charakter poznáme z grafu podle toho, zda napětí předbíhá proud nebo se naopak za proudem zpožďuje.

    Fázový posun mezi napětím a proudem

    V tomto případě jako první dosáhne svého maxima napětí v čase 5 ms (proud dosáhne maxima až v čase kolem 8 až 9 ms). Takže napětí předbíhá proud → tento obvod má indukční charakter.

    Fázové posunutí φ napětí vůči proudu tedy bude kladné. Z grafu je vidět, že fázový posun je zcela určitě v intervalu (0, π/2) a můžeme odhadnout, že jeho hodnota je přibližně π/3.


    d) Vztahy pro okamžitou hodnotu proudu a napětí

    Pro okamžitou hodnotu napětí platí:

    \[ u(t) = U_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_u ) \]

    a pro okamžitou hodnotu proudu:

    \[ i(t) = I_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_i). \]

    Počáteční fázi napětí i proudu určíme z grafu:

    \[\varphi_u = 0\] \[\varphi_i \dot{=} -\frac{\pi}{3}. \]

    Dosadíme číselné hodnoty do obecných vyjádření:

    \[ u(t) =5\cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 50 \cdot t )\,\mathrm V =5\cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t )\,\mathrm V, \] \[ i(t) \dot= 0{,}25 \cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 50 \cdot t - \frac{\pi}{3})\,\mathrm A = 0{,}25 \cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t - \frac{\pi}{3})\,\mathrm A. \]

    Pro úplnost si ověříme vztah mezi počátečními fázemi napětí a proudu a fázovým posunutím:

    \[\varphi = {\varphi}_u - {\varphi}_i = 0- (- \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} .\]
  • Řešení grafu č.2

    a) Frekvence napětí zdroje

    Průběh napětí a proudu

    Z grafu je zřejmé, že perioda T je rovna 40 ms a tedy platí:

    \[ f= \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}04}\,\mathrm Hz= 25\,\mathrm Hz . \]

    b) Maximální a efektivní hodnota napětí a proudu zdroje

    Maximální hodnotu napětí i proudu odečteme rovnou z grafu:

    Průběh napětí a proudu
    \[ U_{max}=100\,\mathrm V,\] \[ I_{max}=0{,}2\,\mathrm A\]

    a dosadíme do vztahů mezi maximální a efektivní hodnotou střídavého napětí (resp. proudu):

    \[ U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt 2}=\frac{100}{\sqrt 2}\,\mathrm V \dot=71 \,\mathrm V , \] \[ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt 2}=\frac{0{,}2}{\sqrt 2}\,\mathrm A \dot=0{,}14 \,\mathrm A . \]

    c) Kapacitní a indukční charakter a fázový posun mezi napětím a proudem

    Průběh napětí a proudu

    V tomto případě jako první dosáhne svého maxima proud. Takže napětí se zpožďuje za proudem a tento obvod má kapacitní charakter.

    Z grafu je vidět, že fázový posun φ mezi napětím a proudem bude přibližně − π/2.


    d) Vztahy pro okamžitou hodnotu proudu a napětí

    Pro okamžitou hodnotu napětí platí:

    \[ u(t) = U_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_u) \]

    a pro okamžitou hodnotu proudu:

    \[ i(t) = I_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_i). \]

    Počáteční fázi napětí i proudu určíme z grafu:

    \[\varphi_u = 0,\] \[\varphi_i = \frac{\pi}{2}. \]

    Dosadíme číselné hodnoty, které jsme získali výše:

    \[ u(t) =100\cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 25 \cdot t)\,\mathrm V =100\cdot \sin(50\cdot \pi \cdot t)\,\mathrm V, \] \[ i(t) = 0{,}2 \cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 25 \cdot t + \frac{\pi}{2})\,\mathrm A = 0{,}2 \cdot \sin(50\cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})\,\mathrm A. \]

    Pro úplnost ověříme vztah počátečními fázemi napětí a proudu a fázovým posunutím:

    \[\varphi = {\varphi}_u - {\varphi}_i = 0- \frac{\pi}{2} =- \frac{\pi}{2} .\]
  • Řešení grafu č.3

    a) Frekvence napětí zdroje

    Průběh napětí a proudu

    Z grafu je zřejmé, že perioda T je rovna 20 ms a tedy platí:

    \[ f= \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}02}\,\mathrm Hz= 50\,\mathrm Hz . \]

    b) Maximální a efektivní hodnota napětí a proudu zdroje

    Průběh napětí a proudu
    \[ U_{max}=10\,\mathrm V,\] \[ I_{max}=0{,}5\,\mathrm A.\]

    Po dosazení do vztahů mezi maximální a efektivní hodnotou střídavého napětí (resp. proudu) dostáváme:

    \[ U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt 2}=\frac{10}{\sqrt 2}\,\mathrm V \dot=7{,}1 \,\mathrm V , \] \[ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt 2}=\frac{0{,}5}{\sqrt 2}\,\mathrm A \dot=0{,}36 \,\mathrm A . \]

    c) Kapacitní a indukční charakter a fázový posun mezi napětím a proudem

    Průběh napětí a proudu

    V tomto případě jako první dosáhne svého maxima napětí. Takže napětí předbíhá proud a tento obvod má indukční charakter.

    Z grafu je vidět, že fázový posun φ mezi napětím a proudem bude přibližně π/2.


    d) Vztahy pro okamžitou hodnotu proudu a napětí

    Pro okamžitou hodnotu napětí platí:

    \[ u(t) = U_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_u) \]

    a pro okamžitou hodnotu proudu:

    \[ i(t) = I_{max}\, \sin(2 \pi f t + \varphi_i). \]

    Počáteční fázi napětí i proudu určíme z grafu:

    \[\varphi_u \cdot= - \frac{\pi}{2}\] \[\varphi_i = -\pi . \]

    Dosadíme číselné hodnoty, které jsme získali výše:

    \[ u(t) \dot= 10\cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 50 \cdot t - \frac{\pi}{2})\,\mathrm V= 10\cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t - \frac{\pi}{2})\,\mathrm V, \] \[ i(t) = 0{,}5 \cdot \sin(2\cdot \pi \cdot 50 \cdot t -\pi )\,\mathrm A.= 0{,}5 \cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t -\pi )\,\mathrm A \]

    Pro úplnost si ověříme vztah mezi počátečními fázemi napětí a proudu a fázovým posunutím:

    \[\varphi = {\varphi}_u - {\varphi}_i = -\frac{\pi}{2} - (-\pi) = \frac{\pi}{2} .\]
  • Odpověď

    Výsledky úlohy jsou pro přehlednost seřazeny v následujících tabulkách:

    graf č.1 graf č.2 graf č.3
    frekvence f 50 Hz 25 Hz 50 Hz
    maximální hodnota napětí Umax 5 V 100 V 10 V
    maximální hodnota proudu Imax 0,25 A 0,2 A 0,5 A
    maximální hodnota napětí Uef 3,5 V 71 V 7,1 V
    maximální hodnota proudu Ief 0,18 A 0,14 A 0,36 A
    fázové posunutí mezi napětím a proudem φ π/3 − π/2 π/2
    charakter obvodu indukční kapacitní indukční

    Tabulka pro rovnice okamžitého průběhu napětí:

    okamžitý průběh napětí u(t), okamžitý průběh proudu i(t)
    graf č.1 \[ u(t) =5\cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t )\,\mathrm V \] \[ i(t) \,\dot=\, 0{,}25 \cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t - \frac{\pi}{3})\,\mathrm A \]
    graf č.2 \[ u(t) =100\cdot \sin(50\cdot \pi \ \cdot t)\,\mathrm V \] \[ i(t) \,\dot=\, 0{,}2 \cdot \sin(50\cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})\,\mathrm A \]
    graf č.3 \[ u(t) \,\dot=\, 10\cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t - \frac{\pi}{2})\,\mathrm V, \] \[ i(t) = 0{,}5 \cdot \sin(100\cdot \pi \cdot t -\pi )\,\mathrm A. \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha na zjišťování faktů
Úloha na překlad, transformaci
Zaslat komentář k úloze