Elektrický odpor různě dlouhých vodičů

Úloha číslo: 724

Dva dráty ze stejného materiálu mají stejnou hmotnost. První drát je n-krát delší. V jakém poměru jsou elektrické odpory drátů?

Nápověda 1
Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypočítáme odpor vodiče v závislosti na jeho tvaru.
Řešení nápovědy 1
Elektrický odpor vodiče R je přímo úměrný délce vodiče l a nepřímo úměrný příčnému průřezu vodiče S. Konstantou úměrnosti je měrný elektrický odpor vodiče ρ. Jeho hodnota závisí na materiálu, ze kterého je vodič vyroben:
\[ R\,=\,\rho \frac{l}{S}\,. \]
Pro naši úlohu je důležité, že odpor roste s délkou vodiče, ale klesá s jeho průřezem.
Nápověda 2
Jestliže jsou oba ze stejného materiálu, mají stejnou hmotnost a první drát je delší než druhý drát, v čem se liší?

Co plyne ze stejné hmotnosti a materiálu drátů?
Řešení nápovědy 2
Pokud mají být dráty stejně těžké, musí být delší drát tenčí. To znamená, že musí mít menší průřez.

Stejný materiál a hmotnost znamená stejný objem obou drátů. Jak tuto skutečnost použít k výpočtu průřezu delšího drátu?
Řešení nápovědy 2 – matematické rozpracování
Jestliže jsou oba dráty ze stejného materiálu a mají stejnou hmotnost, pak se musí rovnat i jejich objemy.

Drát můžeme považovat za dlouhý válec o délce l a příčném průřezu S. Objem drátu V pak vypočítáme ze vztahu:
\[ V\,=\,l\cdot S\,. \]
Mají-li dráty stejný objem a první drát je n-krát delší než druhý drát, tj. l₁ = n l₂, pak platí:
\[ V_1\,=\,V_2 \] \[ l_1S_1\,=\,l_2S_2 \] \[ nl_2S_1\,=\,l_2S_2 \] \[ nS_1\,=\,S_2\,. \]
Druhý drát má tedy n-krát větší příčný průřez než první drát.
Rozbor
Elektrický odpor vodiče je nepřímo úměrný příčnému průřezu vodiče a přímo úměrný délce vodiče a rezistivitě, která charakterizuje elektrickou vodivost daného materiálu, ze kterého je vodič vyroben.

Pokud vezmeme dva vodiče, které jsou vyrobeny ze stejného materiálu, pak i jejich rezistivita je stejná. Poměr odporů vodičů je tedy závislý na délkách obou vodičů a jejich příčných průřezech. Poměr odporů vodičů je tedy přímo úměrný poměru délek vodičů a nepřímo úměrný poměru jejich průřezů.

Vodiče ze zadání úlohy jsou vyrobeny nejen ze stejného materiálu, ale mají i stejnou hmotnost. Proto i objemy těchto vodičů se budou rovnat. Vodič můžeme považovat za dlouhý válec o dané délce a daném průřezu. Objem takového vodiče je pak roven součinu průřezu vodiče a jeho délky.

Porovnáním objemů daných vodičů zjistíme, že poměr délek vodičů je roven převrácené hodnotě poměru jejich průřezů (to znamená, že je-li první vodič n-krát delší než druhý vodič, pak příčný průřez prvního vodiče bude n-krát menší než příčný průřez druhého vodiče).

Nyní spojíme tuto úvahu se vztahem, který jsme získali porovnáním odporů obou vodičů a zjistíme, že poměr odporů vodičů je roven druhé mocnině poměru délek vodičů. Protože poměr délek vodičů je n (první vodič je n-krát delší než druhý), pak poměr odporů vodičů je roven n².
Řešení
Jestliže jsou oba dráty ze stejného materiálu (tj. mají stejnou hustotu) a mají stejnou hmotnost m, pak musí mít i stejný objem V.

Objem drátu vypočítáme jako součin jeho délky l a průřezu S:
\[ V\,=\,l\, S\,. \]
Protože objemy obou drátů se rovnají, pak platí:
\[ V_1\,=\,V_2 \] \[ l_1\,S_1\,=\,l_2\,S_2 \] \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{S_2}{S_1}\,. \tag{1}\]
Ze zadání úlohy víme, že první drát je n-krát delší než druhý drát. Tedy:
\[ l_1\,=\,n\cdot l_2\,. \tag{2}\]
Proto pro poměr délek platí:
\[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{n\cdot l_2}{l_2}\,=\,n\,. \]
Tuto rovnost dosadíme do vztahu (1) a vidíme, že průřez druhého drátu musí být n-krát větší než průřez prvního drátu:
\[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{S_2}{S_1}\,=\,n \] \[ S_2\,=\,n\cdot S_1\,. \tag{3}\]
Nyní si vyjádříme elektrický odpor vodiče R v závislosti na jeho parametrech:
\[ R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,\mathrm{,} \]
kde ρ je měrný elektrický odpor vodiče, l je délka vodiče a S je jeho příčný průřez.

Oba vodiče jsou ze stejného materiálu, proto elektrické odpory vodičů budou stejné. Porovnáním odporů vodičů získáme následující vztah:
\[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{\rho\frac{l_1}{S_1}}{\rho\frac{l_2}{S_2}}\,=\,\frac{\frac{l_1}{S_1}}{\frac{l_2}{S_2}}\,. \]
Tedy:
\[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{l_1S_2}{l_2S_1}\,. \]
Do této rovnosti nyní dosadíme vztahy (2) a (3):
\[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{l_1S_2}{l_2S_1}\,=\,\frac{n\cdot l_2 \cdot n\cdot S_1}{l_2 \cdot S_1}\,=\,n^2\,. \]
Vidíme tedy, že odpor prvního drátu je n²-krát větší než odpor druhého drátu. Tedy:
\[ R_1\,=\,n^2\,R_2\,. \]
Odpověď
Elektrické odpory drátů jsou v poměru R₁ : R₂ = n² : 1.
Odkazy na podobné úlohy
Vypočítejte si také úlohy Ocelová a uhlíková tyčinka a Elektrický odpor vodičů s různým průřezem.
Odkaz na experiment
Experimentálně ověřuje závislost odporu drátu na jeho délce pokus Závislost odporu drátu na jeho parametrech.