Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Kladkostroj

Úloha číslo: 100

Na soustavě kladek na obrázku je zavěšen kbelík o hmotnosti m2 a kvádr o hmotnosti m1. Určete velikost zrychlení, se kterým se kbelík a kvádr pohybují, a velikost síly T namáhající provaz. Hmotnost kladek a provazu neuvažujte. Kbelík se pohybuje směrem nahoru, kvádr směrem dolů.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m1 hmotnost kvádru
    m2 hmotnost kbelíku
    a1 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kvádr
    a2 = ? velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík
    T = ? velikost síly namáhající provaz
  • Nápověda 1 – působící síly a pohybové rovnice

    Uvědomte si, jaké síly působí na kbelík a kvádr. Nakreslete si obrázek. Napište pohybové rovnice pro kbelík a pro kvádr.

  • Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, provazové síly

    Zvolte souřadný systém a pohybové rovnice přepište skalárně. Rozmyslete si, jaké vztahy budou platit pro velikosti provazových sil T, T' a T''.

  • Nápověda 3 – zrychlení

    Rozmyslete si, jaká bude velikost zrychlení a1 vůči a2. Představte si, že kbelík povyjede o vzdálenost s, o jakou vzdálenost klesne kvádr?

  • Nápověda 4 – velikosti zrychlení, síla T

    Dostali jste 2 rovnice (8) a (9) o dvou neznámých T a a1. Vyřešte je a z rovnice (7) dopočítejte velikost zrychlení a2.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku nakreslíme všechny síly působící na kbelík a na kvádr a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

    Síly působící na tělesa

    Síly působící na kbelík m2:

    FG2…síla tíhová

    T…síla, kterou provaz působí na kbelík

    Síly působící na kvádr m1:

    FG1…síla tíhová

    T…síla, kterou provaz působí na kvádr

    T…síla, kterou provaz působí na kvádr

    Pohybová rovnice pro kbelík:

    FG2+T=m2a2.

    Pohybová rovnice pro kvádr:

    FG1+T+T=m1a1.

    Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku.

    Síly působící na tělesa (se souřadnicemi)

    Přepíšeme rovnice (1) a (2) skalárně:

    TFG2=m2a2,

    FG1TT=m1a1.

    Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají žádný moment setrvačnosti a neovlivňují provazové síly. Pro velikosti provazových sil platí:

    |T|=|T|=|T|.

    Přepíšeme rovnice (3) a (4):

    TFG2=m2a2,

    FG12T=m1a1.

    Vztah mezi velikostmi zrychlení a1 a a2:

    posunování provazu

    Povyjede-li kbelík o vzdálenost s, poklesne kvádr o vzdálenost s2:

    s=12a2t2,

    s2=12a1t2.

    První rovnici vydělíme druhou rovnicí a dostáváme:

    2=a2a1,

    a2=2a1.

    Rovnice (5) a (6) tedy můžeme přepsat:

    Tm2g=m22a1,

    m1g2T=m1a1.

    Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, spočteme z nich velikost zrychlení a1 a síly T. První rovnici vynásobíme dvěma a rovnice sečteme:

    Tm2g=m22a1/2,

    m1g2T=m1a1.

    Odtud:

    m1g2m2g=m1a1+4m2a1,

    (m12m2)g=(m1+4m2)a1,

    a1=(m12m2)gm1+4m2.

    Podle vztahu (7) platí:

    a2=2a1=2(m12m2)gm1+4m2=(2m14m2)gm1+4m2.

    Velikost síly T spočteme např. ze vztahu (8):

    Tm2g=m22a1, T=m22a1+m2g=m22(m12m2)gm1+4m2+m2g, T=2(m2m12m22)gm1+4m2+m2g=(2m2m14m22+m2(m1+4m2))gm1+4m2, T=(2m2m14m22+m2m1+4m22)gm1+4m2=3m2m1gm1+4m2, T=3m2m1gm1+4m2.
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje závaží, je a1=(m12m2)gm1+4m2.

    Velikost zrychlení, se kterým se pohybuje kbelík, je a2=2a1=(2m14m2)gm1+4m2.

    Velikost síly T namáhající provaz je T=3m2m1gm1+4m2.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994.
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994. Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
En translation
Pl translation
Zaslat komentář k úloze