Sbírka řešených úloh

Střela

Úloha číslo: 13

• Zápis

  m = 10 g	hmotnost střely
  M = 1 kg = 1 000 g	hmotnost kvádru
  h1 = 10 cm	hloubka, do které střela pronikla
  h2 = ?	hloubka, do které by střela pronikla, pokud by byl kvádr pohyblivý

• Nápověda 1 – zákony zachování

  K řešení úlohy využijte zákon zachování energie a hybnosti.

• Řešení k nápovědě 1 – zákony zachování

  Zákon zachování hybnosti (ZZH):

  Součet hybností těles v izolované soustavě je konstantní, nebo-li celková hybnost izolované soustavy se zachovává.

  Zákon zachování energie (ZZE):

  Celková energie izolované soustavy se zachovává.

• Nápověda 2 – nepohyblivý kvádr

  Co se děje s kinetickou energií střely v případě nepohyblivého kvádru. Zapište to rovnicí.

• Řešení k nápovědě 2 – nepohyblivý kvádr

  

  Kinetická energie střely před zásahem je rovna práci, kterou vykoná odporová síla F při jejím zabrždění na dráze h₁. Kinetická energie střely se mění na vnitřní energii dřeva a střely, což se projeví jejich zahřátím.

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,Fh_{1}$$ $$F\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{2h_{1}}\tag{1}$$

  F … odporová síla

  m … hmotnost střely

  v₁ … rychlost střely

  h₁ … hloubka, do které střela pronikne v případě nepohyblivého kvádru

• Nápověda 3 – volně pohyblivý kvádr

  Rozepište ZZH a ZZE pro případ volně pohyblivého kvádru.

• Řešení k nápovědě 3 – volně pohyblivý kvádr

  

  $$\mathrm{ZZH:} \qquad \vec p_{1}+ \vec p_{2}\,=\, \vec p_{1}^{'}+ \vec p_{2}^{'}\,,$$

  kde

  $\vec p_{1}$… vektor hybnosti střely před nárazem

  $\vec p_{2}$… vektor hybnosti kvádru před nárazem

  $\vec p_{1}^{'}$… vektor hybnosti střely po nárazu

  $\vec p_{2}^{'}$… vektor hybnosti kvádru po nárazu

  $$m\vec v_1+0\,=\,(M+m)\vec{v}$$

  skalárně:

  $$mv_1\,=\,(M+m)v\,,\tag{2}$$

  kde

  m… hmotnost střely

  v₁… rychlost střely před nárazem

  M… hmotnost kvádru

  v… výsledná rychlost soustavy vzniklé spojením kvádru a střely

   

  ZZE:

  Střela se zaryje do kvádru do hloubky h₂ a kvádr se střelou se bude pohybovat po zarytí rychlostí v. Počátěční kinetická energie střely se přemění jednak na práci odporové síly při zarytí střely do hloubky h₂, což se projeví zahřátím střely a kvádru, a na kinetickou energii kvádru a střely:

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,Fh_{2}+\frac{1}{2}(m+M)v^{2}\,,\tag{3}$$

  kde F je odporová síla a h₂ je hloubka, do které pronikla střela v případě volně pohyblivého kvádru.

• Nápověda 4 – hledaná hloubka

  Získali jste 3 rovnice (1),(2),(3), vyjádřete z nich neznámou hloubku h₂.

• Řešení k nápovědě 4 – hledaná hloubka

  Ze vztahu (2) si vyjádříme výslednou rychlost soustavy:

  $$v\,=\,\frac{mv_{1}}{m\,+\,M}\,.\tag{4}$$

  Do rovnice (3) dosadíme získané vztahy pro výslednou rychlost (4) a pro odporovou sílu (1):

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{2h_{1}}h_{2}\,+\,\frac{1}{2}(m\,+\,M)\frac{m^{2}v_{1}^{2}}{\left(m\,+\,M\right)^{2}}\,.$$

  Vynásobíme celou rovnici dvěma:

  $$mv_{1}^{2}\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{h_{1}}h_{2}\,+\,(m\,+\,M)\frac{m^{2}v_{1}^{2}}{\left(m\,+\,M\right)^{2}}\,.$$

  Víme, že rychlost střely před zarytím v₁ je nenulová, a proto jí můžeme celou rovnici vydělit.

  Dostaneme:

  $$m\,=\,\frac{m}{h_{1}}h_{2}\,+\,\left(m\,+\,M\right)\frac{m^{2}}{(m\,+\,M)^{2}}\,.$$

  Úpravami získame tvar:

  $$m\,=\,\frac{m}{h_{1}}h_{2}\,+\,\frac{m^{2}}{\left(m\,+\,M\right)}\,.$$

  Rovnici vydělíme hmotností střely:

  $$1\,=\,\frac{h_{2}}{h_{1}}\,+\,\frac{m}{\left(m\,+\,M\right)}\,.$$

  Vynásobíme celou rovnici h₁:

  $$h_{1}\,=\,h_{2}\,+\,\frac{h_{1}m}{m\,+\,M}\,.$$

  Převedeme zlomek $$\frac{h_{1}m}{m\,+\,M}$$ na druhou stranu a vytkneme h₁ před závorku:

  $$h_{2}\,=\,h_{1}\left(1\,-\,\frac{m}{m\,+\,M}\right)\,.$$

  Upravíme výraz v závorce tak, že jej převedeme na společný jmenovatel:

  $$h_{2}\,=\,h_{1}\left(\frac{m\,+\,M\,-\,m}{m\,+\,M}\right)\,=\,\frac{h_{1}M}{m\,+\,M}\,.$$

• Číselný výpočet

  m = 10 g	hmotnost střely
  M = 1 kg = 1 000 g	hmotnost kvádru
  h1 = 10 cm	hloubka, do které střela pronikla
  h2 = ?	hloubka, do které by střela pronikla, pokud by byl kvádr pohyblivý

  ---

  $$h_{2}\,=\,\frac{h_{1}M}{m+M}$$ $$h_{2}\,=\,\frac{10\,\cdot\,1\,000}{10\,+\,1\,000}\, \mathrm{cm}$$ $$h_{2}\,\dot=\,9{,}9\,\mathrm{cm}$$

• Odpověď

  V případě volně pohyblivého kvádru by střela pronikla do hloubky $$h_{2}=\frac{h_{1}M}{m+M}=9{,}9\,\mathrm{cm}.$$

• Celkové řešení

  K řešení úlohy využijeme zákony zachování hybnosti a energie.

  Zákon zachování hybnosti (ZZH):

  Součet hybností těles v izolované soustavě je konstantní, nebo-li celková hybnost izolované soustavy se zachováva.

  Zákon zachování energie (ZZE):

  Celková energie izolované soustavy se zachovává.

  Nepohyblivý kvádr:

  

  V případě nepohyblivého kvádru je kinetická energie střely před zásahem rovna práci, kterou vykoná odporová síla F při jejím zabrždění na dráze h₁. Kinetická energie střely se mění na vnitřní energii dřeva a střely, což se projeví jejich zahřátím.

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,Fh_{1}$$ $$F\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{2h_{1}}\tag{1}$$

  F … odporová síla

  m … hmotnost střely

  v₁ … rychlost střely

  h₁ … hloubka, do které střela pronikne v případě nepohyblivého kvádru

  Volně pohyblivý kvádr:

  V případě volně pohyblivého kvádru platí:

  

  $$\mathrm{ZZH:} \qquad \vec p_{1}+ \vec p_{2}\,=\, \vec p_{1}^{'}+ \vec p_{2}^{'}\,,$$ kde$\qquad \vec p_{1}$… vektor hybnosti střely před nárazem

  $\vec p_{2}$… vektor hybnosti kvádru před nárazem

  $\vec p_{1}^{'}$… vektor hybnosti střely po nárazu

  $\vec p_{2}^{'}$… vektor hybnosti kvádru po nárazu

  $$m\vec v_1+0\,=\,(M+m)\vec{v}$$

  skalárně:

  $$mv_1\,=\,(M+m)v\,,\tag{2}$$

  kde m… hmotnost střely

  v₁… rychlost střely před nárazem

  M… hmotnost kvádru

  v… výsledná rychlost soustavy vzniklé spojením kvádru a střely.

   

  $$ZZE:$$

  Střela se zaryje do kvádru do hloubky h₂ a kvádr se střelou se bude pohybovat po zarytí rychlostí v. Počátěční kinetická energie střely se přemění jednak na práci odporové síly při zarytí střely do hloubky h₂, což se projeví zahřátím střely a kvádru, a na kinetickou energii kvádru a střely.

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,Fh_{2}+\frac{1}{2}(m+M)v^{2}\,,\tag{3}$$

  kde F… odporová síla

  h₂… hloubka, do které pronikla střela v případě volně pohyblivého kvádru

  Ze vztahu (2) si vyjádříme výslednou rychlost soustavy:

  $$v\,=\,\frac{mv_{1}}{m\,+\,M}\,.\tag{4}$$

  Do rovnice (3) dosadíme získané vztahy pro výslednou rychlost (4) a pro odporovou sílu (1):

  $$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{2h_{1}}h_{2}\,+\,\frac{1}{2}(m\,+\,M)\frac{m^{2}v_{1}^{2}}{\left(m\,+\,M\right)^{2}}\,.$$

  Vynásobíme celou rovnici dvěma:

  $$mv_{1}^{2}\,=\,\frac{mv_{1}^{2}}{h_{1}}h_{2}\,+\,(m\,+\,M)\frac{m^{2}v_{1}^{2}}{\left(m\,+\,M\right)^{2}}\,.$$

  Víme, že rychlost střely před zarytím v₁ je nenulová, a proto jí můžeme celou rovnici vydělit.

  Dostaneme:

  $$m\,=\,\frac{m}{h_{1}}h_{2}\,+\,\left(m\,+\,M\right)\frac{m^{2}}{(m\,+\,M)^{2}}\,.$$

  Úpravami získame tvar:

  $$m\,=\,\frac{m}{h_{1}}h_{2}\,+\,\frac{m^{2}}{\left(m\,+\,M\right)}\,.$$

  Rovnici vydělíme hmotností střely:

  $$1\,=\,\frac{h_{2}}{h_{1}}\,+\,\frac{m}{\left(m\,+\,M\right)}\,.$$

  Vynásobíme celou rovnici h₁:

  $$h_{1}\,=\,h_{2}\,+\,\frac{h_{1}m}{m\,+\,M}\,.$$

  Převedeme zlomek $$\frac{h_{1}m}{m\,+\,M}$$ na druhou stranu a vytkneme h₁ před závorku:

  $$h_{2}\,=\,h_{1}\left(1\,-\,\frac{m}{m\,+\,M}\right)\,.$$

  Upravíme výraz v závorce tak, že jej převedeme na společný jmenovatel:

  $$h_{2}\,=\,h_{1}\left(\frac{m\,+\,M\,-\,m}{m\,+\,M}\right)\,=\,\frac{h_{1}M}{m\,+\,M}\,.$$ $$h_{2}\,=\,\frac{10\,\cdot\,1\,000}{10\,+\,1\,000}\,\mathrm{cm}$$ $$h_{2}\,\dot=\,9{,}9\,\mathrm{cm}$$

  Odpověď: V případě volně pohyblivého kvádru by střela pronikla do hloubky 9,9 cm.