Střela a tyč I

Úloha číslo: 2162

Střela o hmotnosti \(m\) a rychlosti \(\vec{v_{0}}\) zasáhne konec dřevěné tyče délky \(L\) a hmotnosti \(M\) a uvázne v ní. Tyč je volně otáčivá kolem vodorovné osy procházející jedním koncem tyče.

a) Určete moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení.

b) Vypočtěte úhlovou rychlost, kterou se tyč začne otáčet.

c) Vypočtěte poměr \(\frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}\) změny vnitřní energie soustavy střela a tyč ku počáteční kinetické energii soustavy.

  • Rozbor

    Budeme předpokládat, že střela se do tyče po nárazu velmi rychle zaryje, a pak se začne tyč se střelou otáčet hledanou úhlovou rychlostí. K řešení úlohy využijeme zákon zachování momentu hybnosti. Vybereme dvě situace, první těsně před nárazem střely do tyče a druhou těsně po nárazu. Zapíšeme si celkový moment hybnosti soustavy střela a tyč v těchto situacích. Z rovnosti velikostí obou momentů hybnosti vyjádříme hledanou úhlovou rychlost.

    Při nárazu se střela i tyč zahřívají a deformují. K řešení úlohy tedy nelze využít zákon zachování mechanické energie. Z rozdílu celkové mechanické energie soustavy střela a tyč před nárazem a po něm určíme změnu vnitřní energie soustavy.

  • Nápověda a)

    Předpokládejte, že tyč je homogenní a tenká. Připomeňte si, co nám říká moment setrvačnosti a jak je definován. Zkuste si tyč rozdělit na menší části (podle délky, hmotnosti) a zapsat, jak bude vypadat moment setrvačnosti pro jeden takový kousek tyče.

  • Nápověda b)

    Budeme předpokládat, že střela se po nárazu do tyče rychle zaryje, a pak se společně dají do pohybu. K řešení využijeme jeden ze zákonů zachování. Rozmyslete si, která veličina se v dané situaci zachovává.

  • Nápověda c)

    Zapište si, čemu je rovna počáteční mechanická energie soustavy střela a tyč před nárazem střely do tyče a těsně po nárazu. Zamyslete se, zda budou energie stejně velké či ne. Jak vyjádříte změnu vnitřní energie soustavy?

  • Řešení a)

    Představme si homogenní tenkou tyč délky L a hmotnosti M rozsekanou na malé kousky délky \(\Delta\)l a hmotnosti \(\Delta\)M.

    Obr. 3: Nasekaná tyč

    Pro moment setrvačnosti jednoho takového kousku \(\Delta J_{tyč}\) platí

    \[ \Delta J_{tyč} = \Delta M l^2 \tag{1}\]

    Tyč považujeme za tenkou a homogenní, hmotnost jednoho kousku \(\Delta\)M tak můžeme vyjádřit pomocí lineární hustoty \(\lambda = \frac{M}{L} \) a jeho délky \(\Delta\)l. Tedy

    \[ \Delta M = \frac{M}{L} \Delta l \tag{2}\]

    Dosadíme z rovnice (2) do (1). Abychom získali celkový moment setrvačnosti, musíme sečíst příspěvky od všech nekonečně malých kousků, to znamená integrovat.

    \[ J_{tyč}= \int_0^{L}{\frac{M}{L}l^2}\,dl \]

    Tyč je zavěšena na jednom svém konci, integrovat budeme přes celou délku tyče tj. od 0 do L.

    Vypočteme integrál:

    \[ J_{tyč}= \frac{M}{L} \int_0^{L}l^2\,dl = \frac{M}{L}\left [\frac{l^3}{3} \right ]_0^L = \frac{M}{L}\left [\frac{L^3}{3} \right ]=\frac{ML^2}{3} \]

  • Řešení b)

    Pro určení úhlové rychlosti využijeme zákon zachování momentu hybnosti. Budeme uvažovat dvě situace, ve kterých se musí celkový moment hybnosti soustavy střela a tyč rovnat. Získáme tak rovnici, ze které úhlovou rychlost vyjádříme.

    Obr. 1: Počáteční situace
    Obr. 2: Situace po srážce

     

    Moment hybnosti hmotného bodu \(\vec{L}\) vzhledem k bodu O je definován jako vektorový součin polohového vektoru a hybnosti hmotného bodu:

    \[\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\,.\]

    Pro velikost vektorového součinu platí:

    \[L = rp\sin\varphi \,,\]

    kde φ je úhel sevřený oběma vektory.

    Vektor momentu hybnosti je kolmý k rovině určené vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{p}\). Jeho orientaci lze určit pravidlem pravé ruky: prsty dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{p}\), napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{L}\).

    Pro moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose otáčení platí:

    \[\vec{L} = J\vec{\omega}\,,\]

    kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose otáčení a \(\vec{\omega}\) úhlová rychlost otáčení.

    Pro velikost momentu hybnosti platí:

    \[L = J\omega\,.\]

    Směr vektoru momentu hybnosti je daný směrem vektoru úhlové rychlosti \(\vec{\omega}\).

    Moment hybnosti budeme určovat vzhledem k bodu závěsu tyče O.

    V první situaci je tyč v klidu, celkový moment hybnosti je tedy roven momentu hybnosti střely. Střela se pohybuje rychlostí v0 kolmo k tyči, vektorový součin můžeme tedy zjednodušit (sinus úhlu mezi vektorem rychlosti a polohovým vektorem je 1). Velikost polohového vektoru \(\vec{r}\) je rovna délce tyče L.

    Moment hybnosti pro první situaci

    \[\vec {L_{1}} = \vec {r}×\vec{p}\]

    Vektor momentu hybnosti míří před obrazovku. Pro jeho velikost platí:

    \[L_{1} = Lp = mv_{0}L\tag{3}\]

    Ve druhé situaci musíme počítat již s otáčivým pohybem tyče kolem osy. Moment setrvačnosti tyče vzhledem k dané ose jsme určili v první části úlohy. V tyči je nyní zaražena střela, musíme tedy ještě přičíst její vliv. Jelikož se střela i tyč pohybují stejnou úhlovou rychlostí, můžeme momenty setrvačnosti tyče Jtyč a střely Jstřela sečíst. Střelu považujeme za hmotný bod.

    \[ \vec{L_{2}} = \left(\frac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\vec{\omega}\, \]

    Moment hybnosti míří stejně jako v první situaci před obrazovku. Pro jeho velikost platí:

    \[ L_{2} = \left(\frac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega. \tag{4}\]

    Ze zákona zachování momentu hybnosti vyplývá rovnost vztahů (3)(4).

    \[ L_{1}=L_{2} \]

    \[ mv_{0}L = \left(\frac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega \]

    Vyjádříme úhlovou rychlost \(\omega\)

    \[ mv_{0} = \left(\frac{1}{3}M + m\right)L\omega \]

    \[ \omega = \frac{mv_{0}}{\left(\frac{1}{3}M + m\right)L} \]

    Výraz můžeme ještě upravit

    \[ \omega = \frac{3mv_{0}}{\left(M + 3m\right)L} \]

  • Řešení c)

    Nejprve určíme změnu vnitřní energie soustavy tyč–střela těsně před a po nárazu střely do tyče. Ta je daná rozdílem celkové mechanické energie soustavy před a po nárazu střely.

    Potenciální energie tyče i střely bude těsně před nárazem a po něm stejná, takže dále se budeme zabývat již jen kinetickou energií. Na počátku má celá soustava jen kinetickou energii střely \(E_{k_{0}}\), kinetická energie tyče je nulová.

    \[E_{k_{0}} = \frac{1}{2}mv_{0}^2\]

    Po nárazu střely se dá tyč se zarytou střelou do pohybu úhlovou rychlostí \(\omega\). Kinetickou energii rotačního pohybu tělesa určíme analogicky jako v případě kinetické energie střely, jen uvažujeme úhlovou rychlost a celkový moment setrvačnosti tělesa.

    \[E_k = \frac{1}{2}J_{celk} \omega^2\]

    Při určování momentu setrvačnosti nesmíme zapomenout, že střela v tyči uvízla a dál se pohybují společně, momenty setrvačnosti tyče (první část úlohy) a střely (hmotného bodu) je proto nutné sečíst.

    \[E_k = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}ML^2+mL^2\right)\omega^2\]

    Změnu vnitřní energie určíme jako rozdíl počáteční energie a energie konečné, tedy

    \[ \Delta U = E_{k_{0}} − E_k \]

    Dosadíme–li do tohoto vztahu, známe vše potřebné k určení hledaného poměru

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}} =\frac{E_{k_{0}} − E_k}{E_{k_{0}}} =\frac{\frac{1}{2}mv_{0}^2−\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}ML^2+mL^2\right) \omega^2}{\frac{1}{2}mv_{0}^2} \]

    Z druhé části úlohy dosadíme za úhlovou rychlost \(\omega\) a výraz upravíme

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}=\frac{\frac{1}{2}mv_{0}^2−\frac{1}{6}L^2\left(M+3m\right) \frac{9m^2v_{0}^2}{\left(M + 3m\right)^2L^2}}{\frac{1}{2}mv_{0}^2} = \frac{\frac{1}{2}m−\frac{3}{2} \frac{m^2}{\left(M + 3m\right)}}{\frac{1}{2}m} = 1−\frac{3m}{\left(M + 3m\right)} \]

    Získáváme poměr

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}= \frac{M}{\left(M + 3m\right)} \]

  • Odpověď a)

    Moment setrvačnosti tyče vzhledem k vodorovné ose otáčení procházející jejím koncem je

    \[J_{tyč}= \frac{1}{3}ML^2. \]
  • Odpověď b)

    Úhlová rychlost, s jakou se začne tyč se střelou otáčet, je \[ \omega = \frac{3mv_{0}}{\left(M + 3m\right)L}. \]

  • Odpověď c)

    Poměr \(\frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}\) je

    \[ \frac{M}{\left(M + 3m\right)} \]

  • Podobná úloha

    Můžete zkusit podobnou úlohu Náraz střely na konec otočné tyče.

    Chcete-li zkusit vyřešit o něco těžší úlohu podobného stylu, podívejte se na Střela a tyč II.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze