Sbírka řešených úloh

Nabité kuličky po dotyku

Úloha číslo: 715

• Nápověda

  Ve chvíli, kdy se kuličky dotýkají, se začne mezi nimi přemisťovat náboj a rovnoměrně se rozmístí na obě kuličky. Co nám říká zákon zachování náboje o celkové velikosti náboje?

• Rozbor

  Velikost elektrické síly, která na kuličky působí před i po jejich dotyku, vypočítáme z Coulombova zákona.

  Zbývá vyřešit, jaký náboj mají kuličky po vzájemném dotyku.

  Pokud jsou kuličky z nevodivého materiálu, tak se nic nemění ani při dotyku kuliček a na každé kuličce zůstane náboj původní.

  V úloze tedy budeme dále předpokládat, že se jedná o kuličky z vodivého materiálu. Když se vodivé kuličky dotýkají, začne se přesouvat náboj z jedné na druhou tak, aby se rovnoměrně rozdělil na obě kuličky (předpokládáme, že jsou obě kuličky shodné). Zároveň podle zákona zachování náboje platí, že celkový náboj zůstává stejný. Nový náboj kuličky získáme tedy tak, že původní náboje sečteme a poté rozdělíme na polovinu.

• Řešení

  První otázku zodpovíme jednoduše přímým použitím Coulombova zákona. Kuličky se budou přitahovat silou

  \[F_\mathrm{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,.\]

  Po vzájemném dotyku se náboje na obou kuličkách vyrovnají. Protože platí zákon zachování náboje, rozdělí se celkový náboj rovnoměrně na obě kuličky.

  Pro celkový náboj Q, který obě kuličky po dotyku získají, musí být splněn vztah: \[Q\,=\,\frac{Q_1+Q_2}{2}\,.\tag{1}\]

  Obě kuličky budou mít náboje stejné polarity, a proto se budou odpuzovat. Pro velikost odpudivé síly pak platí opět podle Coulombova zákona vztah:

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r_2^2}\,.\]

  Za náboj Q dosadíme ze vzorce (1):

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(\frac{Q_1+Q_2}{2}\right)^2}{r_2^2}.\]

  Po úpravě získáme vztah pro velikost síly, kterou se budou kuličky odpuzovat:

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}.\]

• Zápis a číselný výpočet

  Q₁ = 3,2·10⁻⁶ C

  Q₂ = −5,4·10⁻⁶ C

  r₁ = 16 cm = 0,16 m

  r_2a = 16 cm = 0,16 m

  r_2b = 8 cm = 0,08 m

  F_e1 = ? N

  F_e2 = ? N

  Z tabulek

  ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²N⁻¹m⁻²

  ---

  \[F_\mathrm{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{3{,}2{\cdot}10^{-6} \cdot 5{,}4 {\cdot}10^{-6}}{0{,}16^2}\,\mathrm{N}\] \[F_\mathrm{e1}\,\dot{=}\, 6{,}1\,\mathrm{N}\]

  Pozor – náboje musíme dosadit včetně znaménka!

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}\]

  Síla pro vzdálenost 16 cm:

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{\left(3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)\right)^2}{4{\cdot} 0{,}16^2}\,\mathrm{C}\dot{=}\, 0{,}43\,\mathrm{N}\]

  Síla pro vzdálenost 8 cm:

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{\left(3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)\right)^2}{4{\cdot} 0{,}08^2}\,\mathrm{C}\,\dot{=}\, 1{,}8\,\mathrm{N}\]

  Jsou-li kuličky po dotyku ve stejné vzdálenosti, působí na sebe menší silou než před dotykem. Pokud dáme kuličky do menší vzdálenosti, síla se zvětší, ale stále bude menší než před dotykem kuliček.

  Náboj kuliček po dotyku:

  \[Q\,=\,\frac{Q_1+Q_2}{2}\,=\,\frac{3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)}{2}\,\mathrm{C}\,=\, 1{,}1 {\cdot}10^{-6}\,\mathrm{C}\,.\]

  Síla, kterou se kuličky po dotyku odpuzují, je menší, protože náboj kuliček je pro zadané hodnoty po dotyku menší než na začátku.

• Odpověď

  Kuličky se budou přitahovat silou

  \[F_\mathrm{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,\dot{=}\,6{,}1\,\mathrm{N}.\]

  Po vzájemném dotyku se budou odpuzovat silou o velikosti

  \[F_\mathrm{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}.\]

  Pro vzdálenost 16 cm má síla velikost 0,43 N a pro menší vzdálenost 8 cm má velikost 1,8 N.

• Dynamický prvek

  Následující aplet zobrazuje dvě nabité kuličky a síly na ně působící. Znaménko náboje je zobrazeno barvou a velikost náboje velikostí kuličky. Náboje kuliček se nastavují pomocí posuvníků a vzdálenost posunutím kuliček.

  Úlohy pro práci s aplety

  1. Prozkoumejte, za jakých podmínek se náboje přitahují a za jakých odpuzují.
  2. Nastavte náboje tak, aby jejich vzdálenost byla 4 cm. Poté vzdálenost zdvojnásobte. Kolikrát se změnila elektrická síla? Zkuste pro několik dalších hodnot a odvoďte, jak se mění elektrické síly při změně vzdálenosti bodových nábojů.
  3. Zdvojnásobte první náboj a pozorujte, jak se změní síla. Zkuste pro více hodnot. Zopakujte pro druhý náboj. Odvoďte, jak se mění elektrická síla při změně prvního a druhého náboje.
  4. Nastavte velikost druhého náboje na dvojnásobek prvního. V jakém poměru jsou síly? Vysvětlete, proč tomu tak je.