Valící se skruž

Úloha číslo: 2288

Betonová válcová skruž hmotnosti \(M\) se valí bez smýkání dolů po svahu, který svírá s vodorovnou rovinou úhel \(\alpha\).

a) Určete moment setrvačnosti skruže, je-li vnější poloměr \(R\), vnitřní poloměr \(r\) a výška \(h\).

b) Určete zrychlení hmotného středu skruže.

Obr. 1: Skruž na nakloněné rovině
  • Rozbor

    Válcovou skruž si můžeme představit jako dutý válec s tlustou stěnou. Předpokládáme, že skruž je homogenní, hmota je tedy rozmístěna rovnoměrně. Moment setrvačnosti můžeme určit buď z definice pomocí integrálu \(\int_V \rho r^2dV\) nebo vyjít ze znalosti momentu setrvačnosti válce.

    Zrychlení hmotného středu lze hledat pomocí zákona zachování mechanické energie. Pro mechanickou energii skruže platí, že její celková mechanická energie na vrcholu svahu je stejná jako celková mechanická energie poté, co hmotný střed urazí dráhu \(s\). Druhou možností je rozbor působících sil a jejich momentů a sestavení pohybových rovnic. Skruž se z vrcholu svahu, kde je v klidu, valí rovnoměrně zrychleným pohybem. Hmotný střed se pohybuje po přímce a urazí dráhu \(s\). Skruž koná pohyb posuvný a rotační. Výslednice sil i momentů sil působících na skruž je nenulová.

  • Nápověda a)

    Vyjděte z obecného vztahu pro moment setrvačnosti a rozmyslete si, zda si lze skruž rozsekat na vhodné dílčí vrstvy. Šikovné je, volit je tak, aby vrstva byla stejně vzdálená od osy otáčení. Nakreslete si obrázek, vyznačte si takovou vrstvu a napište, jak vypadá její moment setrvačnosti.

  • Řešení a)

    Moment setrvačnosti obecně určíme z definice jako integrál \(J = \int_{V} \rho r^2 dV\), kde \(\rho\) je hustota tuhého tělesa a \(V\) jeho objem.

    Skruž si představíme rozsekanou na jednotlivé slupky (viz obr.).

    Obr. 2: Rozdělení skruže na tenké slupky

    Pro moment setrvačnosti jedné takové (zelené) slupky platí:

    \[dJ = r^2 dm,\]

    kde \(dm\) je hmotnost slupky. Určíme ji pomocí hustoty a objemu \(dV\) slupky.

    \[dm = \rho dV = \rho 2h\pi r dr\]

    Pro jednu slupku o poloměru \(r\) je tedy moment setrvačnosti roven

    \[dJ = \rho 2h\pi r^3 dr.\]

    Dál stačí sečíst dílčí momenty setrvačnosti přes všechny slupky. Sčítat budeme od poloměru \(r\) do poloměru \(R\).

    \[J = \int_{r}^{R}2\rho h \pi r^3 dr = 2\rho h \pi\left [ \frac{r^4}{4}\right ]_{r}^{R} = \frac{\rho h \pi}{2}\left(R^4-r^4\right ) \]

    Vyjádříme ještě hustotu \(\rho\) celé skruže pomocí celkové hmotnosti \(M\) a celkového objemu \(V\). Celkový objem můžeme počítat jako rozdíl objemů dvou válců o poloměrech podstav \(R\) a \(r\).

    \[\rho =\frac{M}{V}= \frac{M}{\pi R^2 h-\pi r^2 h}=\frac{M}{\pi h \left (R^2 -r^2\right )}\]

    Dosadíme-li takto určenou hustotu do integrálu, dostaneme po úpravě konečný vztah pro moment setrvačnosti skruže. Využíváme úpravy vztahu podle matematického vzorce \(A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)\).

    \[J = \frac{M}{\pi h \left (R^2 -r^2\right )} \frac{h \pi}{2}\left(R^4-r^4\right )=\frac{M}{ 2} \frac{\left(R^2-r^2\right) \left(R^2+r^2\right)}{\left (R^2 -r^2\right )} = \frac{1}{2} M \left(R^2+r^2\right)\]

  • Poznámka

    Moment setrvačnosti skruže lze určit také tak, že vyjdeme z toho, že známe vztah pro moment setrvačnosti válce (\(J=\frac{1}{2}MR^2\)) a od momentu setrvačnosti „plné“ skruže odečteme moment setrvačnosti „díry“.)

    \[J_{skruže} = J_{plné skruže} - J_{díry}\] \[J_{skruže} = \frac{1}{2}M_pR^2 - \frac{1}{2}M_dr^2\] \[J_{skruže} = \frac{1}{2}\rho\pi R^2hR^2 - \frac{1}{2}\rho\pi r^2hr^2 = \frac{1}{2}\rho\pi h (R^4-r^4)\] \[J_{skruže} = \frac{1}{2}\frac{M}{\pi h (R^2 - r^2)} \pi h(R^4-r^4)\] \[J_{skruže} = \frac{1}{2}M (R^2+r^2)\]
  • Nápověda b)

    Zrychlení lze určit dvěma způsoby, a sice ze zákona zachování mechanické energie (ZZME) nebo využitím rozboru působících sil a řešením pohybových rovnic. Rozmyslete si, ve kterých dvou místech budete mechanické energie srovnávat, zvolte nulovou hladinu potenciální energie a příslušné energie zapište. V případě druhé metody si načrtněte obrázek situace a vyznačte působící síly. Pokud vám nějaký údaj (vzdálenost, úhel…) chybí, zkuste jej obecně zavést.

