Ptačí rekordman

Úloha číslo: 858

Sup Ruppelův je v ptačí říši rekordmanem ve výšce letu. V roce 1973 byl zaznamenán jeho let do výšky \(11 277 \mathrm{m}\) nad povrchem Země.

Obrázek k 
 zadání

Do jaké výšky by musel sup vyletět, aby se gravitační síla, která na něj působí, když je na Zemi, dvakrát zmenšila? Kolikrát by tak musel překonat svůj rekord?

  • Zápis

    \(h_{r}=11 277 \mathrm{m}\) výška, do které sup vyletěl v roce 1973
    \(F_{g_{Z}} \) gravitační síla působící na supa na Zemi
    \(h_{x}\) výška, do které by sup musel vyletět, aby se gravitační síla \(F_{g_{Z}} \) dvakrát zmenšila
    \(F_{gx}\) gravitační síla působící na supa ve výšce \(h_{x}\)
    \(x\) kolikrát by musel sup překonat výšku \(h_{r}\), aby se gravitační síla \(F_{g_{Z}} \) dvakrát zmenšila

  • Nápověda 1

    Formulujte Newtonův gravitační zákon.

  • Nápověda 2

    Využitím Newtonova gravitačního zákona určete, jak velká gravitační síla \(F_{g_{Z}} \) působí na supa na povrchu Země a jak velká gravitační síla \(F_{gx}\) by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky \(h_{x}\).

  • Nápověda 3

    Ze zadání víme, že \(F_{g_{Z}} \) má být dvakrát menší než \(F_{gx}\). Neboli \(\frac{F_{g_{Z}}}{2}=F_{gx}\). Využijte tohoto vztahu k vyjádření hledané výšky.

  • Nápověda 4

    Abychom mohli určit \(x\), potřebujeme znát výšku \(h_{x}\). Najděte výšku \(h_{x}\) vyřešením kvadratické rovnice (3).

  • Nápověda 5

    Kolikrát je výška \(h_{x}\) větší než výška \(h_{r}\)?

  • Celkové řešení

    Newtonův gravitační zákon

     

    Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami, navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.

     

    Vyjádření gravitační síly působící na supa na povrchu Země a gravitační síly, která by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky \(h_{x}\):

     

    Sup, který je na povrchu Země, je od středu Země vzdálen o její poloměr \(R\). Působí na něj gravitační síla: \[F_{g_{Z}}=\kappa \frac{mM}{R^2},\tag{1}\] kde \(m\) je hmotnost supa a \(M\) je hmotnost Země.

    Sup, který by vyletěl do výšky \(h_{x}\), je od středu Země vzdálen o součet jejího poloměru \(R\) a výšky \(h_{x}\). Působí na něj gravitační síla: \[F_{gx}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_{x}\right)^2}.\tag{2}\]

     

    \(F_{g_{Z}} \) má být dvakrát menší než \(F_{gx}\)

     

    Vycházíme ze vztahu: \[\frac{F_{g_{Z}}}{2}=F_{gx}.\] Za \(F_{g_{Z}}\) a \(F_{gx}\) dosadíme dle (1) a (2): \[\frac{\kappa \frac{mM}{R^2}}{2}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(\frac{2}{\kappa mM}\): \[\frac{1}{R^2}= \frac{2}{\left(R+h_{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(R^2\left(R+h_{x}\right)^2\): \[{\left(R+h_{x}\right)^2}= 2R^2.\] Na levé straně rovnice umocníme závorku a od obou stran rovnice odečteme \(R^2\): \[{h_{x}}^2+2Rh_{x}-R^2=0.\tag{3}\]

     

    Hledání výšky \(h_{x}\):

     

    Kvadratická rovnice (3) má dva kořeny \(h_{x1}\), \(h_{x2}\): \[h_{x1}=\frac{-2R+\sqrt{4R^2+4R^2}}{2},\] \[h_{x2}=\frac{-2R-\sqrt{4R^2+4R^2}}{2}.\] Sečteme členy pod odmocninou, v čitateli vytkneme dvojku a následně jí vykrátíme: \[h_{x1}=-R+\sqrt{2R^2},\] \[h_{x2}=-R-\sqrt{2R^2}.\] Vytkneme \(R\): \[h_{x1}=R\left(-1+\sqrt{2}\right),\] \[h_{x2}=R\left(-1-\sqrt{2}\right).\] Vidíme, že \(h_{x1}\) je kladné číslo a \(h_{x2}\) je záporné. Hodnota výšky musí být kladné číslo. Proto výška \(h_{xr1}\) je rovna hledané výšce \(h_{x}\): \[h_{x}=R\left(-1+\sqrt{2}\right).\] Číselné řešení:

    V tabulkách dohledáme poloměr Země \(R \dot= 6 378\cdot{10}^3\mathrm{m}\)  a dosadíme: \[h_{x}=6378\cdot{10}^3\left(-1+\sqrt{2}\right) \mathrm{m}  \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}.\]

     

    Výpočet \(x\)

     

    Kolikrát je výška \(h_{x}\) větší než výška \(h_{r}\) vypočítáme dle vztahu: \[x=\frac {h_{x}}{h_{r}}.\]

    Dosadíme výšku \(h_{r}=11 277 \mathrm{m}\) a výšku \(h_{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}:\) \[x=\frac {2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}}{11 277 \mathrm{m}}  \dot= 234.\]

  • Odpověď

    Sup by musel vyletět do výšky \(h_{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}\) a překonat svůj rekord přibližně dvě stě třicet čtyřikrát.

    Což je nereálné, protože to je již mimo atmosféru.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na porovnávání a rozlišování
Původní zdroj: Upraveno podle: Bartuška K.: Sbírka řešených úloh z fyziky pro
střední školy
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Upraveno podle: Bartuška K.: Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze