Pohyb daný graficky I

Úloha číslo: 15

Na obrázku jsou grafy závislosti dráhy na čase přímočarých pohybů autíček A, B, C, D.

a) Charakterizujte slovy pohyb jednotlivých autíček.

b) Určete průměrnou velikost rychlosti jednotlivých autíček v časovém intervalu od 0 s  do 4 s.

c) Určete velikost okamžité rychlosti jednotlivých autíček v čase 4 s.

d) Sestrojte do jednoho obrázku grafy závislosti rychlosti na čase pro jednotlivá autíčka.

e) Určete celkovou uraženou dráhu v čase t1 = 10 s  jednotlivých autíček (včetně případné počáteční nenulové dráhy), pokud by pohyb pokračoval podle uvedené grafické závislosti.

Obrázek k zadání úlohy

  • Nápověda 1 pro a): Popisy pohybů

    Graf A: Mění se dráha s časem?

    Graf B,C: Jaká matematická funkce popisuje závislost dráhy na čase těchto pohybů? Co můžete říct o přírůstku dráhy za stejné časové intervaly u těchto pohybů a co o rychlosti?

    Graf D: Jaká matematická funkce popisuje závislost dráhy na čase u tohoto pohybu? Jak se bude měnit s časem rychlost tohoto pohybu?

  • Nápověda 2 pro b): Uražená dráha, průměrná rychlost

    Jakou dráhu urazila autíčka v časovém intervalu od 0 s do 4 s ?

    Jak spočítáte průměrnou velikost rychlosti, znáte-li dráhu a čas?

  • Nápověda 3 pro c): Okamžitá rychlost

    Graf A, B, C: Jak se s časem mění rychlost u těchto pohybů?

    Kde je v grafech s(t) „schovaná“ rychlost?

    Graf D: Jak se s časem mění dráha rovnoměrně zrychleného pohybu?

    Umíte s využitím hodnot z grafu spočítat zrychlení? Co pak platí pro okamžitou rychlost?

  • Nápověda 4 pro d): Grafy v = v (t)

    Z odpovědí na předchozí nápovědy víte, jak se s časem mění rychlost u jednotlivých pohybů a znáte i její velikost v určitém čase. Stačí to jen zakreslit do grafu.

  • Nápověda 5 pro e): Uražená dráha

    Vyjádřete matematicky závislosti dráhy na čase s(t) dané grafem. (Pro graf D najdete odpověď v řešení bodu c)).

    Pak zjistěte hodnotu dráhy pro t = t1 = 10 s.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    a) Graf A: Dráha autíčka A se s časem nemění. Autíčko je v klidu. Počáteční uražená dráha je 10 m.

    Graf B: Jedná se o lineární závislost dráhy na čase. Rychlost pohybu se nemění. Jde o rovnoměrný přímočarý pohyb s počáteční uraženou dráhou 4 m.

    Graf C:Jedná se o lineární závislost dráhy na čase. Rychlost pohybu se nemění. Jde o rovnoměrný přímočarý pohyb s nulovou počáteční uraženou dráhou.

    Graf D: Grafem dráhy je parabola – dráha narůstá kvadraticky s časem. Rychlost pak roste lineárně s časem. Jedná se o rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb s nulovou počáteční dráhou.

     

    b) Průměrná velikost rychlosti vp je určena podílem uražené dráhy a odpovídajícího časového intervalu, tedy 4 s:

    A: uražená dráha \(s_4 =\, 0\),   \(v_p=\,0\) ,

    B: uražená dráha \(s_4 =\, 6 \,\mathrm{m}\),  \(v_p =\, \frac{6}{4}\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }=\, 1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }\),

    C: uražená dráha \(s_4 =\, 10 \,\mathrm{m}\),  \(v_p =\, \frac{10}{4}\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }=\, 2{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }\),

    D: uražená dráha \(s_4 =\, 10 \,\mathrm{m}\),  \(v_p =\, \frac{10}{4}\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }=\, 2{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }\).

     

    c)  Graf A, B, C: Rychlost se s časem nemění. Okamžitá rychlost je tedy rovna průměrné rychlosti spočítané v b).

    Rychlost je daná sklonem přímek – jejich směrnicí.

    Graf D:

    Dráha rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu je daná vztahem:

    \[s=\,\frac{at^{2} }{2}\,.\]

    (Dráha a rychlost v čase t = 0 s byla rovna nule.)

    Z grafu odečteme:

    v čase \(t = 4\,\mathrm{s}\)   je \(s(4)=10\,\mathrm{m}\) .

    Platí tedy:

    \[10\,\mathrm{m}\,=\,\frac{a \cdot 4^{2}\,\mathrm{s^{2}}}{2}.\]

    Odtud:

    \[a=1{,}25\,\mathrm{m \cdot s^{−2} }.\]

    Pro okamžitou rychlost platí:

    \[v=at= (1{,}25 {\cdot} 4)\,\mathrm{m \cdot s^{−1}}=\, 5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }.\]

     

    d) Z odpovědí v předchozích částech víme, jak se s časem mění rychlost u jednotlivých pohybů a známe i její velikost v určitém čase. Stačí to jen zakreslit do grafu.

    Grafy závislostí rychlostí na čase jednotlivých pohybů:

    Graf závislosti rychlosti na čase

    Rychlost autíček A, B, C se s časem neměnila:

    Pohyb autíčka A: \(v_A =\, 0\).

    Pohyb autíčka B: \(v_B =\, 1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }\).

    Pohyb autíčka C: \(v_C =\, 2{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{−1} }\).

    Pohyb autíčka D:

    Z grafu závislosti dráhy na čase:

    \[s=\,\frac{at^{2} }{2},\] \[10\,\mathrm{m} \,=\,\frac{a \cdot 4^{2}\,\mathrm{s^{2}}}{2},\] \[a=\,1{,}25\,\mathrm{m \cdot s^{−2} }.\]

    Pro závislost rychlosti na čase platí:

    \[v=at\,,\] \[v=1{,}25\,\mathrm{m \cdot s^{−2} }\cdot t\,.\]

     

    e) Vyjádříme matematicky závislosti dráhy na čase s(t) dané grafem. (Pro graf D je odpověď v řešení bodu c)).

    Pak zjistíme hodnotu dráhy pro t = t1 = 10 s.

    A: Autíčko je stále v klidu:

    \[s_0=s_1=\,10\,\mathrm{m}\,.\]

    B: Jedná se o rovnoměrný přímočarý pohyb s nenulovou počáteční dráhou:

    \[s_1=s_0+v_Bt_1=\,(4+1{,}5{\cdot} 10)\,\mathrm{m}\,=19\,\mathrm{m}\,.\]

    C: Jedná se o rovnoměrný přímočarý pohyb s nulovou počáteční dráhou:

    \[s_1=v_Ct_1=(2{,}5.10)\,\mathrm{m}=25\,\mathrm{m}\,.\]

    D: Jedná se o rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční dráhou:

    \[s_1=\frac{at_1^{2}}{2}=\frac{(1{,}25{\cdot} 100)\,\mathrm{m} }{2}=62{,}5\,\mathrm{m}\,.\]
  • Odpověď

    a) A: Autíčko je v  klidu.
    B, C: Jedná se o rovnoměrný přímočarý pohyb.
    D: Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený přímočarý.

     

    b) A: Průměrná velikost rychlosti v časovém intervalu od 0 s do 4 s je nulová.
    B: Průměrná velikost rychlosti v časovém intervalu od 0 s do 4 s je 1,5 m·s−1.
    C: Průměrná velikost rychlosti v časovém intervalu od 0 s do 4 s je 2,5 m·s−1.
    D: Průměrná velikost rychlosti v časovém intervalu od 0 s do 4 s je 2,5 m·s−1.

     

    c) A: Okamžitá rychlost v čase 4 s je nulová.
    B: Velikost okamžité rychlosti v čase 4 s je 1,5 m·s−1.
    C: Velikost okamžité rychlosti v čase 4 s je 2,5 m·s−1.
    D: Velikost okamžité rychlosti v čase 4 s je 5 m·s−1.

    d)

    Graf závislosti rychlosti na čase

     

    e) A: Celková uražená dráha v čase 10 s je 10 m .
    B: Celková uražená dráha v čase 10 s je 19 m .
    C: Celková uražená dráha v čase 10 s je 25 m .
    D: Celková uražená dráha v čase 10 s je 62,5 m .
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na zjišťování faktů
Úloha na překlad, transformaci
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz - upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz - upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze