Hustota koule

Úloha číslo: 1029

Koule o hmotnosti 5,67 kg je ponořena do vody a napíná lano, na kterém visí, silou o velikosti 50,7 N. Určete hustotu koule.

  • Zápis

    m = 5,67 kg hmotnost koule
    F = 50,7 N síla napínající závěsné lano
    ρ = ? hustota koule
  • Nápověda 1

    Jaké síly na kouli ponořenou ve vodě působí? Jaký mají směr? Zakreslete je do obrázku.

  • Nápověda 2

    Co platí pro výslednici těchto sil? (Připomeňte si 1. Newtonův zákon.) Zapište vztah vektorově i pro velikosti jednotlivých sil.

  • Nápověda 3 - určení tíhové a vztlakové síly

    Ve vztahu (1) známe pouze sílu F, zbylé dvě síly musíme dopočítat. Jak určíte tíhovou a vztlakovou sílu?

  • Nápověda 4

    Dosaďte vztahy pro tíhovou a vztlakovou sílu do rovnice (1) a vyjádřete z ní hledanou hustotu.

  • Celkové řešení

    Na kouli působí následující tři síly:

    • tíhová síla FG svisle dolů,
    • vztlaková síla Fvz svisle vzhůru,
    • síla závěsného lana F svisle vzhůru.
    Síly působící na ponořenou kouli

    Protože koule je vzhledem k nádobě (či experimentátorovi) v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na ni působící nulová, tj.:

    \[\vec{F}_G\,+\,\vec{F}_{vz}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\,. \]

    Protože tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, lze pro velikosti sil psát:

    \[-F_G\,+\,F_{vz}\,+\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F_G\,=\,F_{vz}\,+\,F\,.\tag{1}\]

    Tíhovou sílu určíme snadno jako:

    \[F_G\,=\,mg\,,\tag{2}\]

    kde m je hmotnost koule a g tíhové zrychlení.

    Také pro výpočet vztlakové síly použijeme známý vztah:

    \[F_{vz}\,=\,V{\rho}_kg\,,\tag{3}\]

    kde V je objem ponořené části tělesa, ρk hustota kapaliny - v našem případě vody - a g opět tíhové zrychlení.

    Ve vztahu (3) ovšem stále neznáme objem ponořené koule, a protože není zadán její poloměr, použijeme k výpočtu objemu definiční vztah pro hustotu:

    \[{\rho}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,V\,=\,\frac{m}{{\rho}}\,,\tag{4}\]

    kde m je hmotnost koule a ρ její hustota. Dosazením vztahu (4) do vztahu (3) dostáváme rovnici pro výpočet vztlakové síly, ve které figuruje už pouze jediná neznámá - hledaná hustota koule:

    \[F_{vz}\,=\,V{\rho}_kg\,=\,\frac{m}{{\rho}}{\rho}_kg\,.\tag{5}\]

    Dosazením vztahů (2) a (5) do rovnice (1) dostáváme:

    \[mg\,=\,\frac{m}{\rho}{\rho}_kg\,+\,F\,.\] Úpravou: \[\rho\,=\,\frac{m{\rho}_kg}{mg\,-\,F}\,.\] Číselně: \[\rho\,\dot=\,\frac{5{,}67{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{5{,}67{\cdot}9{,}81\,-\,50{,}7}\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,\dot=\,11\,300\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,.\]
  • Odpověď

    Hustota koule je přibližně 11 300 kg·m-3. Tato hodnota hustoty odpovídá hustotě olova.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze