Ptačí rekordman

Úloha číslo: 858

Sup Ruppelův je v ptačí říši rekordmanem ve výšce letu. V roce 1973 byl zaznamenán jeho let do výšky \(11 277 \mathrm{m}\) nad povrchem Země.

Do jaké výšky by musel sup vyletět, aby se gravitační síla, která na něj působí, když je na Zemi, dvakrát zmenšila? Kolikrát by tak musel překonat svůj rekord?

Zápis

\(h_\mathrm{r}=11 277 \mathrm{m}\)	výška, do které sup vyletěl v roce 1973
\(F_\mathrm{g_{Z}} \)	gravitační síla působící na supa na Zemi
\(h_\mathrm{x}\)	výška, do které by sup musel vyletět, aby se gravitační síla \(F_\mathrm{g_{Z}} \) dvakrát zmenšila
\(F_\mathrm{gx}\)	gravitační síla působící na supa ve výšce \(h_\mathrm{x}\)
\(x\)	kolikrát by musel sup překonat výšku \(h_\mathrm{r}\), aby se gravitační síla \(F_\mathrm{g_{Z}} \) dvakrát zmenšila

Nápověda 1
Formulujte Newtonův gravitační zákon.
Řešení nápovědy 1
Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_\mathrm{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_\mathrm{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.
Nápověda 2
Využitím Newtonova gravitačního zákona určete, jak velká gravitační síla \(F_\mathrm{g_{Z}} \) působí na supa na povrchu Země a jak velká gravitační síla \(F_\mathrm{gx}\) by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky \(h_\mathrm{x}\).
Řešení nápovědy 2
Sup, který je na povrchu Země, je od středu Země vzdálen o její poloměr \(R\). Působí na něj gravitační síla: \[F_\mathrm{g_{Z}}=\kappa \frac{mM}{R^2},\tag{1}\] kde \(m\) je hmotnost supa a \(M\) je hmotnost Země.

Sup, který by vyletěl do výšky \(h_\mathrm{x}\), je od středu Země vzdálen o součet jejího poloměru \(R\) a výšky \(h_\mathrm{x}\). Působí na něj gravitační síla: \[F_\mathrm{gx}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\tag{2}\]
Nápověda 3
Ze zadání víme, že \(F_\mathrm{g_{Z}} \) má být dvakrát menší než \(F_\mathrm{gx}\). Neboli \(\frac{F_\mathrm{g_{Z}}}{2}=F_\mathrm{gx}\). Využijte tohoto vztahu k vyjádření hledané výšky.
Řešení nápovědy 3
Vycházíme ze vztahu: \[\frac{F_\mathrm{g_{Z}}}{2}=F_\mathrm{gx}.\] Za \(F_\mathrm{g_{Z}}\) a \(F_\mathrm{g_{x}}\) dosadíme dle (1) a (2): \[\frac{\kappa \frac{mM}{R^2}}{2}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(\frac{2}{\kappa mM}\): \[\frac{1}{R^2}= \frac{2}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(R^2\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2\): \[{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}= 2R^2.\] Na levé straně rovnice umocníme závorku a od obou stran rovnice odečteme \(R^2\): \[{h_\mathrm{x}}^2+2Rh_\mathrm{x}-R^2=0.\tag{3}\]
Nápověda 4
Abychom mohli určit \(x\), potřebujeme znát výšku \(h_\mathrm{x}\). Najděte výšku \(h_\mathrm{x}\) vyřešením kvadratické rovnice (3).
Řešení nápovědy 4
Kvadratická rovnice \({h_\mathrm{x}}^2+2Rh_\mathrm{x}-R^2=0\) má dva kořeny \(h_\mathrm{x1}\), \(h_\mathrm{x2}\): \[h_\mathrm{x1}=\frac{-2R+\sqrt{4R^2+4R^2}}{2},\] \[h_\mathrm{x2}=\frac{-2R-\sqrt{4R^2+4R^2}}{2}.\] Sečteme členy pod odmocninou, v čitateli vytkneme dvojku a následně jí vykrátíme: \[h_\mathrm{x1}=-R+\sqrt{2R^2},\] \[h_\mathrm{x2}=-R-\sqrt{2R^2}.\] Vytkneme \(R\): \[h_\mathrm{x1}=R\left(-1+\sqrt{2}\right),\] \[h_\mathrm{x2}=R\left(-1-\sqrt{2}\right).\] Vidíme, že \(h_\mathrm{x1}\) je kladné číslo a \(h_\mathrm{x2}\) je záporné. Hodnota výšky musí být kladné číslo. Proto výška \(h_\mathrm{x1}\) je rovna hledané výšce \(h_\mathrm{x}\): \[h_\mathrm{x}=R\left(-1+\sqrt{2}\right).\] Číselné řešení:

V tabulkách dohledáme poloměr Země \(R\dot=6 378\cdot{10}^3\mathrm{m}\) a dosadíme: \[h_\mathrm{x}=6378\cdot{10}^3\left(-1+\sqrt{2}\right) \mathrm{m} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}.\]
Nápověda 5
Kolikrát je výška \(h_\mathrm{x}\) větší než výška \(h_\mathrm{r}\)?
Řešení nápovědy 5
\(x\) vypočteme podle vztahu:
\[x=\frac {h_\mathrm{x}}{h_\mathrm{r}}.\]
Dosadíme \(h_\mathrm{r}=11 277 \mathrm{m}\) a \(h_\mathrm{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}:\) \[x=\frac {2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}}{11 277 \mathrm{m}} \dot= 234.\]
Celkové řešení
Newtonův gravitační zákon

Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami, navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_\mathrm{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_\mathrm{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.

Vyjádření gravitační síly působící na supa na povrchu Země a gravitační síly, která by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky \(h_\mathrm{x}\):

Sup, který je na povrchu Země, je od středu Země vzdálen o její poloměr \(R\). Působí na něj gravitační síla: \[F_\mathrm{g_{Z}}=\kappa \frac{mM}{R^2},\tag{1}\] kde \(m\) je hmotnost supa a \(M\) je hmotnost Země.

Sup, který by vyletěl do výšky \(h_\mathrm{x}\), je od středu Země vzdálen o součet jejího poloměru \(R\) a výšky \(h_\mathrm{x}\). Působí na něj gravitační síla: \[F_\mathrm{gx}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\tag{2}\]

\(F_\mathrm{g_{Z}} \) má být dvakrát menší než \(F_\mathrm{gx}.\)

Vycházíme ze vztahu: \[\frac{F_\mathrm{g_{Z}}}{2}=F_\mathrm{gx}.\] Za \(F_\mathrm{g_{Z}}\) a \(F_\mathrm{gx}\) dosadíme dle (1) a (2): \[\frac{\kappa \frac{mM}{R^2}}{2}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(\frac{2}{\kappa mM}\): \[\frac{1}{R^2}= \frac{2}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(R^2\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2\): \[{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}= 2R^2.\] Na levé straně rovnice umocníme závorku a od obou stran rovnice odečteme \(R^2\): \[{h_\mathrm{x}}^2+2Rh_\mathrm{x}-R^2=0.\tag{3}\]

Hledání výšky \(h_\mathrm{x}\):

Kvadratická rovnice (3) má dva kořeny \(h_\mathrm{x1}\), \(h_\mathrm{x2}\): \[h_\mathrm{x1}=\frac{-2R+\sqrt{4R^2+4R^2}}{2},\] \[h_\mathrm{x2}=\frac{-2R-\sqrt{4R^2+4R^2}}{2}.\] Sečteme členy pod odmocninou, v čitateli vytkneme dvojku a následně jí vykrátíme: \[h_\mathrm{x1}=-R+\sqrt{2R^2},\] \[h_\mathrm{x2}=-R-\sqrt{2R^2}.\] Vytkneme \(R\): \[h_\mathrm{x1}=R\left(-1+\sqrt{2}\right),\] \[h_\mathrm{x2}=R\left(-1-\sqrt{2}\right).\] Vidíme, že \(h_\mathrm{x1}\) je kladné číslo a \(h_\mathrm{x2}\) je záporné. Hodnota výšky musí být kladné číslo. Proto výška \(h_\mathrm{xr1}\) je rovna hledané výšce \(h_\mathrm{x}\): \[h_\mathrm{x}=R\left(-1+\sqrt{2}\right).\] Číselné řešení:

V tabulkách dohledáme poloměr Země \(R \dot= 6 378\cdot{10}^3\mathrm{m}\) a dosadíme: \[h_\mathrm{x}=6378\cdot{10}^3\left(-1+\sqrt{2}\right) \mathrm{m} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}.\]

Výpočet \(x\)

Kolikrát je výška \(h_\mathrm{x}\) větší než výška \(h_\mathrm{r},\) vypočítáme dle vztahu: \[x=\frac {h_\mathrm{x}}{h_\mathrm{r}}.\]

Dosadíme výšku \(h_\mathrm{r}=11 277 \mathrm{m}\) a výšku \(h_\mathrm{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}:\) \[x=\frac {2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}}{11 277 \mathrm{m}} \dot= 234.\]
Odpověď
Sup by musel vyletět do výšky \(h_\mathrm{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}\) a překonat svůj rekord přibližně 234krát.

Což je nereálné, protože to je již mimo atmosféru.