Pružinové váhy na pólu a na rovníku

Úloha číslo: 201

Pružinové váhy jsme ocejchovali na severním pólu a poté je převezli na rovník.

Budou na rovníku ukazovat stejné údaje jako na pólu? Zdůvodněte.

  • Nápověda 1 - princip pružinových vah

    Na jakém principu pružinové váhy pracují? Jakou fyzikální veličinu vlastně měří?

    Pružinové váhy (mincíř)
  • Nápověda 2 - tíha a tíhová síla

    Co víte o tíze? Jaký je její vztah k tíhové síle?

  • Nápověda 3 - z čeho je složena tíhová síla

    Řekli jsme si, že tíha závaží naměřená pružinovými vahami je rovna tíhové síle, která na závaží působí. Tíhová síla ale vzniká (a její velikost je tedy ovlivněna) složením dvou jiných sil - kterých? Jaký mají tyto síly směr?

  • Nápověda 4 - gravitační a odstředivá síla

    Už víme, že velikost tíhové síly (a tedy i tíhy měřené pružinovými vahami) závisí na velikost gravitační síly a odstředivé síly.

    Je gravitační síla pro dané závaží všude na povrchu Země stejná? Pokud ne, kde je největší a kde nejmenší?

    Je odstředivá síla pro dané závaží všude na povrchu Země stejná? Pokud ne, kde je největší a kde nejmenší?

  • Nápověda 5

    Co z toho vyplývá pro velikost tíhové síly (a tedy i údaje naměřeného pružinovými vahami) na pólu a na rovníku? Kde ukážou pružinové váhy větší hmotnost?
  • Celkové řešení

    Pružinové váhy měří tzv. tíhu - to je síla, kterou působí zavěšené závaží na pružinu. Tíha závaží má stejný směr i velikost jako tíhová síla, kterou na závaží působí Země. Lze se tedy dále zabývat tíhovou silou \(\vec{F}_G\).

    Z hlediska našeho problému je Země neinerciální vztažnou soustavou, která se otáčí kolem své osy s úhlovou rychlostí \(\omega\). Tíhová síla vzniká složením:

    1) Gravitační síly \(\vec{F}_g\) působící mezi Zemí a závažím - tato síla míří do středu Země a její velikost je všude na povrchu Země stejná, daná Newtonovým gravitačním zákonem:

    \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{R_z^2}\,,\]

    kde \(\kappa\) je gravitační konstanta, m hmotnost závaží, Mz hmotnost Země a Rz vzdálenost závaží od středu Země - tedy poloměr Země.

    2) Odstředivé síly \(\vec{F}_{od}\), která vzniká v důsledku rotace Země kolem své osy (tzv. setrvačná či fiktivní síla, u níž nenajdeme kdo či co jí působí). Její vektor leží v rovině kolmé na osu otáčení (zemskou osu) a její velikost závisí na poloze na povrchu Země vztahem:

    \[F_{od}\,=\,m{\omega^2}r\,=\,m(\frac{2\pi}{T})^{2}r\,,\]

    kde m je hmotnost závaží, \(\omega\) úhlová rychlost otáčení, T doba jednoho otočení Země kolem své osy a r poloměr kružnice, po níž bod obíhá vzhledem k ose otáčení (na rovníku je to poloměr Země).

    Odstředivá a gravitační síla

    Platí tedy: \[\vec{F}_G\,=\,\vec{F}_g\,+\,\vec{F}_{od}.\]

    Na pólu, kde r = 0, je odstředivá síla nulová, tedy platí, že tíhová síla je rovna gravitační co do směru i velikosti:

    \[\vec{F}_{G(pol)}\,=\,\vec{F}_g,\] \[F_{G(pol)}\,=\,F_g.\] Na rovníku je odstředivá síla maximální a má opačný směr než síla gravitační (viz obrázek): \[\vec{F}_{G(rov)}\,=\,\vec{F}_g\,+\,\vec{F}_{od},\] \[F_{G(rov)}\,=\,F_g\,-\,F_{od}.\]

    Protože pružinové váhy měří tíhu, jež je stejně velká jako tíhová síla, ukážou tyto váhy na rovníku menší hmotnost než na pólu.

    Pro závaží o hmotnosti 1 kg:

    \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg},\] \[R_z\,=\,6{,}378{\cdot}10^{6}\,\mathrm{m},\] \[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N\cdot{m^2}\cdot{kg^{-2}}},\] \[T\,=\,24\,\mathrm{h}\,=\,86400\,\mathrm{s},\]

    \[F_{G(pol)}\,=\,\kappa\frac{mM_z}{R_z^2}\,=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\cdot\frac{1{\cdot}5{,}98{\cdot}10^{24}}{(6{,}378{\cdot}10^6)^2})\,\mathrm{N}\,=\,9{,}805\,\mathrm{N},\]

    \[F_{G(rov)}\,=\,\kappa\frac{mM_z}{R_z^2}\,-\,m(\frac{2\pi}{T})^{2}R_z\,=\\=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\cdot\frac{1{\cdot}5{,}98{\cdot}10^{24}}{(6{,}378{\cdot}10^6)^2}\,-\,1\cdot(\frac{2\pi}{86400})^2\cdot{6{,}378{\cdot}10^6})\,\mathrm{N}\,=\,9{,}771\,\mathrm{N}.\]

  • Výsledek

    Pružinové váhy budou pro stejné závaží ukazovat na rovníku nižší hmotnost než na pólu.

  • Odkaz na podobnou úlohu

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená úvahou
Úloha na porovnávání a rozlišování
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze