Žárovka v obvodu se střídavým napětím
Úloha číslo: 173
Žárovka 120 V, 100 W je přes součástku s impedancí připojena na síť o střídavém napětí 220 V s frekvencí 50 Hz. Předpokládejme, že danou součástkou je:
Ve všech případech pracuje žárovka při uvedených hodnotách napětí a výkonu. Vypočtěte odpor rezistoru, indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru. Určete výkon, který je v jednotlivých případech dodáván ze sítě, nakreslete fázorové diagramy.
Zápis
Ze zadání známe:
Napětí žárovky: UZ = 120 V Výkon žárovky: PZ = 100 W Napětí zdroje: U = 220 V Frekvenci zdroje: f = 50 Hz Chceme určit vlastnosti součástek, přes které žárovku do obvodu zapojujeme, a výkon dodávaný ze zdroje:
a) Odpor rezistoru: R = ? (Ω) Výkon dodávaný ze zdroje: Pa = ? (W) b) Indukčnost cívky: L = ? (H) Výkon dodávaný ze zdroje: Pb = ? (W) c) Kapacitu kondenzátoru: C = ? (F) Výkon dodávaný ze zdroje: Pc = ? (W) Nápověda 1
Zapojit žárovku do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově.
Nápověda 2
Jakou další informaci o žárovce můžeme určit, známe-li napětí a výkon, při jakých žárovka pracuje?
Rozbor
Připojení žárovky do obvodu přes součástku s impedancí znamená, že ji zapojíme sériově k dané součástce. V sériovém obvodu protéká všemi zařazenými prvky stejný proud, který zjistíme z vlastností žárovky.
Odpor žárovky je pro všechny tři případy zapojení do obvodu stejný, podobně jako proud protékající obvodem (protože výkon a napětí na žárovce jsou stejné).
Výkon v obvodu se střídavým proudem závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi napětím a proudem.
a) Výkon: Máme-li v obvodu zařazen jako impedanci rezistor, je fázový posun mezi proudem a napětím nulový, to znamená, že vzorec pro výpočet výkonu je stejný jako pro obvod s proudem stejnosměrným (uvažujeme efektivní hodnoty napětí a proudu). Výkon vypočítáme z napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem, který jsme získali z vlastností žárovky.
Odpor rezistoru, přes který je žárovka zařazena v obvodu, vypočteme z Ohmova zákona. Proud rezistorem je stejný jako proud protékající žárovkou, protože se jedná o obvod sériový. Napětí na obou prvcích se sčítá a součet je roven napětí zdroje. Vypočteme napětí na rezistoru a dosadíme do Ohmova zákona, ze kterého vyjádříme impedanci, nebo-li odpor rezistoru.
b) Indukčnost cívky vypočteme z induktance. Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud. Do vyjádření Ohmova zákona dosadíme známé napětí zdroje a vypočteme celkový proud. Tím získáme celkovou impedanci obvodu, z ní pomocí odporu žárovky získáme induktanci cívky.
Výkon zdroje v obvodu s cívkou bude stejně velký jako hodnota výkonu žárovky, protože cívka neodebírá ze zdroje žádný činný výkon. To vidíme ve výpočtu výkonu. Výkon závisí na napětí, proudu a fázovém posunu mezi nimi. Máme-li zapojenou v obvodu cívku, je na cívce fázový posun mezi napětím a proudem π/2. To znamená, že bude výkon nulový, protože ve vzorci se vyskytuje kosinus tohoto úhlu.
c) Kapacitu kondenzátoru vypočteme z kapacitance obdobně jako v oddíle b). Jen v Ohmově zákoně impedanci vyjádříme pomocí odporu žárovky a kapacitance kondenzátoru.
Výkon zdroje v obvodu s kondenzátorem bude stejně velký jako výkon žárovky ze stejných důvodů jako u cívky.
Řešení - proud v obvodu, odpor žárovky
Proud protékající obvodem a odpor žárovky mají pro všechna zapojení stejnou hodnotu. Proto si je vypočítáme zvlášť.
Vzhledem k tomu, že se jedná o sériový obvod, proud protékající obvodem vypočteme z výkonu žárovky a z napětí na žárovce:
\[I=\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}.\]Vyjádříme si odpor žárovky, který budeme potřebovat pro další výpočty. Odpor žárovky vypočteme pomocí vzorce pro vyjádření výkonu:
\[P_\mathrm{Z}=U_\mathrm{Z}\,I=\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{R_\mathrm{Z}}\] \[R_\mathrm{Z}=\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}.\]
Proud protékající obvodem:
\[I=\frac{100}{120}\,\mathrm A\,\dot{=}\,0{,}83\,\mathrm A.\]Odpor žárovky:
\[R_\mathrm{Z}=\frac{120^2}{100}\,\mathrm \Omega = 144 \,\mathrm \Omega.\]a) Řešení - zapojen rezistor
Výkon zdroje určíme pomocí napětí zdroje a proudu protékajícím obvodem:
\[P_\mathrm{a}=U\,I\,\cos\varphi=U\,I.\]Fázový posun mezi proudem a napětím je v obvodu s rezistorem a žárovkou nulový, a proto vzorec pro výkon můžeme přepsat do tvaru, kde kosinus fázového posunu vynecháme.
Do obecného vyjádření výkonu dosadíme vztah pro proud protékající obvodem:
\[P_\mathrm{a}=U\,\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}.\]Odpor rezistoru vypočteme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud:
\[R=\frac{U_\mathrm{R}}{I}=\frac{U-U_\mathrm{Z}}{I}.\]Obecné řešení je:
\[R=\frac{U-U_\mathrm{Z}}{\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}}=U_\mathrm{Z}\,\frac{U-U_\mathrm{Z}}{P_\mathrm{Z}}.\]
Číselné dosazení:
Výkon zdroje:
\[P_\mathrm{a}=220\cdot\frac{100}{120}\,\mathrm{W}\,\dot{=}\,183\,\mathrm{W}\]Odpor rezistoru:
\[R=120\cdot\frac{220-120}{100}\,\mathrm \Omega=120\,\mathrm \Omega\]b) Řešení - zapojena cívka
Fázorový diagram:
faz_diagr.page.tagged.png "fázorový diagram")
Proud v obvodu a odpor žárovky jsme si vyjádřili v samostatném oddíle.
Ohmův zákon pro obvod s cívkou a žárovkou:
\[U=I\, Z=I\sqrt{\left(R_\mathrm{Z}\right)^2+\left(X_\mathrm{L}\right)^2}.\]Vyjádříme induktanci cívky XL:
\[\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_\mathrm{Z}\right)^2+\left(X_\mathrm{L}\right)^2}\] \[X_\mathrm{L}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}\]a potom indukčnost cívky L:
\[2 \pi f L=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}\] \[L=\frac{\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f}.\]Obecné řešení zní:
\[L=\frac{\sqrt{\left( \frac{U}{\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}} \right)^2-\left(\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{\frac{U_Z}{P_Z}\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f}=\frac{U_\mathrm{Z}\,\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}{2 \pi f P_\mathrm{Z}}.\]Výkon zdroje se bude rovnat součtu výkonů na žárovce a na cívce:
\[P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}+P_\mathrm{Z}\] \[P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}+U_\mathrm{L}\,I\, \cos{\varphi}_\mathrm{L}.\]Víme, že fázový posun mezi proudem a napětím v obvodu s cívkou je φL = π/2, a proto je výkon na cívce nulový bez ohledu na to, jaké je na cívce napětí a proud. Výkon dodávaný zdrojem do tohoto obvodu tedy bude
\[P_\mathrm{b}=P_\mathrm{Z}.\]
Číselné dosazení:
Indukčnost cívky:
\[L=\frac{120\,\sqrt{220^2-120^2}}{2\pi\cdot 50 {\cdot} 100}\,\mathrm{H}\,\dot{=}\,0{,}7\,\mathrm H\]Výkon dodávaný zdrojem:
\[P_\mathrm{b}=100\,\mathrm W\]c) Řešení - zapojen kondenzátor
Fázorový diagram:
faz_diagr.page.tagged.png "fázorový diagram")
Odpor žárovky a proud protékající obvodem jsme vypočítali ve zvláštním oddíle.
Kapacitu kondenzátoru v obvodu s kondenzátorem a žárovkou vyjádříme z kapacitance pomocí Ohmova zákona:
\[U=I\,Z\] \[U=I\sqrt{\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2+\left(X_\mathrm{C}\right)^2}\] \[\frac{U}{I}=\sqrt{\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2+\left(X_\mathrm{C}\right)^2}\] \[X_\mathrm{C}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_{\mathrm{Z}}\right)^2}.\]Vyjádříme kapacitu:
\[\frac{1}{2 \pi f C}=\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}\] \[ C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{I}\right)^2-\left(R_\mathrm{Z}\right)^2}}.\]Obecné řešení, kdy dosadíme za proud protékající obvodem a odpor žárovky:
\[ C=\frac{1}{2 \pi f\sqrt{\left(\frac{U}{\left(\frac{P_\mathrm{Z}}{U_\mathrm{Z}}\right)}\right)^2-\left(\frac{\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}{P_\mathrm{Z}}\right)^2}}=\frac{P_\mathrm{Z}}{2 \pi f U_\mathrm{Z}\sqrt{U^2-\left(U_\mathrm{Z}\right)^2}}.\]Výkon zdroje odvodíme stejně jako u předchozího oddílu. Tam vidíme, že výkon na kondenzátoru je nulový, protože fázový posun mezi napětím a proudem má hodnotu φC = -π/2
\[P_\mathrm{c}=P_\mathrm{Z}+P_\mathrm{C}=P_\mathrm{Z}+U_\mathrm{C}\,I\, \cos{\varphi}_\mathrm{C}=P_\mathrm{Z}.\]
Číselné dosazení:
Kapacita kondenzátoru:
\[ C=\frac{100}{2\pi \cdot 50 {\cdot} 120 \cdot\sqrt{220^2-120^2}}\,\mathrm F \,\dot{=}\,1{,}43 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm F=14{,}3\,\mathrm{\mu F}\]Výkon dodávaný zdrojem:
\[P_\mathrm{c}=100\,\mathrm {W}\]Odpověď
a) Připojíme-li žárovku přes rezistor, je hodnota odporu rezistoru 120 Ω. Výkon dodávaný zdrojem do takového obvodu má hodnotu asi 183 W.
b) Připojíme-li žárovku do obvodu přes cívku, je hodnota její indukčnosti přibližně 0,7 H. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení:
c) Připojíme-li žárovku do obvodu přes kondenzátor, je hodnota kapacity tohoto kondenzátoru přibližně 14,3 μH. Výkon dodávaný zdrojem do obvodu je 100 W. Fázorový diagram tohoto zapojení:
