Koule přivázaná na konci provazu

Úloha číslo: 150

Koule o hmotnosti m, přivázaná na konci provazu délky L, se pohybuje po kružnici ve svislé rovině. V nejvyšším bodě trajektorie je napětí provazu právě nulové. Určete velikost rychlosti koule v místech, kde je provaz vodorovný a v nejnižším bodě. Jak velkou silou je provaz v těchto místech napínán? Odpor vzduchu a hmotnost provazu neuvažujte.

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

  • Zápis

    m hmotnost koule
    L délka provazu
    T1 = 0 velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v nejvyšším bodě trajektorie
    T2 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v okamžiku, kdy je provaz poprvé vodorovně
    T3 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v nejnižším bodě trajektorie
    T4 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v okamžiku, kdy je provaz podruhé vodorovně
    v1 = ? rychlost koule v nejvyšším bodě trajektorie
    v2 = ? rychlost koule v okamžiku, kdy je provaz poprvé vodorovně
    v3 = ? rychlost koule v nejnižším bodě trajektorie
    v4 = ? rychlost koule v okamžiku, kdy je provaz podruhé vodorovně
  • Rozbor

    S využitím 2. Newtonova zákona zjistíme nejprve rychlost koule v nejvyšším bodě. Rychlosti v dalších bodech určíme pomocí zákona zachování mechanické energie. K určení síly, kterou je napínán provaz, pak použijeme 2. Newtonův zákon.

  • Nápověda 1 - rychlost koule v nejvyšším bodě

    Nakreslete si obrázek a vyznačte body, které nás zajímají, přičemž bod 1 značí nejvyšší bod. Zakreslete si všechny síly působící na kouli v nejvyšším bodě a napište pro ni pohybovou rovnici.

  • Nápověda 2 - rychlost koule v dalších bodech

    Při pohybu koule z bodu 1 postupně do bodu 2, 3, 4 se mění jak její potenciální tak kinetická energie, ale celková mechanická energie se zachovává, či-li platí zákon zachování mechanické energie (ZZME). Zvolte hladinu nulové potenciální energie. Napište, jaká je celková mechanická energie koule v bodě 1 a v bodě 2 a vyjádřete odsud rychlost v2. Obdobně postupujte pro další body.

  • Nápověda 3 - síla, kterou je napínán provaz

    Nakreslete si do obrázku všechny síly, které působí na kouli v bodech 2, 3 a 4. Napište, pohybové rovnice pro kouli v těchto bodech a vyjádřete z nich hledané tahové síly.

  • Odpověď

    V nejvyšším bodě je velikost rychlosti koule rovna \(v_1=\sqrt{gL}\) a síla, kterou je provaz v tomto bodě napínán, je nulová.

    V bodech 2 a 4 je velikost rychlosti koule rovna \(v_2=v_4=\sqrt{3gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_2^{'}=T_4^{'}=3mg\).

    V bodě 3 je velikost rychlosti koule rovna \(v_3=\sqrt{5gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_3^{'}=6mg\).

  • Celkové řešení

    S využitím 2. Newtonova zákona zjistíme nejprve rychlost koule v nejvyšším bodě. Rychlosti v dalších bodech určíme pomocí zákona zachování mechanické energie (ZZME). K určení síly, kterou je napínán provaz, pak použijeme 2. Newtonův zákon.

    Působící síly v nejvyšším bodě

    V nejvyšším bodě trajektorie působí na kouli tíhová síla \(\vec{F_G}\) a tahová síla \(\vec{T_1}\), kterou na kouli působí provaz. Zrychlení koule \(\vec{a_d}\) směřuje dolů ke středu kružnice.

    Pohybová rovnice pro kouli:

    \[\vec{T_1}+\vec{F_G}\,=\,m\vec{a_d}.\tag{1}\]

    Obě síly leží v přímce, pohybovou rovnici přepíšeme skalárně:

    \[T_1+F_G\,=\,ma_d,\] \[T_1+mg\,=\,ma_d,\]

    \(m\)…hmotnost koule,

    \(g\)…tíhové zrychlení.

    Tahová síla provazu je v nejvyšším bodě nulová, \(T_1\,=\,0\).

    \[mg\,=\,ma_d\]

    Normálové zrychlení koule vyjádříme vztahem:

    \[a_d \,=\, \frac{v_1^2}{L},\]

    \(v_1\)…rychlost koule v nejvyšším bodě,

    \(L\)… délka provazu,

    \[mg\,=\,m\frac{v_1^2}{L}.\]

    Odsud si vyjádříme rychlost koule \(v_1\):

    \[v_1\,=\,\sqrt{gL}.\tag{2}\]

    Při pohybu koule z bodu 1 postupně do bodu 2, 3, 4 se mění jak její potenciální tak kinetická energie, ale celková mechanická energie se zachovává, či-li platí zákon zachování mechanické energie (ZZME). Zvolíme hladinu nulové potenciální energie. Napíšeme, jaká je celková mechanická energie koule v bodě 1 a v bodě 2 a odsud vyjádříme rychlost v2. Podobně budeme postupovat pro další body.

    Rychlosti v jednotlivých bodech

    Pohyb koule z bodu 1 do bodu 2:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_{k1}+E_{p1}\,=\,E_{k2}+E_{p2},\]

    \(E_{k1}\)…kinetická energie koule v bodě 1,

    \(E_{k2}\)…kinetická energie koule v bodě 2,

    \(E_{p1}\)…potenciální energie koule v bodě 1,

    \(E_{p2}\)…potenciální energie koule v bodě 2,

    \[\frac{1}{2}mv_1^2+mg2L\,=\,\frac{1}{2}mv_2^2+mgL.\]

    Ze vztahu (2) dosadíme za rychlost v1:

    \[\frac{1}{2}mgL+mg2L\,=\,\frac{1}{2}mv_2^2+mgL.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v2:

    \[gL+4gL\,=\,v_2^2+2gL,\] \[3gL\,=\,v_2^2,\] \[v_2\,=\,\sqrt{3gL}.\tag{3}\]

    Pohyb koule z bodu 2 do bodu 3:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_{k2}+E_{p2}\,=\,E_{k3}+E_{p3},\]

    \(E_{k3}\)…kinetická energie koule v bodě 3,

    \(E_{p3}\)…potenciální energie koule v bodě 3,

    V bodě 3 je potenciální energie koule nulová, \(E_{p3}\,=\,0.\)

    \[E_{k2}+E_{p2}\,=\,E_{k3}+0\] \[\frac{1}{2}mv_2^2+mgL\,=\,\frac{1}{2}mv_3^2\]

    Za rychlost v2 dosadíme ze vztahu (3):

    \[\frac{1}{2}m3gL+mgL\,=\,\frac{1}{2}mv_3^2.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v3:

    \[3gL+2gL\,=\,v_3^2,\] \[v_3\,=\,\sqrt{5gL}.\tag{4}\]

    Pohyb koule z bodu 3 do bodu 4:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_{k3}+E_{p3}\,=\,E_{k4}+E_{p4},\]

    \(E_{k4}\)…kinetická energie koule v bodě 4,

    \(E_{p4}\)…potenciální energie koule v bodě 4,

    \[E_{k3}+0\,=\,E_{k4}+E_{p4},\] \[\frac{1}{2}mv_3^2\,=\,\frac{1}{2}mv_4^2+mgL.\]

    Za rychlost v3 dosadíme ze vztahu (4):

    \[\frac{1}{2}m5gl\,=\,\frac{1}{2}mv_4^2+mgL.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v4:

    \[5gl\,=\,v_4^2+2gL,\] \[v_4\,=\,\sqrt{3gL}.\tag{5}\]

    Nakreslíme do obrázku všechny síly, které působí na kouli v bodech 2, 3 a 4. Napíšeme pohybové rovnice pro kouli v těchto bodech a vyjádříme z nich hledané tahové síly.

    Působící síly

    V nejvyšším bodě je podle zadání síla, kterou je napínán provaz, nulová.

    \[T_1^{'}\,=\,0\]

    Pohybová rovnice pro kouli v bodě 2:

    \[\vec{T_2}+\vec{F_G}\,=\,m\vec{a},\]

    \(T_2\)…síla, kterou působí provaz na kouli v bodě 2.

    Přepíšeme pohybovou rovnici skalárně. Souřadný systém volíme tak, že osa x směřuje ve směru pohybu koule a osa y do středu kružnice (viz obrázek).

    Souřadný systém v bodě 2

    x-ová složka:

    \[F_G\,=\,ma_t,\]

    \(a_t\)…tečné zrychlení.

    y-ová složka:

    \[T_2\,=\,ma_d,\]

    \(a_d\)…normálové zrychlení.

    Velikost normálového zrychlení koule v bodě 2 je rovna:

    \[a_d\,=\,\frac{v_2^2}{L},\] \[T_2\,=\,\frac{mv_2^2}{L}\,=\,\frac{m3gL}{L}\,=\,3mg.\]

    Tahová síla \(T_2^{'}\), kterou je napínán provaz v bodě 2, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla T2, kterou působí provaz na kouli, ale opačného směru.

    \[T_2^{'}\,=\,T_2\,=\,3mg\]

    Analogická je situace v bodě 4. Protože je rychlost koule v bodech 2 a 4 stejně velká, je stejně velká i síla T4, kterou na ni působí provaz a tedy i tahová síla \(T_4^{'}\), kterou je provaz napínán.

    \[T_4\,=\,ma_d\,=\,\frac{mv_4^2}{L}\,=\,3mg\] \[T_4^{'}\,=\,T_4\,=\,3mg\]

    Pohybová rovnice pro kouli v bodě 3:

    \[\vec{T_3}+\vec{F_G}\,=\,m\vec{a_d},\]

    \(T_3\)…síla, kterou působí provaz na kouli v bodě 3.

    Přepíšeme pohybovou rovnici skalárně. Souřadný systém volíme tak, že osa x směřuje ve směru pohybu koule a osa y do středu kružnice (viz obrázek).

    Souřadný systém v bodě 3
    \[T_3-F_G\,=\,ma_d\] \[T_3-F_G\,=\,m\frac{v_3^2}{L}\] \[T_3-mg\,=\,m\frac{5gL}{L}\] \[T_3\,=\,mg+5mg\] \[T_3\,=\,6mg\]

    Podle 3. Newtonova zákona opět platí, že síla \(T_3^{'}\), kterou je napínán provaz v bodě 3, je stejně velká jako síla T3, kterou působí provaz na kouli, ale opačného směru.

    \[T_3^{'}\,=\,T_3\,=\,6mg\]

    Odpověď:

    V nejvyšším bodě je velikost rychlosti koule rovna \(v_1\,=\,\sqrt{gL}\) a síla, kterou je provaz v tomto bodě napínán, je nulová.

    V bodech 2 a 4 je velikost rychlosti koule rovna \(v_2\,=\,v_4\,=\,\sqrt{3gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_2^{'}\,=\,T_4^{'}\,=\,3mg\).

    V bodě 3 je velikost rychlosti koule rovna \(v_3\,=\,\sqrt{5gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_3^{'}\,=\,6mg\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze