Elektrický odpor zahřátého vodiče

Úloha číslo: 749

Na jednom konci válcového měděného vodiče o odporu 10 Ω (při teplotě 0 °C) je udržována teplota 20 °C, na druhém konci teplota 400 °C. Určete odpor vodiče, jestliže teplota podél vodiče klesá rovnoměrně.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypadá závislost odporu elektrického vodiče na teplotě.

  • Nápověda 2

    Nejdůležitější při řešení tohoto úkolu je fakt, že teplota podél vodiče klesá lineárně a i závislost odporu na teplotě je lineární. Díky tomu se „odpor“ podél vodiče také mění lineárně.

    Celkový odpor vodiče bude stejný, jako kdyby měl vodič všude stejnou teplotu rovnou průměru teplot na obou koncích vodiče.

    Je to podobné jako při výpočtu dráhy při rovnoměrně zrychleném pohybu. Rychlost se mění lineárně a dráha je stejná jako při rovnoměrném pohybu s rychlostí rovné průměru rychlostí na začátku a na konci.

  • Nápověda 3

    Pokud vám úvaha s průměrnou teplotou přijde nedůvěryhodná, můžete celkový odpor zintegrovat. Tento způsob výpočtu naleznete v oddíle Řešení, Výpočet odporu za pomoci integrálního počtu.

  • Rozbor

    Elektrický odpor kovového vodiče je závislý na teplotě vodiče. Pro malé teplotní rozdíly můžeme změnu odporu vodiče považovat za lineární.

    Ze zadání úlohy víme, že teplota podél vodiče klesá lineárně. Díky tomu, že i závislost odporu na teplotě je lineární, bude odpor vodiče stejný, jako kdyby teplota podél celého vodiče byla stálá a byla rovna průměru teplot na obou koncích vodiče.

  • Řešení

    Elektrický odpor kovového vodiče závisí na teplotě a pro nepříliš velké teplotní rozdíly Δt můžeme změnu odporu vodiče považovat prakticky za lineární. Odpor vodiče v závislosti na teplotě vypočítáme ze vztahu:

    \[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\Delta t\right)\,, \]

    kde R je odpor vodiče při teplotě t, R0 odpor při vztažné teplotě t0, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt rozdíl teplot Δt = t − t0.

    Protože teplota podél vodiče klesá lineárně, bude se odpor podél vodiče měnit také lineárně. Celkový odpor vodiče tedy bude stejný, jako kdyby teplota podél celého vodiče byla stálá a byla rovna průměru teplot na obou koncích vodiče. Tuto průměrnou teplotu tp vypočítáme:

    \[ t_p\,=\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\,, \]

    kde t1 a t2 jsou teploty na koncích vodiče.

    Výsledný odpor vodiče tedy určíme ze vzorce:

    \[ R\,=\,R_0\,\left[1\,+\,\alpha\left(t_p\,-\,t_0\right)\right]\,. \]

    Teplota t0 je v našem případě 0 °C , konečný vzorec pro výpočet odporu vodiče tedy můžeme zapsat:

    \[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,t_p\right), \] \[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\right). \]

    Poznámka: „Trik“ s průměrnou teplotou lze využít díky tomu, že teplota vodiče má lineární průběh. V obecném případě tohoto triku využít nelze a je potřeba odpor vodiče vypočítat za pomoci integrálního počtu.

  • Číselné dosazení

    Ze zadání úlohy známe následující veličiny:

    R0 = 10 Ω Odpor vodiče při teplotě 0 °C
    t1 = 20 °C Teplota na jednom konci vodiče
    t2 = 400 °C Teplota na druhém konci vodiče

    Ve fyzikálních tabulkách vyhledáme měrný elektrický odpor mědi:

    α = 4·10-3 K-1


    V minulém oddíle jsme získali vzorec pro výpočet celkového odporu vodiče:

    \[ R\,=\,R_0\,\left(1\,+\,\alpha\,\frac{t_1\,+\,t_2}{2}\right). \]

    Nyní do tohoto vzorce dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy:

    \[ R\,=\,10\,\cdot\,\left(1\,+\,4{\cdot} 10^{-3}\,\cdot\,\frac{20\,+\,400}{2}\right)\,\mathrm{\Omega}\,\dot{=}\,18\,\mathrm{\Omega}\,. \]
  • Odpověď

    Odpor měděného vodiče je asi 18 Ω.

  • Odkaz na podobné úlohy

    Dalšími úlohami, které se zabývají závislostí elektrického odporu na teplotě vodiče, jsou Odpor vodiče v závislosti na teplotě a Ocelová a uhlíková tyčinka

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze