Koaxiální kabel
Úloha číslo: 249
Koaxiální kabel se sestává ze dvou velmi dlouhých souosých válcových trubek, oddělených (lineárním) materiálem o magnetické susceptibilitě χm. Proud I teče vnitřním vodičem a vrací se nazpět vodičem vnějším. Najděte indukci magnetického pole v oblasti mezi válcovými vodiči.
Spočtěte magnetizaci a vázané proudy. Ověřte, že vytvářejí „správné“ (tj. dříve vypočtené) pole.
Rozbor
Známe volné proudy tekoucí po vnitřním i vnějším vodiči. Z nich můžeme vypočítat intenzitu magnetického pole v prostředí mezi oběma vodiči. Protože situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, můžeme k tomuto výpočtu výhodně použít Ampérův zákon celkového proudu — ve verzi s magnetickou intenzitou a volnými proudy. Ze symetrie situace totiž vyplývá, že vektor magnetické intenzity se bude obtáčet kolem osy kabelu (obdobně jako tomu je u magnetického pole dlouhého přímého vodiče) a jeho velikost bude záležet pouze na vzdálenosti od osy kabelu.
Jestliže vypočteme magnetickou intenzitu pole v prostředí, využitím linearity látky v koaxiálním kabelu jednoduše určíme také magnetickou indukci a magnetizaci materiálu.
Máme-li určenu magnetizaci, spočteme z ní přímo objemové a plošné vázané proudy, které této magnetizaci odpovídají.
Vzhledem k tomu, že magnetizace je v lineární izotropní látce přímo úměrná magnetické intenzitě, můžeme již nyní z popsaných vlastností usoudit, že plošné vázané proudy u vnitřního, resp. vnějšího vodiče budou mít stejný směr jako proudy, které na vodičích tečou volně.
Pokud tedy vázané proudy symetrii situace neporuší (a k tomu není důvod), pak můžeme pro výpočet pole pomocí vázaných proudů použít analogické úvahy jako na počátku úlohy. Pouze použijeme verzi Ampérova zákona pro magnetickou indukci, která počítá se všemi, tedy volnými i vázanými proudy.
Nápověda – Ampérův zákon
Ampérův zákon celkového proudu pro magnetickou intenzitu a volné proudy má tvar
\[\oint \vec H\,\cdot\, \vec{dl} = I_\mathrm{f},\]kde nalevo integrujeme přes uzavřenou smyčku a napravo je celkový volný proud, který teče plochou této smyčky.
Ampérův zákon celkového proudu pro magnetickou indukci a součet volných i vázaných proudů má tvar
\[\oint \vec B\,\cdot\, \vec{dl} = I_\mathrm{f} + I_\mathrm{b},\]kde nalevo integrujeme opět přes uzavřenou smyčku a napravo je součet celkového volného a vázaného proudu, který teče plochou této smyčky.
Nápověda – intenzita, indukce a magnetizace
Mezi magnetizací a magnetickou intenzitou v lineárním prostředí platí vztah
\[\vec M = \chi_\mathrm{m}\vec H,\]kde χm je magnetická susceptibilita materiálu.
Mezi magnetickou susceptibilitou χm a relativní permeabilitou μr materiálu platí vztah
\[\mu_\mathrm{r} = 1+\chi_\mathrm{m}.\]Mezi magnetickou indukcí a magnetickou intenzitou v lineárním prostředí pak platí
\[\vec B = \mu \vec H = \mu_0\mu_\mathrm{r}\vec H = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\vec H = \mu_0\vec H + \mu_0\vec M.\]Nápověda – vázané proudy a magnetizace
Hustota objemového vázaného proudu v látce a vektor magnetizace souvisí skrze (definiční) vztah
\[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M.\]Hustota plošného vázaného proudu v látce a vektor magnetizace souvisí skrze (definiční) vztah
\[\vec k_\mathrm{b} = \vec M\times\vec n_0,\]kde \(\vec n_0\) je vektor jednotkové vnější normály v daném místě povrchu.
Řešení
Z válcové symetrie a nekonečné délky vodičů plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečně dlouhého přímého drátu) a navíc její velikost závisí pouze na vzdálenosti s od osy.
Podle Ampérova zákona celkového proudu aplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu kabelu se středem v ose a poloměrem s dostaneme, že ve vnitřním válci je intenzita nulová (smyčkou neteče žádný proud), vně vnějšího válce také (celkový proud je nulový, poněvadž to, co proteče vnitřním vodičem, se vnějším vrátí). Mezi válci dostaneme
\[\oint\vec H\cdot d\vec l = I\] \[H\cdot 2\pi s = I\] \[H = \frac{I}{2\pi s}\]
Ve válcových souřadnicích můžeme pro vektor intenzity \(\vec H\) psát (osu kabelu položíme do osy z a směr proudu vnitřním vodičem bude směrem kladné poloosy z)
\[\vec H = \frac{I}{2\pi s}\vec \phi,\]kde \(\vec \phi\) je jednotkový vektor.
Pro magnetickou indukci \(\vec B\) v lineárním prostředí uvnitř kabelu pak platí
\[\vec B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\vec H = \frac{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})I}{2\pi s}\vec\phi\]a pro magnetizaci \(\vec M\) dostáváme
\[\vec M = \chi_\mathrm{m}\vec H = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi s}\vec\phi.\]Při výpočtu vázaných proudů si nejprve uvědomme, že vektor magnetizace \(\vec M\) má směr magnetické indukce, tedy rotuje kolem pláště válce proti směru hodinových ručiček.
Pro hustotu \(\vec j_\mathrm{b}\) objemového vázaného proudu platí ve všech místech
\[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \vec 0.\]Uvnitř vnitřního vodiče a vně kabelu je zřejmé objemový vázaný proud nulový, neboť tam je \(\vec M = \vec H = 0\). V prostředí mezi válci pak má magnetizace \(\vec M\) složky
\[M_\mathrm{s} = M_\mathrm{z} = 0, \qquad M_\phi = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi s}\]a použitím operátoru rotace ve válcových souřadnicích \((s,\phi,z)\) pro jednotlivé složky hustoty vázaného proudu dostáváme
\[j_\mathrm{b,s} = \frac{1}{s}\frac{\partial M_\mathrm{z}}{\partial\phi}-\frac{\partial M_\phi}{\partial z} = 0-\frac{\partial }{\partial z}\left( \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi s}\right) = 0-0 = 0,\] \[j_\mathrm{b,\phi} = \frac{\partial M_\mathrm{s}}{\partial z}-\frac{\partial M_\mathrm{z}}{\partial s} = 0-0 = 0,\] \[j_\mathrm{b,z} = \frac{1}{s}\frac{\partial (sM_\phi)}{\partial s}-\frac{1}{s}\frac{\partial M_\mathrm{s}}{\partial \phi} = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi}\right)-0 = 0-0 = 0.\]Vidíme, že i v prostoru mezi válci je hustota objemového vázaného proudu nulová.
Nyní počítejme hustotu plošného vázaného proudu \(\vec k_\mathrm{b}\) na povrchu vnitřního i vnějšího vodiče. Označme \(\vec n_0\) jednotkový vektor vnější normály k těmto vodičům. Pro vnitřní vodič platí
\[\vec k_\mathrm{b1} = \vec M\times \vec n_0 = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi a}\,\vec z\]a pro vnější vodič
\[ \vec k_\mathrm{b2} = \vec M\times \vec n_0 = -\frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi b}\,\vec z,\]kde \(\vec z\) je jednotkový vektor válcových souřadnic (viz obrázek výše). Podle pravidla pravé ruky dostáváme, že na obou pláštích teče „vázaný“ proud stejným směrem jako „volný“ proud, pouze s pozměněnou velikostí.
Výpočet magnetické indukce z celkového proudu
Nyní uvažujme, že mezi válci je vakuum a po vodičích tečou kromě skutečných ještě vázané proudy. Vypočteme, jaké by vytvářely magnetické pole.
Pomocí Ampérova zákona, analogickou úvahou jako na počátku úlohy, dojdeme k závěru, že uvnitř vnitřního vodiče a vně kabelu je pole nulové. Myšlenou kruhovou smyčkou totiž uvnitř vnitřního vodiče neteče žádný proud. Pokud naopak obepíná celý kabel, potom se volné a vázané proudy navzájem odečtou. Velikost celkového vázaného proudu na vnitřním vodiči je totiž
\[I^,_1 = k_\mathrm{b1}\cdot 2\pi a = \chi_\mathrm{m}I\]a velikost celkového vázaného proudu na vnějším vodiči je
\[I^,_2 = k_\mathrm{b2}\cdot 2\pi b = -\chi_\mathrm{m}I.\]Stejně jako u volných proudů tedy platí, že jsou stejně veliké a mají opačný směr.
Zbývá určit magnetickou indukci mezi válcovými vodiči. Pro kruhovou smyčku se středem v ose kabelu a poloměru s, kde b > s > a, pak podle Ampérova zákona (ve vakuu) platí (při použití analogických úvah o symetrii jako na začátku úlohy)
\[\frac{1}{\mu_0}\oint\vec B\cdot d\vec l = I_\mathrm{celk},\] \[\frac{1}{\mu_0}B\cdot 2\pi s = I+k_\mathrm{b}\cdot (2\pi a),\] \[\frac{1}{\mu_0}B\cdot (2\pi s) = I + \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi a}2\pi a = (1+\chi_\mathrm{m})I,\] \[B = \frac{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})I}{2\pi s} = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})H,\]což je výsledek shodný s výsledkem dosaženým předchozím postupem.
Výsledky
Ve válcových souřadnicích můžeme pro vektor intenzity \(\vec H\) psát (osu kabelu položíme do osy z a směr proudu vnitřním vodičem bude směrem kladné poloosy z)
\[\vec H = \frac{I}{2\pi s}\vec \phi.\]Pro magnetickou indukci v lineárním prostředí pak platí
\[\vec B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\vec H = \frac{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})I}{2\pi s}\vec\phi\]a pro magnetizaci vnitřku drátu máme
\[\vec M = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi s}\vec\phi.\]Pro hustotu \(\vec j_\mathrm{b}\) objemového vázaného proudu platí ve všech místech
\[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \vec 0.\]Co se týče hustoty plošného vázaného proudu, pro vnitřní vodič platí
\[\vec k_\mathrm{b1} = \vec M\times \vec n_0 = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi a}\,\vec z_0\]a pro vnější vodič máme
\[ \vec k_\mathrm{b2} = \vec M\times \vec n_0 = -\frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi b}\,\vec z_0.\]Velikost celkového vázaného proudu na vnitřním vodiči je
\[I^,_1 = k_\mathrm{b1}\cdot 2\pi a = \chi_\mathrm{m}I\]a velikost celkového vázaného proudu na vnějším vodiči je
\[I^,_2 = k_\mathrm{b2}\cdot 2\pi b = -\chi_\mathrm{m}I.\]Stejně jako u volných proudů tedy platí, že jsou stejně veliké a mají opačný směr.
Aplikací Ampérova zákona pro volné i vázané proudy dostaneme pro magnetickou indukci vztah shodný s výsledkem dosaženým výše.
