Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Ptačí rekordman
Úloha číslo: 858
Sup Ruppelův je v ptačí říši rekordmanem ve výšce letu. V roce 1973 byl zaznamenán jeho let do výšky 11 277 \mathrm{m} nad povrchem Země.

Zápis
h_\mathrm{r}=11 277 \mathrm{m} výška, do které sup vyletěl v roce 1973 F_\mathrm{g_{Z}} gravitační síla působící na supa na Zemi h_\mathrm{x} výška, do které by sup musel vyletět, aby se gravitační síla F_\mathrm{g_{Z}} dvakrát zmenšila F_\mathrm{gx} gravitační síla působící na supa ve výšce h_\mathrm{x} x kolikrát by musel sup překonat výšku h_\mathrm{r}, aby se gravitační síla F_\mathrm{g_{Z}} dvakrát zmenšila Nápověda 1
Formulujte Newtonův gravitační zákon.
Nápověda 2
Využitím Newtonova gravitačního zákona určete, jak velká gravitační síla F_\mathrm{g_{Z}} působí na supa na povrchu Země a jak velká gravitační síla F_\mathrm{gx} by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky h_\mathrm{x}.
Nápověda 3
Ze zadání víme, že F_\mathrm{g_{Z}} má být dvakrát menší než F_\mathrm{gx}. Neboli \frac{F_\mathrm{g_{Z}}}{2}=F_\mathrm{gx}. Využijte tohoto vztahu k vyjádření hledané výšky.
Nápověda 4
Abychom mohli určit x, potřebujeme znát výšku h_\mathrm{x}. Najděte výšku h_\mathrm{x} vyřešením kvadratické rovnice (3).
Nápověda 5
Kolikrát je výška h_\mathrm{x} větší než výška h_\mathrm{r}?
Celkové řešení
Newtonův gravitační zákon
Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami, navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly F_\mathrm{g} je přímo úměrná součinu hmotností m_{1}, m_{2} hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r: F_\mathrm{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2}, kde \kappa je gravitační konstanta.
Vyjádření gravitační síly působící na supa na povrchu Země a gravitační síly, která by na něj působila, kdyby vyletěl do výšky h_\mathrm{x}:
Sup, který je na povrchu Země, je od středu Země vzdálen o její poloměr R. Působí na něj gravitační síla: F_\mathrm{g_{Z}}=\kappa \frac{mM}{R^2},\tag{1} kde m je hmotnost supa a M je hmotnost Země.
Sup, který by vyletěl do výšky h_\mathrm{x}, je od středu Země vzdálen o součet jejího poloměru R a výšky h_\mathrm{x}. Působí na něj gravitační síla: F_\mathrm{gx}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}.\tag{2}
F_\mathrm{g_{Z}} má být dvakrát menší než F_\mathrm{gx}.
Vycházíme ze vztahu: \frac{F_\mathrm{g_{Z}}}{2}=F_\mathrm{gx}. Za F_\mathrm{g_{Z}} a F_\mathrm{gx} dosadíme dle (1) a (2): \frac{\kappa \frac{mM}{R^2}}{2}=\kappa \frac{mM}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}. Obě strany rovnice vynásobíme \frac{2}{\kappa mM}: \frac{1}{R^2}= \frac{2}{\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}. Obě strany rovnice vynásobíme R^2\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2: {\left(R+h_\mathrm{x}\right)^2}= 2R^2. Na levé straně rovnice umocníme závorku a od obou stran rovnice odečteme R^2: {h_\mathrm{x}}^2+2Rh_\mathrm{x}-R^2=0.\tag{3}
Hledání výšky h_\mathrm{x}:
Kvadratická rovnice (3) má dva kořeny h_\mathrm{x1}, h_\mathrm{x2}: h_\mathrm{x1}=\frac{-2R+\sqrt{4R^2+4R^2}}{2}, h_\mathrm{x2}=\frac{-2R-\sqrt{4R^2+4R^2}}{2}. Sečteme členy pod odmocninou, v čitateli vytkneme dvojku a následně jí vykrátíme: h_\mathrm{x1}=-R+\sqrt{2R^2}, h_\mathrm{x2}=-R-\sqrt{2R^2}. Vytkneme R: h_\mathrm{x1}=R\left(-1+\sqrt{2}\right), h_\mathrm{x2}=R\left(-1-\sqrt{2}\right). Vidíme, že h_\mathrm{x1} je kladné číslo a h_\mathrm{x2} je záporné. Hodnota výšky musí být kladné číslo. Proto výška h_\mathrm{xr1} je rovna hledané výšce h_\mathrm{x}: h_\mathrm{x}=R\left(-1+\sqrt{2}\right). Číselné řešení:
V tabulkách dohledáme poloměr Země R \dot= 6 378\cdot{10}^3\mathrm{m} a dosadíme: h_\mathrm{x}=6378\cdot{10}^3\left(-1+\sqrt{2}\right) \mathrm{m} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}.
Výpočet x
Kolikrát je výška h_\mathrm{x} větší než výška h_\mathrm{r}, vypočítáme dle vztahu: x=\frac {h_\mathrm{x}}{h_\mathrm{r}}.
Dosadíme výšku h_\mathrm{r}=11 277 \mathrm{m} a výšku h_\mathrm{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}: x=\frac {2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m}}{11 277 \mathrm{m}} \dot= 234.
Odpověď
Sup by musel vyletět do výšky h_\mathrm{x} \dot= 2{,}64{\cdot}10^6 \mathrm{m} a překonat svůj rekord přibližně 234krát.
Což je nereálné, protože to je již mimo atmosféru.