Kotva

Úloha číslo: 209

Kotva z oceli přiléhá k U-jádru z téhož materiálu. Na jádru je navinuta cívka se 600 závity. Průřez jádra je 6,25 cm2, délka střední siločáry 50 cm a relativní permeabilita oceli μr = 1200. Jaký proud musí protékat cívkou, aby kotva byla držena silou 500 N ?

Poznámka: Při odtržení kotvy od jádra uvažujte permeabilitu pole ve vzduchové mezeře rovnu permeabilitě vakua.

kotva a U-jádro
  • Nápověda

    Síla, kterou je kotva držena k jádru, se rovná síle, kterou musíme vynaložit, abychom kotvu odtrhli. Při malém vzdalování kotvy se práce vnějších sil projeví jako přírůstek energie magnetického pole.

  • Rozbor

    Abychom mohli odtrhnout kotvu od jádra cívky, musíme vykonat práci, která je rovna přírůstku energie, uložené v magnetickém poli.

    Práce, kterou vykonáme při odtahování kotvy od jádra, se rovná práci síly, kterou působíme po malé dráze. Energie uložená v magnetickém poli cívky je rovna hustotě energie magnetického pole ve vzduchové mezeře, která vznikne posunutím kotvy.

  • Řešení

    Při odtržení kotvy od jádra cívky musíme vykonat práci dW, která je rovna energii dE, uložené v magnetickém poli vzniklé vzduchové mezery o šířce dx

    \[\mathrm{d}W=\mathrm{d}E.\]

    Práci si vyjádříme jako sílu \(\vec{F}\), kterou působíme ve stejném směru po malé dráze dx. A energii pomocí hustoty energie magnetického pole w v malém objemu dV

    \[F\mathrm{d}x=w\mathrm{d}V.\tag{1}\]

    Pro hustotu energie magnetického pole platí

    \[w=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_o}.\]

    Odvození hustoty energie najdete v dalším oddíle.

    Hustotu energie dosadíme do rovnice (1) a dostáváme vztah

    \[F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_o}\mathrm{d}V.\]

    Infinitezimální objem dV při malém posunutí od jádra si můžeme vyjádřit jako dV = 2Sdx, kde S je průřez jádra. Protože jádro přisedá ke kotvě na dvou místech, musíme uvažovat dvě vzduchové mezery

    \[F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\frac{B^2}{\mu_o}\,2S\mathrm{d}x.\]

    Pro velikost síly, kterou musíme vykonat, aby se kotva odtrhla od ocelového jádra, dostáváme vztah

    \[F=\frac{B^2}{\mu_o}S.\]

    Za velikost magnetické indukce dosadíme výraz pro magnetickou indukci cívky a vezmeme v úvahu, že cívka je namotána na ocelovém jádře o relativní permeabilitě μr

    \[B=\frac{\mu_o \mu_r N I}{l}.\]

    Síla potřebná na odtržení kotvy od jádra je tedy

    \[F=\frac{\mu_o {\mu_r}^2 N^2 I^2S}{l^2}.\]

    Z výrazu pro velikost síly F vyjádříme neznámý proud I, který musí cívkou procházet

    \[I=\frac{l}{\mu_r N}\,{\sqrt{\frac{2F}{\mu_0 S}}}\mathrm{.}\]
  • Odvození hustoty energie magnetického pole w

    Uvažujme cívku s průřezem o obsahu S. V ní sledujeme úsek délky l, ten vymezuje uvnitř cívky objem V o velikosti Sl. Protéká-li cívkou proud I, vytvoří se uvnitř objemu V homogenní pole o velikosti magnetické indukce B. Pole vně cívky je téměř nulové.

    Pro celkovou energii magnetického pole cívky platí vztah

    \[E=\frac{1}{2}LI^2.\]

    Hustotu energie pak můžeme vyjádřit jako

    \[w=\frac{E}{V}=\frac{LI^2}{2Sl}.\]

    Za indukčnost L dosadíme vztah pro indukčnost cívky

    \[L=\mu _0 N^2 lS.\]

    Pro hustotu magnetického pole tedy dostáváme výraz

    \[w=\frac{1}{2}\frac{\mu_0 N^2lS I^2}{Sl}=\frac{1}{2}\mu_0 N^2 I^2.\]

    Uvědomíme-li si, že pro velikost magnetické indukce vně cívky, platí tvar

    \[B=\mu_o N I.\]

    Můžeme výraz pro hustotu energie upravit na tvar

    \[w=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_o}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(N = 600\) počet závitů cívky
    \(\mu_r = 1200\) relativní permeabilita oceli
    \(S = 6{,}25\,\mathrm{cm^{2}}=6{,}25{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}\) průřez jádra cívky
    \(l=50\,\mathrm{cm}=0{,}50\,\mathrm{m}\) délka střední siločáry
    \(F=500\,\mathrm{N}\) síla držící kotvu
    \(I = \mathrm{?}\,\mathrm{(A)}\) proud tekoucí cívkou
    Z tabulek:
    \(\mu_o = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{H m^{-1} }\) permeabilita vakua

    \[I=\frac{l}{\mu_r N}\,{\sqrt{\frac{F}{\mu_0 S}}}=\frac{0{,}5}{1200 {\cdot} 600}\,{\sqrt{\frac{500}{4\cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 6{,}25{\cdot} 10^{-4}}}}\,\mathrm{A}\,\dot{=}\,0{,}554\,\mathrm{A} = 554\,\mathrm{mA}\]
  • Odpověď

    Aby byla kotva k jádru držena silou 500 N, musí cívkou protékat proud o velikosti přibližně 554 mA.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze