Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Kotva

Úloha číslo: 209

Kotva z oceli přiléhá k U-jádru z téhož materiálu. Na jádru je navinuta cívka se 600 závity. Průřez jádra je 6,25 cm2, délka střední siločáry 50 cm a relativní permeabilita oceli μr = 1200. Jaký proud musí protékat cívkou, aby kotva byla držena silou 500 N?

Poznámka: Při odtržení kotvy od jádra uvažujte permeabilitu pole ve vzduchové mezeře rovnu permeabilitě vakua.

kotva a U-jádro
  • Nápověda

    Síla, kterou je kotva držena k jádru, se rovná síle, kterou musíme vynaložit, abychom kotvu odtrhli. Při malém vzdalování kotvy se práce vnějších sil projeví jako přírůstek energie magnetického pole.

  • Rozbor

    Abychom mohli odtrhnout kotvu od jádra cívky, musíme vykonat práci, která je rovna přírůstku energie uložené v magnetickém poli.

    Práce, kterou vykonáme při odtahování kotvy od jádra, se rovná práci síly, kterou působíme po malé dráze. Energie uložená v magnetickém poli cívky je rovna hustotě energie magnetického pole ve vzduchové mezeře, která vznikne posunutím kotvy.

  • Řešení

    Při odtržení kotvy od jádra cívky musíme vykonat práci dW, která je rovna energii dE uložené v magnetickém poli vzniklé vzduchové mezery o šířce dx:

    dW=dE.

    Práci si vyjádříme jako sílu F, kterou působíme ve stejném směru po malé dráze dx. Energii pak vyjádříme pomocí hustoty energie magnetického pole w v malém objemu dV:

    Fdx=wdV.

    Pro hustotu energie magnetického pole platí:

    w=12B2μ0.

    Odvození hustoty energie najdete v dalším oddíle.

    Hustotu energie dosadíme do rovnice (1) a dostáváme vztah:

    Fdx=12B2μ0dV.

    Infinitezimální objem dV při malém posunutí od jádra si můžeme vyjádřit jako dV = 2Sdx, kde S je průřez jádra. Protože jádro přisedá ke kotvě na dvou místech, musíme uvažovat dvě vzduchové mezery:

    Fdx=12B2μ02Sdx.

    Pro velikost síly, kterou musíme vykonat, aby se kotva odtrhla od ocelového jádra, dostáváme vztah:

    F=B2μ0S.

    Za velikost magnetické indukce dosadíme výraz pro magnetickou indukci cívky a vezmeme v úvahu, že cívka je namotána na ocelovém jádře o relativní permeabilitě μr:

    B=μ0μrNIl.

    Síla potřebná na odtržení kotvy od jádra je tedy:

    F=μ0μr2N2I2Sl2.

    Z výrazu pro velikost síly F vyjádříme neznámý proud I, který musí cívkou procházet:

    I=lμrN2Fμ0S.
  • Odvození hustoty energie magnetického pole w

    Uvažujme cívku s průřezem o obsahu S. V ní sledujeme úsek délky l, který vymezuje uvnitř cívky objem V o velikosti Sl. Protéká-li cívkou proud I, vytvoří se uvnitř objemu V homogenní pole o velikosti magnetické indukce B. Pole vně cívky je téměř nulové.

    Pro celkovou energii magnetického pole cívky platí vztah:

    E=12LI2.

    Hustotu energie pak můžeme vyjádřit jako:

    w=EV=LI22Sl.

    Za indukčnost L dosadíme vztah pro indukčnost cívky:

    L=μ0N2lS.

    Pro hustotu magnetického pole tedy dostáváme výraz:

    w=12μ0N2lSI2Sl=12μ0N2I2.

    Uvědomíme-li si, že pro velikost magnetické indukce vně cívky platí tvar:

    B=μ0NI,

    můžeme výraz pro hustotu energie upravit na tvar:

    w=12B2μ0.
  • Zápis a číselné dosazení

    N=600 počet závitů cívky
    μr=1200 relativní permeabilita oceli
    S=6,25cm2=6,25104m2 průřez jádra cívky
    l=50cm=0,50m délka střední siločáry
    F=500N síla držící kotvu
    I=?(A) proud tekoucí cívkou
    Z tabulek:
    μ0=4π107Hm1 permeabilita vakua

    I=lμrNFμ0S=0,512006005004π1076,25104A˙=0,554A=554mA
  • Odpověď

    Aby byla kotva k jádru držena silou 500 N, musí cívkou protékat proud o velikosti přibližně 554 mA.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze