Setrvačník I
Úloha číslo: 206
Setrvačník o průměru 1 m koná 1000 otáček za minutu. Vypočtěte dráhu, kterou urazí bod na obvodu setrvačníku za 20 s, a velikost jeho obvodové rychlosti.
Zápis
D = 1 m průměr setrvačníku f = 1000 min−1 frekvence otáčení setrvačníku t = 20 s délka měření s = ? dráha bodu na obvodu setrvačníku uražená za čas t v = ? rychlost bodu na obvodu setrvačníku Nápověda 1: Obvodová a úhlová rychlost
Napište si vztah pro velikost obvodové rychlosti rovnoměrného pohybu po kružnici.
Jak lze ze zadaných hodnot určit úhlovou rychlost?
Nápověda 2: Dráha
Jak lze určit dráhu pomocí obvodové rychlosti?
Celkové řešení
Velikost obvodové rychlosti
Do vztahu v = ωr pro obvodovou rychlost dosadíme úhlovou rychlost ω = 2πf a dostaneme výslednou rovnici v = 2πfr, kde r je poloměr setrvačníku.
Do vzorce pro obvodovou rychlost potřebujeme dosadit frekvenci v hertzích, takže zadaný počet otáček za minutu musíme vydělit šedesáti. Potom dostaneme:
\[v = \omega r = 2\pi fr =2\cdot\pi\cdot\frac{1000}{60}\cdot0{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot{=}52{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]Dráha
Velikost obvodové rychlosti se nemění. Dráha, kterou urazí bod na okraji setrvačníku za 20 s, je tedy:
\[s = vt = 2\pi frt = 2\cdot\pi\cdot\frac{1000}{60}\cdot0{,}5{\cdot} 20\,\mathrm{m}\dot{=}\,1050\,\mathrm{m}\,.\]Odpověď
\[v = 2\pi fr \dot{=}52{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\] \[s = 2\pi frt \dot{=}\,1050\,\mathrm{m}\]Bod na obvodu setrvačníku má obvodovou rychlost asi 52,4 m s−1 a za 20 s urazí dráhu asi 1050 m.