Elektrický odpor různě dlouhých vodičů

Úloha číslo: 724

Dva dráty ze stejného materiálu mají stejnou hmotnost. První drát je n-krát delší. V jakém poměru jsou elektrické odpory drátů?

  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypočítáme odpor vodiče v závislosti na jeho tvaru.

  • Nápověda 2

    Jestliže jsou oba ze stejného materiálu, mají stejnou hmotnost a první drát je delší než druhý drát, v čem se liší?

    Co plyne ze stejné hmotnosti a materiálu drátů?

  • Rozbor

    Elektrický odpor vodiče je nepřímo úměrný příčnému průřezu vodiče a přímo úměrný délce vodiče a rezistivitě, která charakterizuje elektrickou vodivost daného materiálu, ze kterého je vodič vyroben.

    Pokud vezmeme dva vodiče, které jsou vyrobeny ze stejného materiálu, pak i jejich rezistivita je stejná. Poměr odporů vodičů je tedy závislý na délkách obou vodičů a jejich příčných průřezech. Poměr odporů vodičů je tedy přímo úměrný poměru délek vodičů a nepřímo úměrný poměru jejich průřezů.

    Vodiče ze zadání úlohy jsou vyrobeny nejen ze stejného materiálu, ale mají i stejnou hmotnost. Proto i objemy těchto vodičů se budou rovnat. Vodič můžeme považovat za dlouhý válec o dané délce a daném průřezu. Objem takového vodiče je pak roven součinu průřezu vodiče a jeho délky.

    Homogenní vodič

    Porovnáním objemů daných vodičů zjistíme, že poměr délek vodičů je roven převrácené hodnotě poměru jejich průřezů (to znamená, že je-li první vodič n-krát delší než druhý vodič, pak příčný průřez prvního vodiče bude n-krát menší než příčný průřez druhého vodiče).

    Nyní spojíme tuto úvahu se vztahem, který jsme získali porovnáním odporů obou vodičů a zjistíme, že poměr odporů vodičů je roven druhé mocnině poměru délek vodičů. Protože poměr délek vodičů je n (první vodič je n-krát delší než druhý), pak poměr odporů vodičů je roven n2.

  • Řešení

    Jestliže jsou oba dráty ze stejného materiálu (tj. mají stejnou hustotu) a mají stejnou hmotnost m, pak musí mít i stejný objem V.

    Objem drátu vypočítáme jako součin jeho délky l a průřezu S:

    \[ V\,=\,l\, S\,. \]

    Protože objemy obou drátů se rovnají, pak platí:

    \[ V_1\,=\,V_2 \] \[ l_1\,S_1\,=\,l_2\,S_2 \] \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{S_2}{S_1}\,. \tag{1}\]

    Ze zadání úlohy víme, že první drát je n-krát delší, než druhý drát. Tedy:

    \[ l_1\,=\,n\cdot l_2\,. \tag{2}\]

    Proto pro poměr délek platí:

    \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{n\cdot l_2}{l_2}\,=\,n\,. \]

    Tuto rovnost dosadíme do vztahu (1) a vidíme, že průřez druhého drátu musí být n-krát větší, než průřez prvního drátu:

    \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{S_2}{S_1}\,=\,n \] \[ S_2\,=\,n\cdot S_1\,. \tag{3}\]

    Nyní si vyjádříme elektrický odpor vodiče R v závislosti na jeho parametrech:

    \[ R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,\mathrm{,} \]

    kde ρ je měrný elektrický odpor vodiče, l je délka vodiče a S je jeho příčný průřez.

    Oba vodiče jsou ze stejného materiálu, proto elektrické odpory vodičů budou stejné. Porovnáním odporů vodičů získáme následující vztah:

    \[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{\rho\frac{l_1}{S_1}}{\rho\frac{l_2}{S_2}}\,=\,\frac{\frac{l_1}{S_1}}{\frac{l_2}{S_2}}\,. \]

    Tedy:

    \[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{l_1S_2}{l_2S_1}\,. \]

    Do této rovnosti nyní dosadíme vztahy (2) a (3):

    \[ \frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{l_1S_2}{l_2S_1}\,=\,\frac{n\cdot l_2 \cdot n\cdot S_1}{l_2 \cdot S_1}\,=\,n^2\,. \]

    Vidíme tedy, že odpor prvního drátu je n2-krát větší než odpor druhého drátu. Tedy:

    \[ R_1\,=\,n^2\,R_2\,. \]
  • Odpověď

    Elektrické odpory drátů jsou v poměru R1 : R2 = n2 : 1.

  • Odkazy na podobné úlohy

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na porovnávání a rozlišování
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze