Elektrický odpor zahřátého vodiče

Úloha číslo: 749

Na jednom konci válcového měděného vodiče o odporu 10 Ω (při teplotě 0 °C) je udržována teplota 20 °C, na druhém konci teplota 400 °C. Určete odpor vodiče, jestliže teplota podél vodiče klesá rovnoměrně.

Nápověda 1
Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypadá závislost odporu elektrického vodiče na teplotě.
Řešení nápovědy 1
Elektrický odpor kovového vodiče závisí na teplotě a pro „běžné“ vodiče se odpor s rostoucí teplotou zvyšuje.

Pro nepříliš velké teplotní rozdíly Δt můžeme změnu odporu vodiče považovat prakticky za lineární a psát pro ni vztah:
\[R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\Delta t\right),\]
kde R je odpor vodiče při teplotě t, R₀ odpor při vztažné teplotě t₀, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt rozdíl teplot Δt = t − t₀.
Nápověda 2
Nejdůležitější při řešení tohoto úkolu je fakt, že teplota podél vodiče klesá lineárně a i závislost odporu na teplotě je lineární. Díky tomu se „odpor“ podél vodiče také mění lineárně.

Celkový odpor vodiče bude stejný, jako kdyby měl vodič všude stejnou teplotu rovnou průměru teplot na obou koncích vodiče.

Je to podobné jako při výpočtu dráhy při rovnoměrně zrychleném pohybu. Rychlost se mění lineárně a dráha je stejná jako při rovnoměrném pohybu s rychlostí rovné průměru rychlostí na začátku a na konci.
Řešení nápovědy 2
Průměrnou hodnotu t_p teplot na obou koncích vodiče vypočítáme ze vztahu
\[ t_\mathrm{p}\,=\,\frac{t_1+t_2}{2}\,, \]
kde t₁ a t₂ jsou teploty na koncích vodiče.

Výsledný odpor vodiče pak vypočítáme ze vzorce (viz Řešení nápovědy 1)
\[ R\,=\,R_0\,\left[1\,+\,\alpha\left(t_p\,-\,t_0\right)\right]\,. \]
Nápověda 3
Pokud vám úvaha s průměrnou teplotou přijde nedůvěryhodná, můžete celkový odpor zintegrovat. Tento způsob výpočtu naleznete v oddíle Řešení, Výpočet odporu za pomoci integrálního počtu.
Rozbor
Elektrický odpor kovového vodiče je závislý na teplotě vodiče. Pro malé teplotní rozdíly můžeme změnu odporu vodiče považovat za lineární.

Ze zadání úlohy víme, že teplota podél vodiče klesá lineárně. Díky tomu, že i závislost odporu na teplotě je lineární, bude odpor vodiče stejný, jako kdyby teplota podél celého vodiče byla stálá a byla rovna průměru teplot na obou koncích vodiče.
Řešení
Elektrický odpor kovového vodiče závisí na teplotě a pro nepříliš velké teplotní rozdíly Δt můžeme změnu odporu vodiče považovat prakticky za lineární. Odpor vodiče v závislosti na teplotě vypočítáme ze vztahu:
\[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\Delta t\right)\,, \]
kde R je odpor vodiče při teplotě t, R₀ odpor při vztažné teplotě t₀, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt rozdíl teplot Δt = t − t₀.

Protože teplota podél vodiče klesá lineárně, bude se odpor podél vodiče měnit také lineárně. Celkový odpor vodiče tedy bude stejný, jako kdyby teplota podél celého vodiče byla stálá a byla rovna průměru teplot na obou koncích vodiče. Tuto průměrnou teplotu t_p vypočítáme:
\[ t_\mathrm{p}\,=\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\,, \]
kde t₁ a t₂ jsou teploty na koncích vodiče.

Výsledný odpor vodiče tedy určíme ze vzorce:
\[ R\,=\,R_0\,\left[1\,+\,\alpha\left(t_p\,-\,t_0\right)\right]\,. \]
Teplota t₀ je v našem případě 0 °C, konečný vzorec pro výpočet odporu vodiče tedy můžeme zapsat:
\[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,t_p\right), \] \[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\right). \]
Poznámka: „Trik“ s průměrnou teplotou lze využít díky tomu, že teplota vodiče má lineární průběh. V obecném případě tohoto triku využít nelze a je potřeba odpor vodiče vypočítat za pomoci integrálního počtu.
Výpočet odporu za pomoci integrálního počtu
Výše je při výpočtu odporu vodiče použit trik, že lze uvažovat jen jeho průměrnou teplotu. Pokud by vás ale tato myšlenka nenapadla nebo nedůvěřujete v její správnost, ověřme získaný výsledek přímočarým výpočtem pomocí integrálu.

Vodič si rozdělíme na tenké kruhové disky. Celý válcový vodič nyní můžeme považovat za sériové zapojení těchto disků.

Odpor každého disku vypočítáme ze vztahu:
\[R_\mathrm{k}\,=\,R_\mathrm{k0}\left[1\,+\,\alpha\left(t\,-\,t_0\right)\right]\,,\tag{1}\]
kde R_k je odpor disku při teplotě t, R_k0 je odpor disku při teplotě t₀ a α je teplotní součinitel elektrického odporu.

Protože jsou všechny kruhové disky stejně „tlusté“, pro odpor R_k0 platí:
\[R_\mathrm{k0}\,=\,\frac{R_0}{l}\,\mathrm{d}x\,,\tag{2}\]
kde R₀ je odpor celého vodiče při teplotě t₀, l je délka vodiče a dx označíme tloušťku disku.

Poznámka: Kruhové disky jsou zapojeny sériově, a proto sečtením odporů R_k0 po celé délce vodiče musíme získat odpor celého vodiče R₀. Ověřme to výpočtem:
\[\int_0^\mathrm{l} {\frac{R_0}{l}}\,\mathrm{d}x\,=\,\frac{R_0}{l}\int_0^\mathrm{l}\mathrm{d}x\,=\,\frac{R_0}{l}\cdot l\,=\,R_0\,. \]

Teplota kruhových disků se mění se vzdáleností od okraje vodiče. Protože je tato změna lineární, můžeme provést následující úvahu:

Na vodiči si označíme libovolný bod. Protože teplota podél vodiče rovnoměrně klesá, pak musí platit, že poměr vzdálenosti tohoto bodu od okraje vodiče a délky vodiče je stejný jako teplotní rozdíl tohoto bodu a okraje vodiče ku teplotnímu rozdílu obou okrajů vodiče. Tedy:
\[\frac{x}{l}\,=\,\frac{t-t_1}{t_2-t_1}\,,\]
kde x je vzdálenost bodu od okraje vodiče, t₁ a t₂ jsou teploty na okrajích vodiče (podle obrázku t₁ = 400 °C a t₂ = 20 °C).

Z této rovnice si vyjádříme teplotu t dané kruhové slupky v závislosti na vzdálenosti x od okraje vodiče:
\[ t-t_1\,=\,\frac{x}{l}\,\left(t_2-t_1\right)\] \[t\,=\,\frac{x}{l}\,\left(t_2-t_1\right)\,+\,t_1\,=\,\frac{x\left(t_2-t_1\right)\,+\,lt_1}{l}\,. \tag{3}\]
Vztahy (2) a (3) nyní dosadíme do rovnice (1):
\[ R_\mathrm{k}\,=\,\frac{R_0}{l}\mathrm{d}x\,\left(1+\alpha\left[\frac{x\left(t_2-t_1\right)\,+\,lt_1}{l}-t_0\right]\right)\,=\,\frac{R_0}{l}\left[1+\alpha\frac{x\left(t_2-t_1\right)\,+\,lt_1\,-\,lt_0}{l}\right]\mathrm{d}x\,. \]
Takto jsme si vyjádřili odpor jednoho kruhového disku. Abychom získali celkový odpor vodiče, musíme posčítat odpory těchto disků podél celé délky vodiče. Tedy:
\[ R\,=\,\int_0^\mathrm{l}{\frac{R_0}{l}\left[1+\alpha\frac{x\left(t_2-t_1\right)\,+\,lt_1\,-\,lt_0}{l}\right]}\mathrm{d}x\,=\,\frac{R_0}{l}\int_0^\mathrm{l}{\left[1+\alpha\frac{x\left(t_2-t_1\right)\,+\,l\left(t_1\,-\,t_0\right)}{l}\right]}\mathrm{d}x\,= \] \[ =\,\frac{R_0}{l}\int_0^\mathrm{l}\mathrm{d}x\,+\,\frac{R_0\alpha\left(t_2-t_1\right)}{l^2}\int_0^\mathrm{l}{x}\mathrm{d}x\,+\,\frac{R_0\alpha l\left(t_1\,-\,t_0\right)}{l^2}\int_0^\mathrm{l}\mathrm{d}x\,= \] \[ =\,\frac{R_0}{l}\left[x\right]_0^\mathrm{l}\,+\, \frac{R_0\alpha\left(t_2-t_1\right)}{l^2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\mathrm{l}\,+\, \frac{R_0\alpha l\left(t_1\,-\,t_0\right)}{l^2}\left[x\right]_0^\mathrm{l}\,=\,\frac{R_0}{l}\,l\,+\, \frac{R_0\alpha\left(t_2-t_1\right)}{l^2}\,\frac{l^2}{2}\,+\, \frac{R_0\alpha l\left(t_1\,-\,t_0\right)}{l^2}\,l\,. \]
Po zintegrování jsme tedy získali celkový odpor vodiče:
\[ R\,=\,R_0\,+\,R_0\alpha\frac{t_2-t_1}{2}\,+\,R_0\alpha\left(t_1\,-\,t_0\right)\,=\,R_0\,+\,R_0\alpha\frac{t_2-t_1+2\left(t_1\,-\,t_0\right)}{2}= \] \[ =\,R_0\,+\,R_0\alpha\frac{t_2\,+\,t_1\,-\,2t_0}{2}\,=\,R_0\left[1\,+\,\alpha\left(\frac{t_2\,+\,t_1}{2}\,-\,t_0\right)\right]. \]
Z tohoto výsledku je vidět, že naše úvaha o průměrné hodnotě, se kterou jsme pracovali v sekci Řešení, byla správná. Výraz \(\frac{t_2\,+\,t_1}{2}\) je totiž vzorec pro výpočet průměrné teploty vodiče.
Číselné dosazení
Ze zadání úlohy známe následující veličiny:

R₀ = 10 Ω Odpor vodiče při teplotě 0 °C

t₁ = 20 °C Teplota na jednom konci vodiče

t₂ = 400 °C Teplota na druhém konci vodiče

Ve fyzikálních tabulkách vyhledáme měrný elektrický odpor mědi:

α = 4·10^-3 K^-1

V minulém oddíle jsme získali vzorec pro výpočet celkového odporu vodiče:
\[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\right). \]
Nyní do tohoto vzorce dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy:
\[ R\,=\,10\,\cdot\,\left(1\,+\,4{\cdot} 10^{-3}\,\cdot\,\frac{20\,+\,400}{2}\right)\,\mathrm{\Omega}\,\dot{=}\,18\,\mathrm{\Omega}\,. \]
Odpověď
Odpor měděného vodiče je asi 18 Ω.
Odkaz na podobné úlohy
Dalšími úlohami, které se zabývají závislostí elektrického odporu na teplotě vodiče, jsou Odpor vodiče v závislosti na teplotě a Ocelová a uhlíková tyčinka.