  • Řešení b) - ZZME

    K řešení využijeme zákona zachování mechanické energie. Uvažujme dvě situace:

    První, kdy se skruž nachází na vrcholu svahu (resp. hmotný střed je v nejvyšším dosažitelném bodě). Skruž stojí, neotáčí se, má tedy nenulovou pouze potenciální energii \(E_p\).

    Druhou situaci zvolíme poté, co hmotný střed skruže urazí dráhu \(s\). V tento okamžik se skruž pohybuje nenulovou rychlostí, má tedy nenulovou kinetickou energii \(E_k\). Kromě posuvného pohybu hmotného středu kupředu se skruž otáčí, musíme tedy započítat také energii rotačního pohybu \(E_r\).

    Obr. 3: Hladiny potenciální energie

    Nulovou hladinu potenciální energie zvolíme v místě, kde se nachází hmotný střed po uražení dráhy \(s\). Celková mechanická energie v situaci 1 (skruž stojí na vrcholu svahu) musí být stejná jako v situaci 2 (skruž urazila dráhu \(s\)).

    \[E_1=E_2\]

    \[E_p = E_k + E_r\tag{1}\]

    Nyní se zaměříme na určení jednotlivých energií. Potenciální energii určíme obecně jako

    \[E_p=mgh,\]

    kde \(m\) je hmotnost tělesa, \(g\) tíhové zrychlení (zde jej uvažujeme rovno \(g=10\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\)), a \(h\) výška, ve které se nachází těleso vzhledem k nulové hladině. Tuto výšku snadno určíme z pravoúhlého trojúhelníku s přeponou \(s\) s využitím úhlu \(\alpha\).

    Obr. 4: Odvození vzdálenosti hladin energie

    Tedy

    \[h=s\,sin{\alpha}.\]

    Odtud dosazením do obecného vztahu pro potenciální energii získáme:

    \[E_p=Mgs\,sin{\alpha}.\]

    Tím máme hotovou levou stranu rovnice (1).

    Jelikož chceme určit rychlost \(v\) posuvného pohybu hmotného středu, můžeme do rovnice za kinetickou energii posuvného pohybu dosadit dle obecného vztahu za použití hmotnosti skruže \(M\):

    \[E_k=\frac{1}{2}Mv^2.\]

    Zbývá energie rotačního pohybu, pro kterou obecně platí:

    \[E_r = \frac{1}{2}J{\omega}^2,\]

    kde \(J\) představuje moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející hmotným středem a \(\omega\) je úhlová rychlost. Moment setrvačnosti skruže jsme určili v předchozí části úkolu. Víme tedy, že

    \[J_{skruž}=\frac{M(R^2+r^2)}{2}\]

    Protože chceme v rovnici pouze jednu neznámou a z rychlosti zrychleného přímočarého pohybu dokážeme určit zrychlení rovnoměrného přímočarého pohybu, ještě vyjádříme úhlovou rychlost rotačního pohybu pomocí okamžité rychlosti težiště \(v\).

    \[\omega=\frac{v}{R}.\]

    Rotační energii tedy můžeme pro náš případ zapsat jako

    \[E_r=\frac{1}{2}\frac{M(R^2+r^2)}{2}{\left (\frac{v}{R}\right )}^2\]

    Nyní můžeme dosadit do rovnice (1) za obě strany.

    \[Mgs\,sin{\alpha} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{M(R^2+r^2)}{4}\frac{v^2}{R^2}\tag{2}\]

    Ještě potřebujeme vyjádřit rychlost pomocí zrychlení. Víme, že hmotný střed urazí dráhu \(s\) za čas \(t\) a pohybuje se rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením \(a\). Víme, že pro takový pohyb platí:

    \[s=\frac{1}{2}at^2\]

    \[v=at\]

    Odtud dosazením za čas do rovnice dráhy, dostaneme vztah pro kvadrát rychlosti v závislosti na zrychlení.

    \[v^2=2as\tag{3}\]

    Nyní můžeme dosadit z rovnice (3) do rovnice (2), upravit ji a vyjádřit zrychlení \(a\) těžiště skruže.

    \[Mgs\,sin{\alpha} = \frac{1}{2}2Mas + \frac{M(R^2+r^2)}{4}\frac{2sa}{R^2} \]

    \[g\,sin{\alpha} = a + \frac{a(R^2+r^2)}{2R^2} \]

    \[g\,sin{\alpha} = a\frac{(3R^2+r^2)}{2R^2}\]

    \[a=\frac{2R^2 g\,sin{\alpha}}{3R^2+r^2}\]

  • Řešení b) - Pohybové rovnice

    Načrtněme si situaci do obrázku. Na skruž působí v hmotném středu tíhová síla \(\vec {F_G}\) svisle dolů, tlaková síla svahu (podložky) \(\vec N\) působící v bodě dotyku skruže a svahu, kolmá na podložku, a třecí síla \(\vec {F_t}\) působící proti pohybu skruže, který se děje směrem dolů ze svahu.

    Obr. 5: Rozbor působících sil na skruž

    Skruž se pohybuje, výslednice působících sil je tedy nenulová. Podle druhého Newtonova zákona platí:

    \[\vec {F_{výsledná}}=m\vec a,\]

    kde \(a\) je velikost hledaného zrychlení těžiště.

    Pohybovou rovnici potřebujeme přepsat skalárně. Soustavu souřadnic zvolíme podle obrázku. Tíhovou sílu rozložíme do směru souřadných os.

    Obr. 6: Rozklad sil do směrů os

    Nyní sestavme rovnice pro síly působící ve směru (či proti směru) příslušných os. Zrychlený pohyb způsobují pouze síly ve směru osy x, tímto směrem se skruž valí. Ve směru osy y skruž nijak neskáče, proto je výslednice sil v tomto směru rovna nule.

    \[x: F_{Gx}-F_t=Ma\]

    \[y: N-F_{Gy}=0\]

    Složky tíhové síly umíme vyjádřit pomocí pravoúhlého trojúhelníku s přeponou o velikosti \(F_G\) a úhlem \(\alpha\) u jednoho z vrcholů.

    \[F_{Gx}=F_G\,sin{\alpha}=Mg\,sin{\alpha}\]

    \[F_{Gy}=F_G\,cos{\alpha}=Mg\,cos{\alpha}\]

    Zdá se, že rovnice pro směr y nám nedává žádnou důležitou informaci. Dosadíme tedy pouze do rovnice pro osu x:

    \[Mg\,sin{\alpha}-F_t=Ma\tag{4}\]

    Abychom se dokázali „zbavit“ neznámé třecí síly, využijeme momentovou větu. Vyjádříme výsledný moment působících sil vzhledem ke středu otáčení skruže, tedy hmotnému středu. Tento bod je výhodný, protože je zároveň působištěm tíhové síly, tedy její moment bude nulový. Pro velikost momentu síly (podle vztahu pro velikost vektorového součinu) máme \(M=Fr_0\,sin{\phi}\), kde \(\phi\) je úhel, který svírají vektory \(\vec {F}\) a \(\vec {r_0}\). Podle obrázku vidíme, že úhel mezi silou \(\vec N\) a vektorem \(\vec R\) je nulový, tedy otáčivé účinky normálové síly jsou také nulové.

    Obr. 7: Rameno třecí a normálové síly ze středu otáčení (těžiště)

    Třecí síla \(F_t\) svírá s vektorem \(\vec R\) pravý úhel, tedy sinus je roven 1. Výsledný moment je tedy roven:

    \[F_tR=M_{celkový}\tag{5}\]

    Celkový moment síly je nenulový, neboť se skruž valí s nenulovým úhlovým zrychlením. Napíšeme pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

    \[M_{celkový}=J\xi,\]

    kde \(J\) představuje moment setrvačnosti skruže, který jsme odvodili v části a), a \(\xi\) je úhlové zrychlení, které je lze vyjádřit pomocí našeho zrychlení \(a\) a poloměru otáčení, ten je v našem případě \(R\), jako

    \[\xi =\frac{a}{R}\]

    Nyní dosadíme do rovnice (5) a spolu s rovnicí (4) tak získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, ze kterých již snadno určíme zrychlení \(a\) hmotného středu skruže.

    \[F_tR=J\frac{a}{R}\]

    \[Mg\,sin{\alpha}-F_t=Ma\]

    Z první rovnice vyjádříme třecí sílu \(F_t\) a dosadíme do druhé rovnice.

    \[F_t=\frac{Ja}{R^2}\]

    \[Mg\,sin{\alpha}-\frac{Ja}{R^2}=Ma\tag{6}\]

    Rovnici (6) budeme dále upravovat, vyjádříme zrychlení \(a\) a dosadíme za moment setrvačnosti \(J\).

    \[Mg\,sin{\alpha}=a\left(M+\frac{J}{R^2}\right)\]

    \[Mg\,sin{\alpha}=a\left(M+\frac{M(R^2+r^2)}{2R^2}\right)\]

    \[g\,sin{\alpha}=a\left(\frac{(3R^2+r^2)}{2R^2}\right)\]

    \[a=\frac{2R^2g\,sin{\alpha}}{3R^2+r^2}\]

    Určili jsme tedy zrychlení, s jakým se pohybuje hmotný střed skruže ze svahu.

  • Odpověď a)

    Moment setrvačnosti skruže o vnitřním poloměru \(r\), vnějším poloměru \(R\) a hmotnosti \(M\) je:

    \[J=\frac{1}{2}M\left(R^2+r^2\right).\]

  • Odpověď b)

    Zrychlení hmotného středu skruže je

    \[a=\frac{2R^2 g\,sin{\alpha}}{3R^2+r^2}.\]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze