Smyčka vzdalující se od vodiče

Úloha číslo: 61

Pevná kovová obdélníková smyčka o rozměrech 5 cm a 10 cm, se vzdaluje od dlouhého přímého vodiče s proudem o velikosti 3 A rychlostí 4 m s-1. Rychlost je kolmá k vodiči. Dvě protilehlé strany a vodič zůstávají neustále rovnoběžné a v jedné rovině. Určete velikost indukovaného elektromotorického napětí ve smyčce v okamžiku, kdy vzdálenost bližší strany od vodiče je 2 cm.

pohybující se vodivá smyčka
  • Nápověda

    Rozmyslete si, jak vypadá vzorec pro elektromotorické napětí indukované ve vodivé smyčce. Co platí pro magnetický indukční tok procházející smyčkou?

  • Rozbor

    Velikost elektromotorického napětí indukovaného ve vodivé smyčce je rovna rychlosti změny magnetického indukčního toku procházejícího plochou této smyčky.

    Změnu magnetického toku si vyjádříme jako rozdíl počátečního a koncového magnetického toku smyčkou při jejím malém posunutí ze zadané polohy.

    Magnetické indukční toky si vyjádříme jako součet toku Φ,, který je společný pro obě polohy smyčky, a toků dΦ1 a dΦ2, o které se smyčky liší.

  • Obrázek

    pohybující se vodivá smyčka

    Pozn.: Jedná se o infinitizimálně malé posunutí vodiče. Pro lepší přehlednost je posunutí v obrázku přehnané.

  • Řešení

    Velikost elektromotorického napětí indukovaného ve vodivé smyčce se rovná rychlosti změny magnetického indukčního toku procházejícího vodivou smyčkou.

    \[U_i=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}\]

    Za dΦ dosadíme rozdíl toků smyčkou v počáteční a koncové poloze

    \[\mathrm{d}\Phi = \Phi_2 -\Phi_1.\]

    Jednotlivé magnetické indukční toky si vyjádříme jako součet toku Φ,, který je společný pro obě polohy smyčky, a toků dΦ1 a dΦ2, o které se obě polohy liší.

    \[\Phi_1 = \Phi^, + \mathrm{d}\Phi_{1}\] \[\Phi_2 = \Phi^, + \mathrm{d}\Phi_{2}\]

    Protože se při odčítání toků v počáteční a koncové poloze odečte „společný tok“ Φ,, vyjádříme si jen toky dΦ1 a dΦ2. Vzhledem k tomu, že plošky, kterými počítáme tok, jsou úzké, můžeme předpokládat, že se v nich nemění velikost magnetické indukce B. Potom pro magnetický indukční tok platí obecný vztah.

    \[\Phi =BS\cos\alpha\]

    kde úhel α je úhel mezi kolmicí na plochu a indukčními čarami. V našem případě je α = 0°, tedy cos α = 1.

    Za velikost magnetické indukce B dosadíme vztah pro magnetickou indukci v okolí dlouhého přímého vodiče

    \[B=\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d},\]

    S je obsah plochy, která ohraničuje magnetický indukční tok. V našem případě je plocha pro dΦ1 i dΦ2 stejná a platí (viz obrázek)

    \[S = b v \mathrm{d}t.\]

    Po dosazení jednotlivých vztahů do rovnic pro Φ1 a Φ2 dostáváme

    \[\Phi_1 = \Phi^, + \,\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d}\,b\,v\,\mathrm{d}t\] \[\Phi_2 = \Phi^, + \,\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d+a}\,b\,v\,\mathrm{d}t.\]

    Po odečtení toků v počáteční a koncové poloze

    \[\mathrm{d}\Phi = \frac{\mu_o Ibvdt}{2\pi} \left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+a}\right).\]

    Nyní již můžeme vyjádřenou změnu indukčního toku dosadit do vzorce pro elektromotorické napětí.

    \[U_i = \frac{\mu_o Ibvdt}{2\pi dt} \left(\frac{1}{d}-\frac {1}{d+a}\right)\]

    Po matematické úpravě dostáváme:

    \[U_i = \frac{\mu_o Ibv}{2\pi}\, \frac{a}{d(d+a)}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(v=4 \,\mathrm{ms^{-1}}\) rychlost vzdalování obdélníkové smyčky
    \(a = 5\,\mathrm{cm}=0{,}05 \,\mathrm{m}\) první rozměr obdélníkové smyčky
    \(b=10\,\mathrm{cm}=0{,}10 \,\mathrm{m} \) druhý rozměr obdélníkové smyčky
    \(d = 2\,\mathrm{cm}=0{,}02 \,\mathrm{m}\) vzdálenost obdélníkové smyčky od přímého vodiče
    \(I = 3\,\mathrm{A}\) proud tekoucí přímým vodičem
    \(|U_i| = \mathrm{?}\,\mathrm{(V)}\) velikost indukovaného elektromotorického napětí ve smyčce

    \[|U_i| = \frac{\mu_o Ibv}{2\pi}\, \frac{a}{d(d+a)}= \frac{4\cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot3{\cdot}0{,}1{\cdot} 4}{2\pi}\,\cdot \frac{0{,}05}{0{,}02\cdot(0{,}02+0{,}05)}\,\mathrm{V} = 8{,}6\,\mathrm{\mu V}\]
  • Odpověď

    Při oddalování smyčky od vodiče se bude v daném místě ve smyčce indukovat elektromotorické napětí Ui = 8,6 μV.

  • Komentář - Řešení pomocí celkového toku smyčkou

    Magnetický indukční tok plochou smyčky je definován:

    \[\Phi=\int{\vec{B}\cdot\,\mathrm{d}\vec{S}}.\]

    Jelikož vektor magnetické indukce je kolmý na plochu smyčky, můžeme integrál psát ve tvaru

    \[\Phi=\int{B}\,\mathrm{d}S.\]

    Za velikost magnetické indukce B dosadíme vztah pro magnetickou indukci dlouhého přímého vodiče ve vzdálenosti x od vodiče.

    \[B = \frac{\mu_o I}{2\pi x}\]

    Protože se vzdálenost vodiče a místa, ve kterém určujeme magnetický indukční tok, mění, zvolíme ji jako proměnnou, kterou budeme integrovat. Element plochy dS si vyjádříme pomocí proměnné vzdálenosti jako dS = b dx.

    Meze, ve kterých se pohybuje vzdálenost od vodiče a ve kterých budeme integrovat, jsou vzdálenosti obou stran smyčky od vodiče. Magnetický indukční tok si tedy můžeme vyjádřit jako

    \[\Phi=\int_d^{d+a}{\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I}{x}\,b\,\mathrm{d}x}.\]

    Konstanty vytkneme před integrál

    \[\Phi=\frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\int_d^{d+a}{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x.\]

    Po jednoduché integraci a dosazení integračních mezí dostáváme

    \[\Phi=\frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\left[\mathrm{ln}\,x \right]_d^{d+a}=\frac{\mu_oIb}{2\pi}\, \mathrm{ln}\frac{d+a}{d}.\]

    Úkolem je určit velikost indukovaného elektromotorického napětí. To vyjádříme jako derivaci magnetického indukčního toku podle času

    \[U_i = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mu_oIb}{2\pi}\, \mathrm{ln}\frac{d+a}{d}\right).\]

    Na čase t závisí pouze proměnná d. Protože se smyčka vzdaluje rovnoměrně, můžeme ji vyjádřit jako

    \[d(t)=vt.\]

    Po dosazení do vzorce pro indukované napětí a vytknutí konstant, nezávislých na čase před derivaci, dostáváme výraz

    \[U_i = -\frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{ln}\frac{vt+a}{vt}\right).\]

    Po zderivování funkce logaritmus, která obsahuje vnitřní funkci (vt+a)/(vt), dostáváme výraz

    \[U_i = -\frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\frac{vt}{vt+a}\,\frac{-av}{(vt)^{2}},\]

    který dále upravíme:

    \[U_i = \frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\frac{1}{vt+a}\,\frac{a}{t}.\]

    Za čas t dosadíme okamžik, kdy smyčka dosáhne požadované vzdálenosti, tj.:

    \[t =\frac{d}{v}\] \[U_i = \frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\frac{1}{d+a}\,\frac{av}{d} = \frac{\mu_oIb}{2\pi}\,\frac{av}{d(d+a)}.\]

    Velikost indukovaného napětí ve smyčce vyšla stejně, i když jsme počítali jiným způsobem.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze