Setrvačník II

Úloha číslo: 210

Setrvačník o průměru 2 m se rozbíhá z klidu a za čas 20 s dosáhne frekvence 50 otáček za sekundu. Určete jeho úhlovou a obvodovou rychlost na konci rozběhu a počet otočení, které během rozběhu vykoná.

  • Zápis

    D = 2 m průměr setrvačníku
    tr = 20 s doba rozběhu setrvačníku
    f0 = 50 Hz frekvence otáčení na konci rozběhu
    ω = ? úhlová rychlost na konci rozběhu
    v = ? obvodová rychlost na konci rozběhu
    i = ? počet otočení během rozběhu
  • Typový příklad

  • Nápověda 1 – obvodová a úhlová rychlost

    Napište si vztah pro výpočet úhlové rychlosti otáčení a vztah mezi touto rychlostí a obvodovou rychlostí.

  • Nápověda 2 – počet otočení graficky

    Nakreslete graf závislosti frekvence otáčení setrvačníku na čase. Kde je v grafu schovaný celkový počet otáček?

  • Nápověda 3 – počet otočení pomocí integrace

    Napište matematicky, jak závisí počet otáček setrvačníku na čase. Jak pomocí této závislosti určíte celkový počet otáček v daném časovém intervalu?

  • Nápověda 4 – počet otočení úvahou

    Rozmyslete si, jak lze celkový počet otáček určit pomocí toho, že se frekvence otáčení mění rovnoměrně.

  • Celkové řešení

    Výpočet úhlové a obvodové rychlosti

     

    Pro úhlovou rychlost platí ω = 2πf.

    Na konci rozběhu bude mít setrvačník úhlovou rychlost

    \[\omega = 2 \pi f_0 = \left( 2\,\cdot\,\pi\,\cdot\,50\right) \,\mathrm{s^{-1}} \dot{=}\, 314\,\mathrm{s^{-1}}\, . \]

     

    Pro obvodovou rychlost platí v = ωr, kde r je vzdálenost otáčejícího se bodu od osy otáčení. Pro bod na okraji setrvačníku je r polovina průměru setrvačníku.

    Po dosazení za ω a r dostaneme pro obvodovou rychlost výraz v = πfD.

    Obvodová rychlost bodu na okraji setrvačníku na konci rozběhu je

    \[v = \pi f_0 D = \left( \pi\,\cdot\, 50\,\cdot\, 2\right) \,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \dot{=}\, 314 \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\, .\]

     

    Výpočet počtu otočení setrvačníku během rozběhu

     

    a) Grafické řešení

    Počtu otáček odpovídá plocha pod křivkou znázorňující závislost frekvence na čase (viz obrázek).

    Graf závislosti frekvence na čase
    \[i\,=\,\frac{f_{0}t_{r}}{2}\]

    Číselně:

    \[i\,=\, \frac{50\,\cdot\,20}{2}\,=\, 500.\]

     

    b) Řešení pomocí integrace

    Frekvence otáčení se s časem mění podle vztahu:

    \(f\left(t\right)\,=\, kt\,,\)

    kde \(\{k\}\,=\,\frac{50}{20} = \frac{5}{2}\,.\)

    (směrnice přímky v grafu výše)

    Počet otáček setrvačníku od začátku brzdění do zastavení pak můžeme spočítat jako integrál funkce f(t) v daném časovém intervalu (obsah plochy pod křivkou):

    \[i\,=\,\int_{0}^{t_{r}}{f(t)}\,\mathrm{d}t\,=\, \int_{0}^{t_{r}}{(kt)}\,\mathrm{d}t\,,\] \[i\,=\,\left[\frac{kt^{2}}{2}\right]_{0}^{t_{r}}\,=\,k\frac{{t_{r}}^{2}}{2}\,.\]

    Číselně:

    \[i\,=\, \frac{5}{2}\,\cdot\,\frac{20^{2}}{2}\,=\, 500\,.\]

     

    c) Řešení úvahou

    Protože frekvence otáčení roste rovnoměrně, můžeme určit průměrnou frekvenci jako aritmetický průměr krajních hodnot. Frekvence vzrostla z nuly na 50 otáček za sekundu. Aritmetický průměr je 25 otáček za sekundu.

    Můžeme si představit, že s touto průměrnou frekvencí se setrvačník otáčí po celou dobu rozběhu tj. 20 s. Celkový počet vykonaných otáček je součin průměrné frekvence a doby rozběhu tedy 500.

  • Výsledek

    Úhlová rychlost setrvačníku na konci rozběhu je \(\omega = 2\pi f_0 \dot{=}\, 314\,\mathrm{s^{-1}}\,.\)

    Jeho obvodová rychlost je \(v = \pi f_0 D \,\dot{=}\, 314 \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\)

    Počet otočení, které setrvačník během rozběhu vykoná, je \(i\,=\,\frac{f_{0}t_{r}}{2} = 500\).

  • Podobná úloha.

    Výpočet počtu otáček si můžete vyzkoušet v úloze Rotor turbíny, podobná metoda výpočtu se využívá i v úloze Snášení letadla.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze