Sbírka řešených úloh

Hustota koule

Úloha číslo: 1029

• Zápis

  m = 5,67 kg	hmotnost koule
  F = 50,7 N	síla napínající závěsné lano
  ρ = ?	hustota koule

• Nápověda 1

  Jaké síly na kouli ponořenou ve vodě působí? Jaký mají směr? Zakreslete je do obrázku.

• Řešení nápovědy 1

  Na kouli působí následující tři síly:

  • tíhová síla F_G svisle dolů,
  • vztlaková síla F_vz svisle vzhůru,
  • síla závěsného lana F svisle vzhůru.

  

• Nápověda 2

  Co platí pro výslednici těchto sil? (Připomeňte si 1. Newtonův zákon.) Zapište vztah vektorově i pro velikosti jednotlivých sil.

• Řešení nápovědy 2

  Protože koule je vzhledem k nádobě (či experimentátorovi) v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na ni působící nulová, tj.:

  $$\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{vz}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\,.$$

  Protože tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, lze pro velikosti sil psát:

  $$-F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F_\mathrm{G}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\tag{1}$$

• Nápověda 3 – určení tíhové a vztlakové síly

  Ve vztahu (1) známe pouze sílu F, zbylé dvě síly musíme dopočítat. Jak určíte tíhovou a vztlakovou sílu?

• Řešení nápovědy 3

  Tíhovou sílu určíme snadno jako: $$F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{2}$$

  kde m je hmotnost koule a g tíhové zrychlení.

  Také pro výpočet vztlakové síly použijeme známý vztah:

  $$F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,,\tag{3}$$

  kde V je objem ponořené části tělesa, ρ_k hustota kapaliny – v našem případě vody – a g opět tíhové zrychlení.

  Ve vztahu (3) ovšem stále neznáme objem ponořené koule, a protože není zadán její poloměr, použijeme k výpočtu objemu definiční vztah pro hustotu:

  $${\rho}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,V\,=\,\frac{m}{{\rho}}\,,\tag{4}$$

  kde m je hmotnost koule a ρ její hustota. Dosazením vztahu (4) do vztahu (3) dostáváme rovnici pro výpočet vztlakové síly, ve které figuruje už pouze jediná neznámá – hledaná hustota koule:

  $$F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,=\,\frac{m}{{\rho}}{\rho}_\mathrm{k}g\,.\tag{5}$$

• Nápověda 4

  Dosaďte vztahy pro tíhovou a vztlakovou sílu do rovnice (1) a vyjádřete z ní hledanou hustotu.

• Řešení nápovědy 4

  Dosazením vztahů (2) a (5) do rovnice (1) dostáváme:

  $$mg\,=\,\frac{m}{\rho}{\rho}_\mathrm{k}g\,+\,F\,.$$ Úpravou: $$\rho\,=\,\frac{m{\rho}_\mathrm{k}g}{mg\,-\,F}\,.$$ Číselně: $$\rho\,\dot=\,\frac{5{,}67{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{5{,}67{\cdot}9{,}81\,-\,50{,}7}\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,\dot=\,11\,300\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,.$$

• Celkové řešení

  Na kouli působí následující tři síly:

  • tíhová síla F_G svisle dolů,
  • vztlaková síla F_vz svisle vzhůru,
  • síla závěsného lana F svisle vzhůru.

  

  Protože koule je vzhledem k nádobě (či experimentátorovi) v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na ni působící nulová, tj.:

  $$\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{vz}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\,.$$

  Protože tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, lze pro velikosti sil psát:

  $$-F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F_\mathrm{G}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\tag{1}$$

  Tíhovou sílu určíme snadno jako:

  $$F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{2}$$

  kde m je hmotnost koule a g tíhové zrychlení.

  Také pro výpočet vztlakové síly použijeme známý vztah:

  $$F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,,\tag{3}$$

  kde V je objem ponořené části tělesa, ρ_k hustota kapaliny – v našem případě vody – a g opět tíhové zrychlení.

  Ve vztahu (3) ovšem stále neznáme objem ponořené koule, a protože není zadán její poloměr, použijeme k výpočtu objemu definiční vztah pro hustotu:

  $${\rho}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,V\,=\,\frac{m}{{\rho}}\,,\tag{4}$$

  kde m je hmotnost koule a ρ její hustota. Dosazením vztahu (4) do vztahu (3) dostáváme rovnici pro výpočet vztlakové síly, ve které figuruje už pouze jediná neznámá – hledaná hustota koule:

  $$F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,=\,\frac{m}{{\rho}}{\rho}_\mathrm{k}g\,.\tag{5}$$

  Dosazením vztahů (2) a (5) do rovnice (1) dostáváme:

  $$mg\,=\,\frac{m}{\rho}{\rho}_\mathrm{k}g\,+\,F\,.$$ Úpravou: $$\rho\,=\,\frac{m{\rho}_\mathrm{k}g}{mg\,-\,F}\,.$$ Číselně: $$\rho\,\dot=\,\frac{5{,}67{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{5{,}67{\cdot}9{,}81\,-\,50{,}7}\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,\dot=\,11\,300\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,.$$

• Odpověď

  Hustota koule je přibližně 11 300 kg·m^-3. Tato hodnota hustoty odpovídá hustotě olova.