Nabité kuličky po dotyku

Úloha číslo: 715

Jakou silou se ve vakuu přitahují dvě kuličky s náboji 3,2·10−6 C a −5,4·10−6 C při vzájemné vzdálenosti 16 cm?

Dojde-li ke vzájemnému dotyku, budou se přitahovat či odpuzovat? Jakou silou, je-li vzájemná vzdálenost po dotyku: a) 16 cm, b) 8 cm?

  • Nápověda

    Ve chvíli, kdy se kuličky dotýkají, začne se mezi nimi přemisťovat náboj a rovnoměrně se rozmístí na obě kuličky. Co nám říká zákon zachování náboje o celkové velikosti náboje?

  • Rozbor

    Velikost elektrické síly, která na kuličky působí před i po jejich dotyku, vypočítáme z Coulombova zákona.

    Zbývá vyřešit, jaký náboj mají kuličky po vzájemném dotyku.

    Pokud jsou kuličky z nevodivého materiálu, tak se nic nemění ani při dotyku kuliček a na každé kuličce zůstane náboj původní.

    V úloze tedy budeme dále předpokládat, že se jedná o kuličky z vodivého materiálu. Když se vodivé kuličky dotýkají, začne se přesouvat náboj z jedné na druhou tak, aby se rovnoměrně rozdělil na obě kuličky (předpokládáme, že jsou obě kuličky shodné). Zároveň podle zákona zachování náboje platí, že celkový náboj zůstává stejný. Nový náboj kuličky získáme tedy tak, že původní náboje sečteme a poté rozdělíme na polovinu.

  • Řešení

    První otázku zodpovíme jednoduše přímým použitím Coulombova zákona. Kuličky se budou přitahovat silou

    \[F_{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,.\]

    Po vzájemném dotyku se náboje na obou kuličkách vyrovnají. Protože platí zákon zachování náboje, rozdělí se celkový náboj rovnoměrně na obě kuličky.

    Pro celkový náboj Q, který obě kuličky po dotyku získají, musí být splněn vztah: \[Q\,=\,\frac{Q_1+Q_2}{2}\,.\tag{1}\]

    Obě kuličky budou mít náboje stejné polarity, a proto se budou odpuzovat. Pro velikost odpudivé síly pak platí opět podle Coulombova zákona vztah:

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r_2^2}\,.\]

    Za náboj Q dosadíme ze vzorce (1).

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(\frac{Q_1+Q_2}{2}\right)^2}{r_2^2}\]

    Po úpravě získáme vztah pro velikost síly, kterou se budou kuličky odpuzovat.

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    Q1 = 3,2·10−6 C

    Q2 = −5,4·10−6 C

    r1 = 16 cm = 0,16 m

    r2a = 16 cm = 0,16 m

    r2b = 8 cm = 0,08 m

    Fe1 = ? N

    Fe2 = ? N

    Z tabulek

    ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2


    \[F_{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{3{,}2{\cdot}10^{-6} \cdot 5{,}4 {\cdot}10^{-6}}{0{,}16^2}\,\mathrm{N}\] \[F_{e1}\,\dot{=}\, 6{,}1\,\mathrm{N}\]

    Pozor – náboje musíme dosadit včetně znaménka!

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}\]

    Síla pro vzdálenost 16 cm:

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{\left(3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)\right)^2}{4{\cdot} 0{,}16^2}\,\mathrm{C}\dot{=}\, 0{,}43\,\mathrm{N}\]

    Síla pro vzdálenost 8 cm:

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\,\cdot\,\frac{\left(3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)\right)^2}{4{\cdot} 0{,}08^2}\,\mathrm{C}\,\dot{=}\, 1{,}8\,\mathrm{N}\]

    Jsou-li kuličky po dotyku dotyku ve stejné vzdálenosti, působí na sebe menší silou než před dotykem. Pokud dáme kuličky do menší vzdálenosti, síla se zvětší, ale stále bude menší než před dotykem kuliček.

    Náboj kuliček po dotyku:

    \[Q\,=\,\frac{Q_1+Q_2}{2}\,=\,\frac{3{,}2{\cdot}10^{-6} + \left(- 5{,}4 {\cdot}10^{-6}\right)}{2}\,\mathrm{C}\,=\, 1{,}1 {\cdot}10^{-6}\,\mathrm{C}\,.\]

    Síla, kterou se kuličky po dotyku odpuzují, je menší, protože náboj kuliček je pro zadané hodnoty po dotyku menší než na začátku.

  • Odpověď

    Kuličky se budou přitahovat silou

    \[F_{e1}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r_1^2}\,\dot{=}\,6{,}1\,\mathrm{N}.\]

    Po vzájemném dotyku se budou odpuzovat silou o velikosti

    \[F_{e2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\left(Q_1+Q_2\right)^2}{4r_2^2}.\]

    Pro vzdálenost 16 cm je má síla velikost 0,43 N a pro menší vzdálenost 8 cm má velikost 1,8 N.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Úloha rutinní
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze