Sbírka řešených úloh

Kladkostroj

Úloha číslo: 100

Na soustavě kladek na obrázku je zavěšen kbelík o hmotnosti m₂ a kvádr o hmotnosti m₁. Určete velikost zrychlení, se kterým se kbelík a kvádr pohybují, a velikost síly T namáhající provaz. Hmotnost kladek a provazu neuvažujte. Kbelík se pohybuje směrem nahoru, kvádr směrem dolů.

• Zápis

  m1	hmotnost kvádru
  m2	hmotnost kbelíku
  a1 = ?	velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kvádr
  a2 = ?	velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík
  T = ?	velikost síly namáhající provaz

• Nápověda 1 – působící síly a pohybové rovnice

  Uvědomte si, jaké síly působí na kbelík a kvádr. Nakreslete si obrázek. Napište pohybové rovnice pro kbelík a pro kvádr.

• Řešení k nápovědě 1 – působící síly, pohybové rovnice

  

  Síly působící na kbelík m₂:

  $\vec{F}_\mathrm{G2}$…síla tíhová

  $\vec{T}$…síla, kterou provaz působí na kbelík

  Síly působící na kvádr m₁:

  $\vec{F}_\mathrm{G1}$…síla tíhová

  $\vec{T}^\prime$…síla, kterou provaz působí na kvádr

  $\vec{T}^{\prime\prime}$…síla, kterou provaz působí na kvádr

  Pohybová rovnice pro kbelík:

  $$\vec{F}_\mathrm{G_2}+\vec{T}=m_2\vec{a}_2.\tag{1}$$

  Pohybová rovnice pro kvádr:

  $$\vec{F}_\mathrm{G_1}+\vec{T}^\prime+\vec{T}^{\prime\prime}=m_1\vec{a}_1.\tag{2}$$

• Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, provazové síly

  Zvolte souřadný systém a pohybové rovnice přepište skalárně. Rozmyslete si, jaké vztahy budou platit pro velikosti provazových sil T, T' a T''.

• Řešení k nápovědě 2 – pohybové rovnice skalárně, provazové síly

  

  Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku. Přepíšeme rovnice (1) a (2) skalárně:

  $$T-F_\mathrm{G2}\,=\, m_2a_2,\tag{3}$$

  $$F_\mathrm{G1}-T^\prime-T^{\prime\prime} \,=\, m_1a_1.\tag{4}$$

  Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají žádný moment setrvačnosti a neovlivňují provazové síly. Pro velikosti provazových sil platí:

  $$|\vec{T}|\,=\,|\vec{T}^\prime|\,=\,|\vec{T}^{\prime\prime}|.$$

  Přepíšeme rovnice (3) a (4):

  $$T-F_\mathrm{G2}\,=\, m_2a_2,\tag{5}$$

  $$F_\mathrm{G1}-2T\,=\, m_1a_1.\tag{6}$$

• Nápověda 3 – zrychlení

  Rozmyslete si, jaká bude velikost zrychlení a₁ vůči a₂. Představte si, že kbelík povyjede o vzdálenost s, o jakou vzdálenost klesne kvádr?

• Řešení k nápovědě 3 – zrychlení

  Vztah mezi velikostmi zrychlení a₁ a a₂:

  

  Povyjede-li kbelík o vzdálenost s, poklesne kvádr o vzdálenost $\frac{s}{2}$:

  $$s\,=\,\frac{1}{2}a_2t^2,$$ $$\frac{s}{2}\,=\,\frac{1}{2}a_1t^2.$$

  První rovnici vydělíme druhou rovnicí a dostáváme:

  $$2\,=\,\frac{a_2}{a_1},$$ $$a_2\,=\,2a_1.\tag{7}$$

  Rovnice (5) a (6) tedy můžeme přepsat:

  $$T-m_2g\,=\, m_22a_1,\tag{8}$$ $$m_1g-2T\,=\, m_1a_1.\tag{9}$$

• Nápověda 4 – velikosti zrychlení, síla T

  Dostali jste 2 rovnice (8) a (9) o dvou neznámých T a a₁. Vyřešte je a z rovnice (7) dopočítejte velikost zrychlení a₂.

• Řešení k nápovědě 4 – velikosti zrychlení, síla T

  Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých (8) a (9), spočteme z nich velikost zrychlení a₁ a síly T. První rovnici vynásobíme dvěma a rovnice sečteme:

  $$T-m_2g\,=\, m_22a_1\qquad /\cdot2,$$ $$m_1g-2T\,=\, m_1a_1.$$

  Odtud:

  $$m_1g-2m_2g\,=\, m_1a_1+4m_2a_1\,,$$ $$(m_1-2m_2)g\,=\, (m_1+4m_2)a_1,$$ $$a_1\,=\,\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{10}$$

  Podle vztahu (7) platí:

  $$a_2\,=\,2a_1\,=\,2\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}\,=\,\frac{(2m_1-4m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{11}$$

  Velikost síly T spočteme např. ze vztahu (8):

  $$T-m_{2}g\,=\, m_22a_1\,,$$ $$T\,=\,m_22a_1+m_{2}g\,=\,m_2\frac{2(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}+m_2g,$$ $$T=\frac{2(m_2m_1-2m_2^2)g}{m_1+4m_2}+m_2g =\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2(m_1+4m_2))g}{m_1+4m_2},$$ $$T\,=\,\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2m_1+4m_2^2)g}{m_1+4m_2}\,=\, \frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2},$$ $$T\,=\,\frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2}.\tag{12}$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Do obrázku nakreslíme všechny síly působící na kbelík a na kvádr a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

  

  Síly působící na kbelík m₂:

  $\vec{F}_\mathrm{G_2}$…síla tíhová

  $\vec{T}$…síla, kterou provaz působí na kbelík

  Síly působící na kvádr m₁:

  $\vec{F}_\mathrm{G_1}$…síla tíhová

  $\vec{T}^{\prime}$…síla, kterou provaz působí na kvádr

  $\vec{T}^{\prime\prime}$…síla, kterou provaz působí na kvádr

  Pohybová rovnice pro kbelík:

  $$\vec{F}_\mathrm{G_2}+\vec{T}=m_2\vec{a}_2.\tag{1}$$

  Pohybová rovnice pro kvádr:

  $$\vec{F}_\mathrm{G_1}+\vec{T}^{\prime}+\vec{T}^{\prime\prime}=m_1\vec{a}_1.\tag{2}$$

  Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku.

  

  Přepíšeme rovnice (1) a (2) skalárně:

  $$T-F_\mathrm{G_2}= m_2a_2,\tag{3}$$

  $$F_\mathrm{G_1}-T^{\prime}-T^{\prime\prime} = m_1a_1.\tag{4}$$

  Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají žádný moment setrvačnosti a neovlivňují provazové síly. Pro velikosti provazových sil platí:

  $$|\vec{T}|=|\vec{T}^{\prime}|=|\vec{T}^{\prime\prime}|.$$

  Přepíšeme rovnice (3) a (4):

  $$T-F_\mathrm{G_2}= m_2a_2,\tag{5}$$

  $$F_\mathrm{G_1}-2T= m_1a_1.\tag{6}$$

  Vztah mezi velikostmi zrychlení a₁ a a₂:

  

  Povyjede-li kbelík o vzdálenost s, poklesne kvádr o vzdálenost $\frac{s}{2}$:

  $$s=\frac{1}{2}a_2t^2,$$

  $$\frac{s}{2}=\frac{1}{2}a_1t^2.$$

  První rovnici vydělíme druhou rovnicí a dostáváme:

  $$2=\frac{a_2}{a_1},$$

  $$a_2=2a_1.\tag{7}$$

  Rovnice (5) a (6) tedy můžeme přepsat:

  $$T-m_2g= m_22a_1,\tag{8}$$

  $$m_1g-2T= m_1a_1.\tag{9}$$

  Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, spočteme z nich velikost zrychlení a₁ a síly T. První rovnici vynásobíme dvěma a rovnice sečteme:

  $$T-m_2g= m_22a_1 \qquad /\cdot2,$$

  $$m_1g-2T= m_1a_1.$$

  Odtud:

  $$m_1g-2m_2g= m_1a_1+4m_2a_1,$$

  $$(m_1-2m_2)g= (m_1+4m_2)a_1,$$

  $$a_1=\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{10}$$

  Podle vztahu (7) platí:

  $$a_2=2a_1=2\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}=\frac{(2m_1-4m_2)g}{m_1+4m_2}.\tag{11}$$

  Velikost síly T spočteme např. ze vztahu (8):

  $$T-m_{2}g= m_22a_1,$$ $$T=m_22a_1+m_{2}g=m_2\frac{2(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}+m_2g,$$ $$T=\frac{2(m_2m_1-2m_2^2)g}{m_1+4m_2}+m_2g =\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2(m_1+4m_2))g}{m_1+4m_2},$$ $$T=\frac{(2m_2m_1-4m_2^2+m_2m_1+4m_2^2)g}{m_1+4m_2}= \frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2},$$ $$T=\frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2}.\tag{12}$$

• CELKOVÁ ODPOVĚĎ

  Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje závaží, je $$a_1\,=\,\frac{(m_1-2m_2)g}{m_1+4m_2}.$$

  Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík, je $$a_2\,=\,2a_1\,=\,\frac{(2m_1-4m_2)g}{m_1+4m_2}.$$

  Velikost síly T namáhající provaz je $$T\,=\,\frac{3m_2m_1g}{m_1+4m_2}.$$