Malý Pavlík

Úloha číslo: 112

Malý Pavlík se rozjel na kole po přímé cestě. Závislost jeho zrychlení na čase udává následující tabulka:

 

t / 10-1s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a / m·s-2 4,0 3,7 3,3 3,0 2,6 2,3 1,9 1,6 1,2 0,8 0,4

Narýsujte graf a určete tvar funkce a(t). Určete odtud průběh rychlosti a polohy Pavlíka v závislosti na čase.

Předpokládejte, že v čase t = 0 s byl Pavlík v klidu a v počátku soustavy souřadnic.

Poznámka: Přesněji bychom měli mluvit o velikosti zrychlení a velikosti rychlosti. Vzhledem k tomu, že se jedná o přímočarý pohyb a jejich směr se nemění, píšeme jen zrychlení a rychlost.

  • Nápověda 1: Graf závislosti zrychlení Pavlíka na čase

    Ze zadané tabulky si nejprve nakreslete graf závislosti zrychlení Pavlíka na čase.

    Co je grafem dané závislosti?

  • Nápověda 2: Vyjádření funkce a(t)

    Pro vyjádření funkce a(t) použijte směrnicový tvar přímky.

  • Nápověda 3: Průběh rychlosti Pavlíka

    Víte, jak se s časem mění zrychlení Pavlíka. Jak odtud zjistíte závislost jeho rychlosti na čase?

  • Nápověda 4: Průběh polohy Pavlíka

    Průběh rychlosti Pavlíka již znáte.

    Jakým způsobem odvodíte průběh závislosti jeho polohy na čase?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Poznámka: Rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

    \[y\,=\,1\,\mathrm{m}-2\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\cdot t\,.\]

    Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

     

    Podle zadané tabulky nakreslíme graf závislosti zrychlení Pavlíka na čase:

    Graf závislosti zrychlení na čase

    Grafem je přímka.

     

    Pro vyjádření funkce a(t) použijeme směrnicový tvar přímky:

    \[a\left(t\right)\,=\,-kt+q\,,\]

    \(q\, =\, 4\)  (průsečík se svislou osou)

    \(k\,=\,tg\,\alpha\) (směrnice)

    \[tg\alpha\,=\,\frac{\Delta{a}}{\Delta{t}} \,=\, \frac{4-0{,}4}{1} \,=\, 3{,}6\,.\]

    ( α je úhel, který přímka svírá s osou x)

     

    Platí: \[a\left(t\right)\,=\,-3{,}6t+4\,.\]

     

    Průběh rychlosti získáme integrací vztahu a(t):

    \[v\left(t\right)\,=\,\int{a\left(t\right)}dt\,=\,\int{\left(-3{,}6t+4\right)}dt\,,\] \[v\left(t\right)\,=\,-\frac{3{,}6}{2}t^{2}+4t+C\,=\,-1{,}8^{2}+4t+C\,.\]

    Konstantu C zjistíme z počátečních podmínek:

    pro t = 0 s je v = 0 m s-1,

    tedy C = 0

     

    Platí:

    \[v\left(t\right)\,=\,-1{,}8t^{2}+4t\,.\]

     

    Průběh polohy získáme integrací vztahu v(t):

    \[s\left(t\right)\,=\,\int{v\left(t\right)}dt\,=\,\int{\left(-1{,}8t^{2}+4t\right)}dt\,,\] \[s\left(t\right)\,=\, -\frac{1{,}8}{3}t^{3}+\frac{4}{2}t^{2}+D \,=\, -0{,}6t^{3}+2t^{2}+D\,.\]

    Konstantu D zjistíme z počátečních podmínek:

    pro t = 0 s je s = 0 m,

    tedy D = 0

     

    Platí:

    \[s\left(t\right)\,=\,-0{,}6t^{3}+2t^{2}\,.\]
  • Odpověď

    Graf závislosti zrychlení Pavlíka na čase:

    Graf závislosti zrychlení na čase

    Vyjádření funkce a(t) je:

    \[a\left(t\right)\,=\,-3{,}6t+4\,.\]

     

    Průběh rychlosti v(t) je:

    \[v\left(t\right)\,=\,-1{,}8t^{2}+4t\,.\]

     

    Průběh polohy s(t) je:

    \[s\left(t\right)\,=\,-0{,}6t^{3}+2t^{2}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze