Jaké teplo spirála předala?

Úloha číslo: 1665

Laborantka Eva ohřívala vodu v kalorimetru topnou spirálou, kterou napájela stejnosměrným zdrojem. Chtěla zjistit, jaké teplo spirála vodě dodá za čas \(t\), proto multimetry měřila napětí \(U\) na spirále a proud \(I\) jí tekoucí.

Hodnoty pak bez rozmyslu dosadila do vzorečku

\[ Q = UIt. \] S tímto teplem pak dále počítala a zjistila, že například pro měrnou tepelnou kapacitu vody jí nevychází správná hodnota.

Dokázali byste její výsledky zkorigovat, víte-li, že stejnosměrný zdroj nedával napětí konstantní, ale jednalo se o dvoucestně usměrněný harmonický průběh?

Určete kolikrát více nebo méně tepla spirála vodě předala!

  • Rozbor

    Eva při měření předpokládala, že stejnosměrný zdroj dává konstantní napětí. Pokud by tomu tak bylo, pak by naměřené hodnoty napětí a proudu byly hodnotami efektivními a bylo by vše v pořádku.

    Zdroj však poskytoval pouze dvoucestně usměrněný harmonický průběh (bez filtrace), viz obrázek.

    Průběh napětí

    Měřící přístroje na stejnosměrných rozsazích obvykle ukazují hodnoty střední. Tyto střední hodnoty Eva dosadila do vztahu, který je určen pro hodnoty efektivní.

    Abychom zjistili, o kolik při výpočtu předaného tepla chybila, vypočítáme pro průběh na obrázku výše postupně

    • střední hodnoty napětí (a proudu),
    • efektivní hodnoty napětí (a proudu),
    • správné teplo předané spirálou vodě

    a toto teplo porovnáme s chybně určeným teplem Evou.

  • Nápověda 1 – střední hodnoty

    Vypočtěte střední hodnotu napětí a proudu.

    Střední hodnotu napětí počítáme jako

    \[ \bar{u} = \frac{1}{T}\int_0^T u(t)\,\mathrm{d}t. \]
  • Nápověda 2 – efektivní hodnoty

    Vypočtěte efektivní hodnotu napětí a proudu.

    Efektivní hodnotu napětí počítáme jako

    \[ U_\mathrm{ef} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t}. \]
  • Nápověda 3 – porovnání tepel

    Určete správné teplo, které bylo spirálou za čas \(t\) vodě předáno a porovnejte s chybným výpočtem Evy.

  • Odpověď

    Reálně předané a chybně určené teplo jsou ve vztahu \[ Q_\mathrm{spravne} = \frac{\pi^2}{8} Q_\mathrm{chybne} \,\doteq\, 1{,}23\, Q_\mathrm{chybne}. \] Tj. reálně předané teplo je oproti chybnému výpočtu cca o \(23\,\%\) větší.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na řešení problémových situací
Zaslat komentář k úloze