Síla působící na magnetický dipól v magnetickém poli

Úloha číslo: 245

Ukažte, že na ideální magnetický dipól (nekonečně malou proudovou smyčku) o magnetickém dipólovém momentu \(\vec m\) v magnetickém poli \(\vec B\) působí síla

\[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B).\]

 

Návod na řešení úlohy a vhodné matematické triky naleznete v oddílu Nápověda. Úloha je míněna spíše jako doplněk k teorii, její řešení je obtížné a využívá několik pokročilejších početních technik.

  • Nápověda

    Rozveďte magnetickou indukci v Taylorovu řadu do prvního řádu v místě dipólu \(\vec r_0\):

    \[\vec B(\vec r) \approx \vec B(\vec r_0) + [(\vec r-\vec r_0)\cdot\nabla_0]\vec B(\vec r_0),\]

    kde \(\nabla_0\) značí diferencování operátorem nabla vzhledem k \(\vec r_0\). Dosazením do vztahu pro magnetickou sílu působící na vodič s proudem odvoďte, že

    \[\vec F = I\oint d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)]\]

    a napište vztah pro i-tou složku síly za pomoci Levi-Civitova symbolu:

    \[(\vec a\times\vec b)_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_jb_k.\]

    Dále použijte vztah

    \[\oint r_ldl_j = \sum_m\varepsilon_{ljm}S_m,\]

    kde \(\vec S\) značí „vektor plochy smyčky“ při obvyklé konvenci o velikosti a směru. Tento vztah je odvozen v Dodatku.

    Při výpočtu bude také užitečná identita

    \[\sum_j \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ljm} = \delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl}.\]
  • Řešení

    Magnetický dipól si představíme jako nekonečně malou proudovou smyčku c v místě \(\vec r_0\). Vzhledem k místu smyčky rozvedeme magnetickou indukci v Taylorovu řadu do prvního řádu

    \[\vec B(\vec r) \approx \vec B(\vec r_0) + [(\vec r-\vec r_0)\cdot\nabla_0]\vec B(\vec r_0),\]

    kde \(\nabla_0\) značí diferencování operátorem nabla vzhledem k \(\vec r_0\). Dosazením do vztahu pro sílu působící na vodič s proudem

    \[\vec F = \oint_c I\,d\vec l\times\vec B =\]

    a použitím aproximace \(\vec B\) a faktu, že I je konstantní, dostaneme

    \[= I\left(\oint_c d\vec l\right)\times\vec B(\vec r_0) + I\oint_c d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)] - I\left(\oint_c d\vec l\right)\times[(\vec r_0\cdot \nabla_0)\vec B(\vec r_0)],\]

    protože členy s indexem 0 jsou z hlediska integrování také konstanty a lze jej vytknout mimo integrál. Tudíž v předchozím vztahu první a třetí člen vypadne, neboť při integraci po uzavřené křivce platí, že

    \[\oint_c d\vec l = 0.\]

    Pro sílu jsme tak získali vztah

    \[\vec F = I\oint_c d\vec l\times[(\vec r\cdot \nabla_0)\vec B_0],\]

    kde jsme zkráceně označili \(\vec B(\vec r_0) = \vec B_0\).

     

    S použitím Levi-Civitova symbolu můžeme psát složku vektorového součinu jako

    \[(\vec a\times\vec b)_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_jb_k,\]

    takže i-tou složku síly můžeme napsat ve tvaru

    \[F_i = I\sum_{j,k,l}\varepsilon_{ijk}\oint_c r_l(\nabla_0)_l(B_0)_k\,dl_j.\]

    Z toho vyplývá, že

    \[F_i = I\sum_{j,k,l}\varepsilon_{ijk}\left[\oint_c r_ldl_j\right][(\nabla_0)_l(B_0)_k].\]

    Použijeme vztah

    \[\oint_c r_ldl_j = \sum_m\varepsilon_{ljm}S_m,\]

    kde Sm je složka vektoru plochy \(\vec S\) ohraničené proudovou smyčkou c. Poznamenejme, že u magnetického dipólu je tento vektor svázaný s magnetickým momentem pomocí vztahu \(\vec m = I\vec S\), který budeme níže potřebovat.

    Dosazením uvedené identity do vztahu pro i-tou složku síly obdržíme

    \[F_i = I\sum_{j,k,l,m}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ljm}S_m(\nabla_0)_l(B_0)_k.\]

     

    Nyní využijeme identity

    \[\sum_j \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ljm} = \delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl}\]

    a dostáváme

    \[F_i = I\sum_{k,l,m}(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl})S_m(\nabla_0)_l(B_0)_k = I\sum_{k}[S_k(\nabla_0)_i(B_0)_k - S_i(\nabla_0)_k(B_0)_k] =\] \[=I[(\nabla_0)_i(\vec S\cdot \vec B_0) - S_i(\nabla_0 \cdot \vec B_0)].\]

    Ale \(\nabla_0\cdot\vec B_0 = 0\) je přímo jedna z Maxwellových rovnic, která vyjadřuje, že magnetické pole je nezřídlové. Dosadíme také definiční vztah pro magnetický moment smyčky \(\vec m = I\vec S\). Dostáváme

    \[ F_i = (\nabla_0)_i(\vec m\cdot\vec B_0).\]

    Odkud vyplývá hledaný vztah

    \[\vec F = \nabla_0(\vec m\cdot\vec B_0),\]

    kde index 0 nám napovídá, že máme diferencovat pole v místě, kde se nachází magnetický dipól.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze