Klouzání úsečky I

Úloha číslo: 186

Úsečka AB konstantní délky l se pohybuje tak, že její koncové body kloužou po y-ové, resp. x-ové ose pravoúhlé soustavy souřadnic. (Obrázek ukazuje situaci v 1. kvadrantu.)

Klouzající úsečka

Zjistěte jakou trajektorii bude při tomto pohybu opisovat střed S uvedené úsečky.

  • Nápověda 1

    Napište si souřadnice bodů A, B. Souvisejí tyto souřadnice nějak s délkou l úsečky AB?

  • Nápověda 2

    Napište si souřadnice bodu S. Pohyb tohoto bodu budeme sledovat - zkuste tedy pomocí jeho souřadnic vyjádřit souřadnice bodů A a B.

  • Nápověda 3

    Sledujeme pohyb středu S, proto chceme „dostat“ do vztahu (1) jeho souřadnice. Dosaďte tedy za xy výrazy s xsys a výraz upravte.

    Jakou křivku popisuje výsledný vztah?

  • Celkové řešení

    Vyjádříme souřadnice bodů A, B:

    A=[0;y],

    B=[x;0].

    Označíme souřadnice středu úsečky: \(S = [x_{s};y_{s}]\) a vyjádříme \(S = [x_{s};y_{s}]=[\frac{x}{2};\frac{y}{2}].\)

    Odtud lze určit xy:

    \[x_{s}=\frac{x}{2}\Rightarrow x = 2x_{s},\]

    \[y_{s}=\frac{y}{2}\Rightarrow y = 2y_{s}.\]

    Délku úsečky můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty a za x, y dosadit:

    \[l^{2}=x^{2}+y^{2}=((2x_{s})^{2}+(2y_{s})^{2})=4(x_{s}^{2}+y_{s}^{2})\,.\]

    Úpravou dostáváme:

    \[(\frac{l}{2})^{2}=x_{s}^{2}+y_{s}^{2}\,,\]

    což je rovnice kružnice.

    Trajektorií bodu S je tedy kružnice. (Pokud necháme body A a B procházet pouze části souřadnicových os ohraničující 1.kvadrant, jak ukazuje obrázek, bude se jednat o čtvrtinu kružnice.)

    Poznámky:

    1) Na tomto principu je založena proužková metoda konstrukce kružnice: Nakreslete si na papír dvě navzájem kolmé přímky. Vezměte si proužek papíru (jeho délka je průměrem budoucí kružnice) a vyznačte na něm jeho střed. Položte proužek na papír tak, aby krajní body ležely každý na jiné přímce. V místě středu proužku vyznačte na papír bod kružnice. Posouváním krajních bodů proužku po přímkách vám začne střed proužku vykreslovat kružnici.

    2) Pokud místo dvou kolmých přímek na začátku narýsujete dvě různoběžné přímky, získáte uvedeným postupem elipsu. Elipsu tímto postupem získáte také v případě, že přímky budou kolmé, ale místo středu proužku budete při konstrukci využívat jeho jiný libovolný bod (viz úloha Klouzání úsečky II).

  • Výsledek

    Trajektorií středu úsečky je kružnice.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze