Energie magnetického pole v koaxiálním vedení
Úloha číslo: 259
Dlouhý koaxiální kabel vede proud I jedním směrem po vnitřním válcovém vodiči poloměru a a nazpět stejný proud I vnějším válcovým vodičem o poloměru b. Určete energii magnetického pole připadající na délku l tohoto vodiče. Předpokládejte, že pro permeabilitu materiálu mezi vodiči platí μ ≈ μ0.
Z vypočtené energie určete indukčnost připadající na jednotku délky kabelu.
Rozbor
Máme spočítat energii magnetického pole na jednotku délky kabelu. Ve válcovém koaxiálním vedení umíme spočítat průběh magnetického pole — uvnitř vedení je buzeno vnitřním válcovým vodičem, který se chová jako tenký drát v jeho ose, to plyne například z Ampérova zákona v integrálním tvaru při použití válcové symetrie. Ze stejného zákona dostaneme, že vně kabelu je magnetická indukce nulová.
Poznámka: Podrobně je magnetické pole koaxiálního kabelu řešeno v úloze Koaxiální kabel. Obdobná situace je také řešena v úloze Dutý válcový vodič, kde je však proud rozložen rovnoměrně mezi vnitřním a vnějším válcem.
Jestliže známe průběh pole, pak snadno spočteme hustotu energie magnetického pole. Integrací objemové hustoty energie přes část válce jednotkové délky dostaneme celkovou energii magnetického pole na jednotku délky kabelu.
Energii magnetického pole však můžeme také vyjádřit pomocí indukčnosti a proudu a odtud lehko vyjádříme indukčnost koaxiálního vodiče.
Nápověda 1
Magnetické pole v koaxiálním vodiči je nenulové pouze v prostoru mezi vodiči, je buzeno vnitřním vodičem a ten se z tohoto hlediska chová obdobně, jako by byl tenkým vodičem umístěným v ose. Z tohoto poznatku určete magnetickou indukci pole v prostoru mezi vodiči.
Poznámka: Kdo to chce učinit pořádněji, může použít Ampérův zákon v integrálním tvaru na kruhovou smyčku se středem v ose obepínající vnitřní vodič a využít symetrie situace k odůvodnění, že velikost magnetické indukce závisí pouze na vzdálenosti od osy a její vektor kolem osy „rotuje“ podobně jako v případě tenkého vodiče.
Nápověda 2
Určete hustotu energie magnetického pole v prostoru mezi vodiči koaxiálního kabelu.
Nápověda 3
Protože hustota energie závisí pouze na vzdálenosti r od osy, určete celkovou energii připadající na délku l integrací přes válcové slupky, které obepínají osu kabelu, mají vnitřní poloměr r, malou tloušťku dr a délku l. Pro jejich objem dV platí
\[\mathrm{d}V = 2\pi rl\,\mathrm{d}r.\]Řešení
Magnetické pole je přítomno pouze mezi vnitřním a vnějším vodičem, je buzeno proudem ve vnitřním vodiči, který se z tohoto hlediska chová jako nekonečně tenký drát vedoucí osou vodiče. Proto má magnetické pole mezi vodiči indukci o velikosti
\[B = \frac{\mu_0I}{2\pi r},\qquad \textrm{kde} \qquad a < r < b.\]Hustota energie magnetického pole w je dána vztahem
\[w = \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0} = \frac{\mu_0I^2}{8\pi^2r^2}.\]Energie připadající na válcovou slupku délky l, poloměru r a tloušťky dr je potom
\[\mathrm{d}E = w\, \mathrm{d}V = w\, 2\pi rl\,\mathrm{d}r = \frac{\mu_0I^2l}{4\pi}\frac{\mathrm{d}r}{r}.\]Integrací přes tyto slupky dostaneme energii připadající na objem mezi vodiči o délce l:
\[E = \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \mathrm{d}E = \int_\mathrm{a}^\mathrm{b} \frac{\mu_0I^2l}{4\pi}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{\mu_0I^2l}{4\pi}\,\ln\,\frac{b}{a}.\]Na jednotku délky potom připadá energie
\[\frac{E}{l} = \frac{\mu_0I^2}{4\pi}\,\ln\,\frac{b}{a}.\]Energie magnetického pole může být v případě, že materiál vodiče není feromagnetický, psána jako
\[\frac{E}{l}=\frac{1}{2}LI^2,\]kde konstanta L je indukčnost připadající na jednotku délky. Odtud dostaneme vztah
\[L = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\ln\,\frac{b}{a}.\]Odpověď
Na jednotku délky připadá energie
\[\frac{E}{l} = \frac{\mu_0I^2}{4\pi}\,\ln\,\frac{b}{a}.\]Pro indukčnost na jednotku délky L platí vztah
\[L = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\ln\,\frac{b}{a}.\]Podobná úloha
