Síla působící na magnetický dipól v magnetickém poli
Úloha číslo: 245
Ukažte, že na ideální magnetický dipól (nekonečně malou proudovou smyčku) o magnetickém dipólovém momentu \(\vec m\) v magnetickém poli \(\vec B\) působí síla
\[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B).\]
Návod na řešení úlohy a vhodné matematické triky naleznete v oddílu Nápověda. Úloha je míněna spíše jako doplněk k teorii, její řešení je obtížné a využívá několik pokročilejších početních technik.
Nápověda
Rozveďte magnetickou indukci v Taylorovu řadu do prvního řádu v místě dipólu \(\vec r_0\):
\[\vec B(\vec r) \approx \vec B(\vec r_0) + [(\vec r-\vec r_0)\cdot\nabla_0]\vec B(\vec r_0),\]kde \(\nabla_0\) značí diferencování operátorem nabla vzhledem k \(\vec r_0\). Dosazením do vztahu pro magnetickou sílu působící na vodič s proudem odvoďte, že
\[\vec F = I\oint d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)]\]a napište vztah pro i-tou složku síly za pomoci Levi-Civitova symbolu:
\[(\vec a\times\vec b)_\mathrm{i} = \sum_\mathrm{j,k}\varepsilon_\mathrm{ijk}a_\mathrm{j}b_\mathrm{k}.\]Dále použijte vztah
\[\oint r_\mathrm{l}dl_\mathrm{j} = \sum_\mathrm{m}\varepsilon_\mathrm{ljm}S_\mathrm{m},\]kde \(\vec S\) značí „vektor plochy smyčky“ při obvyklé konvenci o velikosti a směru. Tento vztah je odvozen v Dodatku.
Při výpočtu bude také užitečná identita
\[\sum_\mathrm{j} \varepsilon_\mathrm{ijk}\varepsilon_\mathrm{ljm} = \delta_\mathrm{il}\delta_\mathrm{km}-\delta_\mathrm{im}\delta_\mathrm{kl}.\]Řešení
Magnetický dipól si představíme jako nekonečně malou proudovou smyčku c v místě \(\vec r_0\). Vzhledem k místu smyčky rozvedeme magnetickou indukci v Taylorovu řadu do prvního řádu
\[\vec B(\vec r) \approx \vec B(\vec r_0) + [(\vec r-\vec r_0)\cdot\nabla_0]\vec B(\vec r_0),\]kde \(\nabla_0\) značí diferencování operátorem nabla vzhledem k \(\vec r_0\). Dosazením do vztahu pro sílu působící na vodič s proudem
\[\vec F = \oint_\mathrm{c} I\,d\vec l\times\vec B =\]a použitím aproximace \(\vec B\) a faktu, že I je konstantní, dostaneme
\[= I\left(\oint_\mathrm{c} d\vec l\right)\times\vec B(\vec r_0) + I\oint_\mathrm{c} d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)] - I\left(\oint_\mathrm{c} d\vec l\right)\times[(\vec r_0\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)],\]protože členy s indexem 0 jsou z hlediska integrování také konstanty a lze jej vytknout mimo integrál. Tudíž v předchozím vztahu první a třetí člen vypadne, neboť při integraci po uzavřené křivce platí, že
\[\oint_\mathrm{c} d\vec l = 0.\]Pro sílu jsme tak získali vztah
\[\vec F = I\oint_\mathrm{c} d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B_0],\]kde jsme zkráceně označili \(\vec B(\vec r_0) = \vec B_0\).
S použitím Levi-Civitova symbolu můžeme psát složku vektorového součinu jako
\[(\vec a\times\vec b)_\mathrm{i} = \sum_\mathrm{j,k}\varepsilon_\mathrm{ijk}a_\mathrm{j}b_\mathrm{k},\]takže i-tou složku síly můžeme napsat ve tvaru
\[F_\mathrm{i} = I\sum_\mathrm{j,k,l}\varepsilon_\mathrm{ijk}\oint_\mathrm{c} r_\mathrm{l}(\nabla_0)_\mathrm{l}(B_0)_\mathrm{k}\,dl_\mathrm{j}.\]Z toho vyplývá, že
\[F_\mathrm{i} = I\sum_\mathrm{j,k,l}\varepsilon_\mathrm{ijk}\left[\oint_\mathrm{c} r_\mathrm{l}dl_\mathrm{j}\right][(\nabla_0)_\mathrm{l}(B_0)_\mathrm{k}].\]Použijeme vztah
\[\oint_\mathrm{c} r_\mathrm{l}dl_\mathrm{j} = \sum_\mathrm{m}\varepsilon_\mathrm{ljm}S_\mathrm{m},\]kde Sm je složka vektoru plochy \(\vec S\) ohraničené proudovou smyčkou c. Poznamenejme, že u magnetického dipólu je tento vektor svázaný s magnetickým momentem pomocí vztahu \(\vec m = I\vec S\), který budeme níže potřebovat.
Dosazením uvedené identity do vztahu pro i-tou složku síly obdržíme
\[F_\mathrm{i} = I\sum_\mathrm{j,k,l,m}\varepsilon_\mathrm{ijk}\varepsilon_\mathrm{ljm}S_\mathrm{m}(\nabla_0)_\mathrm{l}(B_0)_\mathrm{k}.\]Nyní využijeme identity
\[\sum_\mathrm{j} \varepsilon_\mathrm{ijk}\varepsilon_\mathrm{ljm} = \delta_\mathrm{il}\delta_\mathrm{km}-\delta_\mathrm{im}\delta_\mathrm{kl}\]a dostáváme
\[F_\mathrm{i}= I\sum_\mathrm{k,l,m}(\delta_\mathrm{il}\delta_\mathrm{km}-\delta_\mathrm{im}\delta_\mathrm{kl})S_\mathrm{m}(\nabla_0)_\mathrm{l}(B_0)_\mathrm{k} = I\sum_\mathrm{k}[S_\mathrm{k}(\nabla_0)_\mathrm{i}(B_0)_\mathrm{k} - S_\mathrm{i}(\nabla_0)_\mathrm{k}(B_0)_\mathrm{k}] =\] \[=I[(\nabla_0)_\mathrm{i}(\vec S\cdot \vec B_0) - S_\mathrm{i}(\nabla_0 \cdot \vec B_0)].\]Ale \(\nabla_0\cdot\vec B_0 = 0\) je přímo jedna z Maxwellových rovnic, která vyjadřuje, že magnetické pole je nezřídlové. Dosadíme také definiční vztah pro magnetický moment smyčky \(\vec m = I\vec S\). Dostáváme
\[ F_\mathrm{i} = (\nabla_0)_i(\vec m\cdot\vec B_0).\]Odkud vyplývá hledaný vztah
\[\vec F = \nabla_0(\vec m\cdot\vec B_0),\]kde index 0 nám napovídá, že máme diferencovat pole v místě, kde se nachází magnetický dipól.
