Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Kladkostroj
Úloha číslo: 100
Na soustavě kladek na obrázku je zavěšen kbelík o hmotnosti m2 a kvádr o hmotnosti m1. Určete velikost zrychlení, se kterým se kbelík a kvádr pohybují, a velikost síly T namáhající provaz. Hmotnost kladek a provazu neuvažujte. Kbelík se pohybuje směrem nahoru, kvádr směrem dolů.

Zápis
m1 hmotnost kvádru m2 hmotnost kbelíku a1 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kvádr a2 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík T = ? velikost síly namáhající provaz Nápověda 1 – působící síly a pohybové rovnice
Uvědomte si, jaké síly působí na kbelík a kvádr. Nakreslete si obrázek. Napište pohybové rovnice pro kbelík a pro kvádr.
Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, provazové síly
Zvolte souřadný systém a pohybové rovnice přepište skalárně. Rozmyslete si, jaké vztahy budou platit pro velikosti provazových sil T, T' a T''.
Nápověda 3 – zrychlení
Rozmyslete si, jaká bude velikost zrychlení a1 vůči a2. Představte si, že kbelík povyjede o vzdálenost s, o jakou vzdálenost klesne kvádr?
Nápověda 4 – velikosti zrychlení, síla T
Dostali jste 2 rovnice (8) a (9) o dvou neznámých T a a1. Vyřešte je a z rovnice (7) dopočítejte velikost zrychlení a2.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Do obrázku nakreslíme všechny síly působící na kbelík a na kvádr a napíšeme pro ně pohybové rovnice.
Síly působící na kbelík m2:
→FG2…síla tíhová
→T…síla, kterou provaz působí na kbelík
Síly působící na kvádr m1:
→FG1…síla tíhová
→T′…síla, kterou provaz působí na kvádr
→T′′…síla, kterou provaz působí na kvádr
Pohybová rovnice pro kbelík:
→FG2+→T=m2→a2.
Pohybová rovnice pro kvádr:
→FG1+→T′+→T′′=m1→a1.
Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku.
Přepíšeme rovnice (1) a (2) skalárně:
T−FG2=m2a2,
FG1−T′−T′′=m1a1.
Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají žádný moment setrvačnosti a neovlivňují provazové síly. Pro velikosti provazových sil platí:
|→T|=|→T′|=|→T′′|.
Přepíšeme rovnice (3) a (4):
T−FG2=m2a2,
FG1−2T=m1a1.
Vztah mezi velikostmi zrychlení a1 a a2:
Povyjede-li kbelík o vzdálenost s, poklesne kvádr o vzdálenost s2:
s=12a2t2,
s2=12a1t2.
První rovnici vydělíme druhou rovnicí a dostáváme:
2=a2a1,
a2=2a1.
Rovnice (5) a (6) tedy můžeme přepsat:
T−m2g=m22a1,
m1g−2T=m1a1.
Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, spočteme z nich velikost zrychlení a1 a síly T. První rovnici vynásobíme dvěma a rovnice sečteme:
T−m2g=m22a1/⋅2,
m1g−2T=m1a1.
Odtud:
m1g−2m2g=m1a1+4m2a1,
(m1−2m2)g=(m1+4m2)a1,
a1=(m1−2m2)gm1+4m2.
Podle vztahu (7) platí:
a2=2a1=2(m1−2m2)gm1+4m2=(2m1−4m2)gm1+4m2.
Velikost síly T spočteme např. ze vztahu (8):
T−m2g=m22a1, T=m22a1+m2g=m22(m1−2m2)gm1+4m2+m2g, T=2(m2m1−2m22)gm1+4m2+m2g=(2m2m1−4m22+m2(m1+4m2))gm1+4m2, T=(2m2m1−4m22+m2m1+4m22)gm1+4m2=3m2m1gm1+4m2, T=3m2m1gm1+4m2.CELKOVÁ ODPOVĚĎ
Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje závaží, je a1=(m1−2m2)gm1+4m2.
Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík, je a2=2a1=(2m1−4m2)gm1+4m2.
Velikost síly T namáhající provaz je T=3m2m1gm1+4m2.