Kladkostroj

Úloha číslo: 100

Na soustavě kladek na obrázku je zavěšen kbelík o hmotnosti m2 a kvádr o hmotnosti m1. Určete velikost zrychlení, se kterým se kbelík a kvádr pohybují, a velikost síly T namáhající provaz. Hmotnost kladek a provazu neuvažujte. Kbelík se pohybuje směrem nahoru, kvádr směrem dolů.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m1 hmotnost kvádru
    m2 hmotnost kbelíku
    a1 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kvádr
    a2 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík
    T = ? velikost síly namáhající provaz
  • Nápověda 1 – působící síly a pohybové rovnice

    Uvědomte si, jaké síly působí na kbelík a kvádr. Nakreslete si obrázek. Napište pohybové rovnice pro kbelík a pro kvádr.

  • Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, provazové síly

    Zvolte souřadný systém a pohybové rovnice přepište skalárně. Rozmyslete si, jaké vztahy budou platit pro velikosti provazových sil T, T' a T''.

  • Nápověda 3 – zrychlení

    Rozmyslete si, jaká bude velikost zrychlení a1 vůči a2. Představte si, že kbelík povyjede o vzdálenost s, o jakou vzdálenost klesne kvádr?

  • Nápověda 4 – velikosti zrychlení, síla T

    Dostali jste 2 rovnice (8) a (9) o dvou neznámých T a a1. Vyřešte je a z rovnice (7) dopočítejte velikost zrychlení a2.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku nakreslíme všechny síly působící na kbelík a na kvádr a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

    Síly působící na tělesa

    Síly působící na kbelík m2:

    \(\vec{F}_{G_2}\)…síla tíhová

    \(\vec{T}\)…síla, kterou provaz působí na kbelík

    Síly působící na kvádr m1:

    \(\vec{F}_{G_1}\)…síla tíhová

    \(\vec{T}^{\prime}\)…síla, kterou provaz působí na kvádr

    \(\vec{T}^{\prime\prime}\)…síla, kterou provaz působí na kvádr

    Pohybová rovnice pro kbelík:

    \[\vec{F}_{G_2}+\vec{T}=m_2\vec{a}_2.\tag{1}\]

    Pohybová rovnice pro kvádr:

    \[\vec{F}_{G_1}+\vec{T}^{\prime}+\vec{T}^{\prime\prime}=m_1\vec{a}_1.\tag{2}\]

    Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku.

    Síly působící na tělesa (se souřadnicemi)

    Přepíšeme rovnice (1) a (2) skalárně:

    \[T-F_{G_2}= m_2a_2,\tag{3}\]

    \[F_{G_1}-T^{\prime}-T^{\prime\prime} = m_1a_1.\tag{4}\]

    Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňují provazové síly. Pro velikosti provazových sil platí:

    \[|\vec{T}|=|\vec{T}^{\prime}|=|\vec{T}^{\prime\prime}|.\]

    Přepíšeme rovnice (3) a (4):

    \[T-F_{G_2}= m_2a_2,\tag{5}\]

    \[F_{G_1}-2T= m_1a_1.\tag{6}\]

    Vztah mezi velikostmi zrychlení a1 a a2:

    posunování provazu

    Povyjede-li kbelík o vzdálenost s, poklesne kvádr o vzdálenost \(\frac{s}{2}\).

    \[s=\frac{1}{2}a_2t^2,\]

    \[\frac{s}{2}=\frac{1}{2}a_1t^2.\]

    První rovnici vydělíme druhou rovnicí a dostáváme:

    \[2=\frac{a_2}{a_1},\]

    \[a_2=2a_1.\tag{7}\]

    Rovnice (5) a (6) tedy můžeme přepsat:

    \[T-m_2g= m_22a_1,\tag{8}\]

    \[m_1g-2T= m_1a_1.\tag{9}\]

    Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, spočteme z nich velikost zrychlení a1 a síly T. První rovnici vynásobíme dvěma a rovnice sečteme:

    \[T-m_2g= m_22a_1 \qquad /\cdot2,\]

    \[m_1g-2T= m_1a_1.\]

    Odtud:

    \[m_1g-2m_2g= m_1a_1+4m_2a_1,\]

    \[(m_1-2m_2)g= (m_1+4m_2)a_1,\]

    \[a_1=\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{10}\]

    Podle vztahu (7) platí:

    \[a_2=2a_1=2\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}=\frac{(2m_1-4m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{11}\]

    Velikost síly T spočteme např. ze vztahu (8):

    \[T-m_{2}g= m_22a_1,\] \[T=m_22a_1+m_{2}g=m_2\frac{2(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}+m_2g,\] \[T=\frac{2(m_2m_1-2m_2^2)g}{m_1+4m_2}+m_2g =\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2(m_1+4m_2))g}{m_1+4m_2},\] \[T=\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2m_1+4m_2^2)g}{m_1+4m_2}= \frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2},\] \[T=\frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2}.\tag{12}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje závaží, je \[a_1\,=\,\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}.\]

    Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík, je \[a_2\,=\,2a_1\,=\,\frac{(2m_1-4m_2)g}{m_1+4m_2}.\]

    Velikost síly T namáhající provaz je \[T\,=\,\frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2}.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze