Brzdná síla a auto

Úloha číslo: 196

Auto se pohybuje po dráze délky 100 m. Působí na něj brzdná síla velikosti 200 N. Počáteční rychlost auta je 100 km·h−1, hmotnost auta je 1000 kg.

Jaká je rychlost auta na konci dráhy?

Jaké je jeho zrychlení?

obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    L = 100 m dráha pohybu auta
    F = 200 N velikost brzdné síly
    v1 = 100 km·h−1 počáteční rychlost auta
    m = 1000 kg hmotnost auta
    v2 = ? rychlost auta na konci dráhy
    a = ? zrychlení auta
  • Nápověda 1

    K jakým přeměnám energie zde dochází?

    Rozmyslete si, kterou fyzikální veličinu je možno vyjádřit jako rozdíl energií.

  • Nápověda 2: Určení rychlosti

    Určete práci vykonanou brzdnou silou a rozdíl kinetických energií na počátku a na konci uvažovaného pohybu.

    Jaký vztah mají mezi sebou vykonaná práce a rozdíl energií?

    Jak lze ze získaného vztahu určit hledanou rychlost?

  • Nápověda 3: Zrychlení auta

    Rozmyslete si, pomocí kterého fyzikálního zákona můžeme určit zrychlení auta.

  • Celkové řešení

    Asi nejjednodušší bude počítat tuto úlohu přes zákon zachování energie.

     

    Rychlost auta

    Při brzdění auta se snižuje jeho rychlost, tedy klesá jeho kinetická energie.

    Změna kinetické energie auta je rovna práci vykonané brzdící silou. Ta se projeví zahřátím pneumatik i silnice. Platí:

    \[W = \mathrm{\Delta} E_{k}.\]

    Pro práci, vykonanou brzdnou silou, která je konstantní a rovnoběžná se směrem pohybu, platí:

    \[W = FL.\]

    Rozdíl kinetických energií je:

    \[\mathrm{\Delta} E_{k} = E_{k1}-E_{k2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{2}^{2}=\frac{1}{2}m\,\left(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\right).\]

    Z předcházejícich rovnic dostáváme:

    \[FL = \frac{1}{2}m\,\left(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\right).\]

    Z této rovnosti vyjádříme hledanou rychlost v2:

    \[ \frac{2FL}{m} = v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\, \Rightarrow \, v^{2}_{2} = v_{1}^{2}\,-\,\frac{2FL}{m},\] \[v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} - \frac{2FL}{m}}.\]

     

    Zrychlení auta

    Zrychlení auta vypočítáme z 2. Newtonova zákona

    \[F = ma \, \Rightarrow \, a = \frac{F}{m}.\]
  • Číselné dosazení

    Rychlost auta na konci dráhy

    \[v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} - \frac{2FL}{m}} = \sqrt{\left(\frac{100}{3{,}6}\right)^{2} - \frac{2{\cdot}200\cdot100}{1000}}\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\dot{=} 27{,}0\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

    Zrychlení auta:

    \[a = \frac{F}{m}= \frac{200}{1000} \,\mathrm{m \cdot s^{-2}}= 0{,}2\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]
  • Výsledek

    Rychlost auta na konci dráhy:

    \[v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} - \frac{2FL}{m}} \dot{=}  27{,}0\, \mathrm{m \cdot s^{-1}} = 97{,}4\, \mathrm{km \cdot h^{-1}}.\]

    Zrychlení auta:

    \[a = \frac{F}{m} \,=\,0{,}2\, \mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]
  • Komentář: Alternativní řešení

    Rychlost auta na konci dráhy můžeme spočítat i pomocí kinematických vztahů. Určíme nejprve velikost zrychlení auta.

    Zrychlení auta vypočítáme z 2. Newtonova zákona:

    \[F = ma \, \Rightarrow \, a = \frac{F}{m}.\]

    Zrychlení auta je konstantní, síla míří proti směru počáteční rychlosti, auto se tedy pohybuje rovnoměrně zpomaleným pohybem. Pro rychlost platí:

    \[v_{2} = v_{1} - at.\]

    Odtud vyjádříme čas brzdění:

    \[t = \frac{\left(v_{1} - v_{2}\right)}{a}.\]

    Pro dráhu rovnoměrně zpomaleného pohybu platí:

    \[L\,=\,v_{1}t\,-\,\frac{1}{2}at^{2}.\]

    Dosadíme za čas t a zrychlení a:

    \[L\,=\,\frac{v_{1}\left(v_{1} - v_{2}\right)}{a}\,-\,\frac{1}{2}a \frac{\left(v_{1} - v_{2}\right)^{2}}{a^{2}}\,=\,\] \[\,=\,\frac{1}{2a} \left(2v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} - v_{1}^{2} + 2v_{1}v_{2} - v_{2}^{2}\right) \,=\,\frac{m}{2F}\left(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\right).\]

    Odtud:

    \[ \frac{2FL}{m} = v_{1}^{2} - v_{2}^{2}\, \Rightarrow \, v^{2}_{2} = v_{1}^{2}\,-\,\frac{2FL}{m},\] \[v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} - \frac{2FL}{m}}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze