Žárovka v obvodu se střídavým napětím

Úloha číslo: 173

Žárovka 120 V, 100 W je přes součástku s impedancí připojena na síť o střídavém napětí 220 V s frekvencí 50 Hz. Předpokládejme, že danou součastkou je:

a) rezistor,
b) cívka,
c) kondenzátor.

Ve všech případech pracuje žárovka při uvedených hodnotách napětí a výkonu. Spočtěte odpor rezistoru, indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru. Určete výkon, který je v jednotlivých případech dodáván ze sítě, nakreslete fázorové diagramy.

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Napětí žárovky:UZ = 120 V
    Výkon žárovky:PZ = 100 W
    Napětí zdroje:U = 220 V
    Frekvenci zdroje:f = 50 Hz

    Chceme určit vlastnosti součástek, přes které žárovku do obvodu zapojujeme, a výkon dodávaný ze zdroje:

    a) Odpor rezistoru:R = ? (Ω)
      Výkon dodávaný ze zdroje:  Pa = ? (W)
    b) Indukčnost cívky:L = ? (H)
      Výkon dodávaný ze zdroje:  Pb = ? (W)
    c) Kapacitu kondenzátoru:  C = ? (F)
      Výkon dodávaný ze zdroje:  Pc = ? (W)

  • Nápověda 1

    Zapojit žárovku do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově.

  • Nápověda 2

    Jakou další informaci o žárovce můžeme určit, známe-li napětí a výkon při jakých žárovka pracuje?

  • Rozbor

    Připojení žárovky do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově k dané součástce. V sériovém obvodu protéká všemi zařazenými prvky stejný proud, který zjistíme z vlastností žárovky.

    Odpor žárovky je pro všechny tři případy zapojení do obvodu stejný, podobně jako proud protékající obvodem (protože výkon a napětí na žárovce jsou stejné).

    Výkon v obvodu se střídavým proudem závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi napětím a proudem.

    a) Výkon: Máme-li v obvodu zařazen jako impedanci rezistor, je fázový posun mezi proudem a napětím nulový, to znamená, že vzorec pro výpočet výkonu je stejný jako pro obvod s proudem stejnosměrným (uvažujeme efektivní hodnoty napětí a proudu). Výkon vypočítáme z napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem, který jsme získali z vlastností žárovky.

    Odpor rezistoru, přes který je žárovka zařazena v obvodu, vypočteme z Ohmova zákona. Proud rezistorem je stejný jako proud protékající žárovkou, protože se jedná o obvod sériový. Napětí na obou prvcích se sčítá a součet je roven napětí zdroje. Vypočteme napětí na rezistoru a dosadíme do Ohmova zákona, ze kterého vyjádříme impedanci, nebo-li odpor rezistoru.

    b) Indukčnost cívky vypočteme z induktance. Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud. Do vyjádření Ohmova zákona dosadíme známé napětí zdroje a vypočteme celkový proud. Tím získáme celkovou impedanci obvodu, z ní pomocí odporu žárovky získáme induktanci cívky.

    Výkon zdroje v obvodu s cívkou bude stejně velký jako hodnota výkonu žárovky, protože cívka neodebírá ze zdroje žádný činný výkon. To vidíme ve výpočtu výkonu. Výkon závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi nimi. Máme-li zapojenou v obvodu cívku, je na cívce fázový posun mezi napětím a proudem π/2. To znamená, že bude výkon nulový, protože ve vzorci se vyskytuje kosinus tohoto úhlu.

    c) Kapacitu kondenzátoru vypočteme z kapacitance obdobně jako v oddíle b) . Jen v Ohmově zákoně impedanci vyjádříme pomocí odporu žárovky a kapacitance kondenzátoru.

    Výkon zdroje v obvodu s kondenzátorem bude stejně velký jako výkon žárovky ze stejných důvodů jako u cívky.

  • Řešení - proud v obvodu, odpor žárovky

    Proud protékající obvodem a odpor žárovky mají pro všechna zapojení stejnou hodnotu. Proto si je vypočítáme zvlášť.

    Vzhledem k tomu, že se jedná o sériový obvod, proud protékající obvodem vypočteme z výkonu žárovky a z napětí na žárovce:

    \[I=\frac{P_Z}{U_Z}.\]

    Vyjádříme si odpor žárovky, který budeme potřebovat pro další výpočty. Odpor žárovky vypočteme pomocí vzorce pro vyjádření výkonu:

    \[P_Z=U_Z\,I=\frac{\left(U_Z\right)^2}{R_Z}\] \[R_Z=\frac{\left(U_Z\right)^2}{P_Z}.\]

    Proud protékající obvodem:

    \[I=\frac{100}{120}\,\mathrm A\,\dot{=}\,0{,}83\,\mathrm A.\]

    Odpor žárovky:

    \[R_Z=\frac{120^2}{100}\,\mathrm \Omega = 144 \,\mathrm \Omega.\]
  • a) Řešení - zapojen rezistor

    Výkon zdroje určíme pomocí napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem:

    \[P_a=U\,I\,\cos\varphi=U\,I.\]

    Fázový posun mezi proudem a napětím je v obvodu s rezistorem a žárovkou nulový, a proto vzorec pro výkon můžeme přepsat do tvaru, kde cosinus fázového posunu vynecháme.

    Do obecného vyjádření výkonu dosadíme vztah pro proud protékající obvodem:

    \[P_a=U\,\frac{P_Z}{U_Z}.\]

    Odpor rezistoru vypočteme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud:

    \[R=\frac{U_R}{I}=\frac{U-U_Z}{I}.\]

    Obecné řešení:

    \[R=\frac{U-U_Z}{\frac{P_Z}{U_Z}}=U_Z\,\frac{U-U_Z}{P_Z}.\]

     


    Číselné dosazení:

    Výkon zdroje:

    \[P_a=220\cdot\frac{100}{120}\,\mathrm{W}\,\dot{=}\,183\,\mathrm{W}\]

    Odpor rezistoru:

    \[R=120\cdot\frac{220-120}{100}\,\mathrm \Omega=120\,\mathrm \Omega\]
  • b) Řešení - zapojena cívka

    Fázorový diagram:

    fázorový diagram

    Proud v obvodu a odpor žárovky jsme si vyjádřili v samostatném oddíle.

     

    Ohmův zákon pro obvod s cívkou a žárovkou:

    \[U=I\, Z=I\sqrt{\left(R_Z\right)^2+\left(X_L\right)^2}.\]

    Vyjádříme induktanci cívky XL:

    \[\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_Z\right)^2+\left(X_L\right)^2}\] \[X_L=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_Z\right)^2},\]

    a potom indukčnost cívky L:

    \[2 \pi f L=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_Z\right)^2}\] \[L=\frac{\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_Z\right)^2}}{2 \pi f}.\]

    Obecné řešení:

    \[L=\frac{\sqrt{\left( \frac{U}{\frac{P_Z}{U_Z}} \right)^2-\left(\frac{\left(U_Z\right)^2}{P_Z}\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{\frac{U_Z}{P_Z}\sqrt{U^2-\left(U_Z\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{U_Z\,\sqrt{U^2-\left(U_Z\right)^2}}{2 \pi f P_Z}.\]

    Výkon zdroje se bude rovnat součtu výkonů na žárovce a na cívce:

    \[P_b=P_Z+P_L\] \[P_b=P_Z+U_L\,I\, \cos{\varphi}_L.\]

    Víme, že fázový posun mezi proudem a napětím v obvodu s cívkou je φL = π/2, a proto je výkon na cívce nulový bez ohledu na to jaké je na cívce napětí a proud. Výkon dodávaný zdrojem do tohoto obvodu tedy bude:

    \[P_b=P_Z.\]

    Číselné dosazení:

    Indukčnost cívky:

    \[L=\frac{120\,\sqrt{220^2-120^2}}{2\pi\cdot 50 {\cdot} 100}\,\mathrm{H}\,\dot{=}\,0{,}7\,\mathrm H\]

    Výkon dodávaný zdrojem:

    \[P_b=100\,\mathrm W\]
  • c) Řešení - zapojen kondenzátor

    Fázorový diagram:

    fázorový diagram

    Odpor žárovky a proud protékající obvodem jsme vypočítali ve zvláštním oddíle.

    Kapacitu kondenzátoru v obvodu s kondenzátorem a žárovkou vyjádříme z kapacitance pomocí Ohmova zákona:

    \[U=I\,Z\] \[U=I\sqrt{\left(R_{Z}\right)^2+\left(X_C\right)^2}\] \[\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_{Z}\right)^2+\left(X_C\right)^2}\] \[X_C=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_{Z}\right)^2}.\]

    Vyjádříme kapacitu:

    \[\frac{1}{2 \pi f C}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_{Z}\right)^2}\] \[ C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_{Z}\right)^2}}.\]

    Obecné řešení, kdy dosadíme za proud protékající obvodem a odpor žárovky:

    \[ C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{\left(\frac{P_Z}{U_Z}\right)}\right)^2-\left(\frac{\left(U_Z\right)^2}{P_Z}\right)^2}}=\frac{P_Z}{2 \pi f U_Z\sqrt{U^2-\left(U_Z\right)^2}}.\]

    Výkon zdroje odvodíme stejně jako u předchozího oddílu. Kde vidíme, že výkon na kondenzátoru je nulový, protože fázový posun mezi napětím a proudem má hodnotu φC = -π/2

    \[P_c=P_Z+P_C=P_Z+U_C\,I\, \cos{\varphi}_C=P_Z.\]

    Číselné dosazení:

    Kapacita kondenzátoru:

    \[ C=\frac{100}{2\pi \cdot 50 {\cdot} 120 \cdot\sqrt{220^2-120^2}}\,\mathrm F \,\dot{=}\,1{,}43 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm F=14{,}3\,\mathrm{\mu F}\]

    Výkon dodávaný zdrojem:

    \[P_c=100\,\mathrm {W}\]
  • Odpověď

    a) Připojíme-li žárovku přes rezistor, je hodnota odporu rezistoru 120 Ω. Výkon dodávaný zdrojem do takového obvodu má hodnotu asi 183 W.

    b) Připojíme-li žárovku do obvodu přes cívku je hodnota její indukčnosti přibližně 0,7 H. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení:

    fázorový diagram

    c) Připojíme-li žárovku do obvodu přes kondenzátor je hodnota kapacity tohoto kondenzátoru přibližně 14,3 μH. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení:

    fázorový diagram
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze