Sbírka řešených úloh

Žárovka v obvodu se střídavým napětím

Úloha číslo: 173

• Zápis

  Ze zadání známe:

  Napětí žárovky:	UZ = 120 V
  Výkon žárovky:	PZ = 100 W
  Napětí zdroje:	U = 220 V
  Frekvenci zdroje:	f = 50 Hz

  Chceme určit vlastnosti součástek, přes které žárovku do obvodu zapojujeme, a výkon dodávaný ze zdroje:

  a) Odpor rezistoru:	R = ? (Ω)
  Výkon dodávaný ze zdroje:	Pa = ? (W)
  b) Indukčnost cívky:	L = ? (H)
  Výkon dodávaný ze zdroje:	Pb = ? (W)
  c) Kapacitu kondenzátoru:	C = ? (F)
  Výkon dodávaný ze zdroje:	Pc = ? (W)

• Nápověda 1

  Zapojit žárovku do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově.

• Nápověda 2

  Jakou další informaci o žárovce můžeme určit, známe-li napětí a výkon, při jakých žárovka pracuje?

• Rozbor

  Připojení žárovky do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově k dané součástce. V sériovém obvodu protéká všemi zařazenými prvky stejný proud, který zjistíme z vlastností žárovky.

  Odpor žárovky je pro všechny tři případy zapojení do obvodu stejný, podobně jako proud protékající obvodem (protože výkon a napětí na žárovce jsou stejné).

  Výkon v obvodu se střídavým proudem závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi napětím a proudem.

  a) Výkon: Máme-li v obvodu zařazen jako impedanci rezistor, je fázový posun mezi proudem a napětím nulový, to znamená, že vzorec pro výpočet výkonu je stejný jako pro obvod s proudem stejnosměrným (uvažujeme efektivní hodnoty napětí a proudu). Výkon vypočítáme z napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem, který jsme získali z vlastností žárovky.

  Odpor rezistoru, přes který je žárovka zařazena v obvodu, vypočteme z Ohmova zákona. Proud rezistorem je stejný jako proud protékající žárovkou, protože se jedná o obvod sériový. Napětí na obou prvcích se sčítá a součet je roven napětí zdroje. Vypočteme napětí na rezistoru a dosadíme do Ohmova zákona, ze kterého vyjádříme impedanci, nebo-li odpor rezistoru.

  b) Indukčnost cívky vypočteme z induktance. Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud. Do vyjádření Ohmova zákona dosadíme známé napětí zdroje a vypočteme celkový proud. Tím získáme celkovou impedanci obvodu, z ní pomocí odporu žárovky získáme induktanci cívky.

  Výkon zdroje v obvodu s cívkou bude stejně velký jako hodnota výkonu žárovky, protože cívka neodebírá ze zdroje žádný činný výkon. To vidíme ve výpočtu výkonu. Výkon závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi nimi. Máme-li zapojenou v obvodu cívku, je na cívce fázový posun mezi napětím a proudem π/2. To znamená, že bude výkon nulový, protože ve vzorci se vyskytuje kosinus tohoto úhlu.

  c) Kapacitu kondenzátoru vypočteme z kapacitance obdobně jako v oddíle b). Jen v Ohmově zákoně impedanci vyjádříme pomocí odporu žárovky a kapacitance kondenzátoru.

  Výkon zdroje v obvodu s kondenzátorem bude stejně velký jako výkon žárovky ze stejných důvodů jako u cívky.

• Řešení - proud v obvodu, odpor žárovky

  Proud protékající obvodem a odpor žárovky mají pro všechna zapojení stejnou hodnotu. Proto si je vypočítáme zvlášť.

  Vzhledem k tomu, že se jedná o sériový obvod, proud protékající obvodem vypočteme z výkonu žárovky a z napětí na žárovce:

  $$I=\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}.$$

  Vyjádříme si odpor žárovky, který budeme potřebovat pro další výpočty. Odpor žárovky vypočteme pomocí vzorce pro vyjádření výkonu:

  $$P_\mathrm{Z}=U_\mathrm{Z}\,I=\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{R_\mathrm{Z}}$$ $$R_\mathrm{Z}=\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}.$$

  ---

  Proud protékající obvodem:

  $$I=\frac{100}{120}\,\mathrm A\,\dot{=}\,0{,}83\,\mathrm A.$$

  Odpor žárovky:

  $$R_\mathrm{Z}=\frac{120^2}{100}\,\mathrm \Omega = 144 \,\mathrm \Omega.$$

• a) Řešení - zapojen rezistor

  Výkon zdroje určíme pomocí napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem:

  $$P_\mathrm{a}=U\,I\,\cos\varphi=U\,I.$$

  Fázový posun mezi proudem a napětím je v obvodu s rezistorem a žárovkou nulový, a proto vzorec pro výkon můžeme přepsat do tvaru, kde kosinus fázového posunu vynecháme.

  Do obecného vyjádření výkonu dosadíme vztah pro proud protékající obvodem:

  $$P_\mathrm{a}=U\,\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}.$$

  Odpor rezistoru vypočteme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud:

  $$R=\frac{U_\mathrm{R}}{I}=\frac{U-U_\mathrm{Z}}{I}.$$

  Obecné řešení je:

  $$R=\frac{U-U_\mathrm{Z}}{\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}}=U_\mathrm{Z}\,\frac{U-U_\mathrm{Z}}{P_\mathrm{Z}}.$$

   

  ---

  Číselné dosazení:

  Výkon zdroje:

  $$P_\mathrm{a}=220\cdot\frac{100}{120}\,\mathrm{W}\,\dot{=}\,183\,\mathrm{W}$$

  Odpor rezistoru:

  $$R=120\cdot\frac{220-120}{100}\,\mathrm \Omega=120\,\mathrm \Omega$$

• b) Řešení - zapojena cívka

  Fázorový diagram:

  

  ---

  Proud v obvodu a odpor žárovky jsme si vyjádřili v samostatném oddíle.

   

  Ohmův zákon pro obvod s cívkou a žárovkou:

  $$U=I\, Z=I\sqrt{\left(R_\mathrm{Z}\right)^2+\left(X_\mathrm{L}\right)^2}.$$

  Vyjádříme induktanci cívky X_L:

  $$\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_\mathrm{Z}\right)^2+\left(X_\mathrm{L}\right)^2}$$ $$X_\mathrm{L}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}$$

  a potom indukčnost cívky L:

  $$2 \pi f L=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}$$ $$L=\frac{\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f}.$$

  Obecné řešení zní:

  $$L=\frac{\sqrt{\left( \frac{U}{\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}} \right)^2-\left(\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{\frac{U_Z}{P_Z}\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{U_\mathrm{Z}\,\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f P_\mathrm{Z}}.$$

  Výkon zdroje se bude rovnat součtu výkonů na žárovce a na cívce:

  $$P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}+P_\mathrm{Z}$$ $$P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}+U_\mathrm{L}\,I\, \cos{\varphi}_\mathrm{L}.$$

  Víme, že fázový posun mezi proudem a napětím v obvodu s cívkou je φ_L = π/2, a proto je výkon na cívce nulový bez ohledu na to, jaké je na cívce napětí a proud. Výkon dodávaný zdrojem do tohoto obvodu tedy bude

  $$P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}.$$

  ---

  Číselné dosazení:

  Indukčnost cívky:

  $$L=\frac{120\,\sqrt{220^2-120^2}}{2\pi\cdot 50 {\cdot} 100}\,\mathrm{H}\,\dot{=}\,0{,}7\,\mathrm H$$

  Výkon dodávaný zdrojem:

  $$P_\mathrm{b}=100\,\mathrm W$$

• c) Řešení - zapojen kondenzátor

  Fázorový diagram:

  

  ---

  Odpor žárovky a proud protékající obvodem jsme vypočítali ve zvláštním oddíle.

  Kapacitu kondenzátoru v obvodu s kondenzátorem a žárovkou vyjádříme z kapacitance pomocí Ohmova zákona:

  $$U=I\,Z$$ $$U=I\sqrt{\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2+\left(X_\mathrm{C}\right)^2}$$ $$\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2+\left(X_\mathrm{C}\right)^2}$$ $$X_\mathrm{C}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2}.$$

  Vyjádříme kapacitu:

  $$\frac{1}{2 \pi f C}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}$$ $$C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}}.$$

  Obecné řešení, kdy dosadíme za proud protékající obvodem a odpor žárovky:

  $$C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{\left(\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}\right)}\right)^2-\left(\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}\right)^2}}=\frac{P_\mathrm{Z}}{2 \pi f U_\mathrm{Z}\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}.$$

  Výkon zdroje odvodíme stejně jako u předchozího oddílu. Tam vidíme, že výkon na kondenzátoru je nulový, protože fázový posun mezi napětím a proudem má hodnotu φ_C = -π/2

  $$P_\mathrm{c}=P_\mathrm{Z}+P_\mathrm{C}=P_\mathrm{Z}+U_\mathrm{C}\,I\, \cos{\varphi}_\mathrm{C}=P_\mathrm{Z}.$$

  ---

  Číselné dosazení:

  Kapacita kondenzátoru:

  $$C=\frac{100}{2\pi \cdot 50 {\cdot} 120 \cdot\sqrt{220^2-120^2}}\,\mathrm F \,\dot{=}\,1{,}43 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm F=14{,}3\,\mathrm{\mu F}$$

  Výkon dodávaný zdrojem:

  $$P_\mathrm{c}=100\,\mathrm {W}$$

• Odpověď

  a) Připojíme-li žárovku přes rezistor, je hodnota odporu rezistoru 120 Ω. Výkon dodávaný zdrojem do takového obvodu má hodnotu asi 183 W.

  b) Připojíme-li žárovku do obvodu přes cívku, je hodnota její indukčnosti přibližně 0,7 H. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení:

  

  c) Připojíme-li žárovku do obvodu přes kondenzátor, je hodnota kapacity tohoto kondenzátoru přibližně 14,3 μH. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení: