Hustota koule

Úloha číslo: 1029

Koule o hmotnosti 5,67 kg je ponořena do vody a napíná lano, na kterém visí, silou o velikosti 50,7 N. Určete hustotu koule.

Zápis

m = 5,67 kg hmotnost koule

F = 50,7 N síla napínající závěsné lano

ρ = ? hustota koule
Nápověda 1
Jaké síly na kouli ponořenou ve vodě působí? Jaký mají směr? Zakreslete je do obrázku.
Řešení nápovědy 1
Na kouli působí následující tři síly:
- tíhová síla F_G svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz svisle vzhůru,
- síla závěsného lana F svisle vzhůru.
Nápověda 2
Co platí pro výslednici těchto sil? (Připomeňte si 1. Newtonův zákon.) Zapište vztah vektorově i pro velikosti jednotlivých sil.
Řešení nápovědy 2
Protože koule je vzhledem k nádobě (či experimentátorovi) v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na ni působící nulová, tj.:
\[\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{vz}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\,. \]
Protože tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, lze pro velikosti sil psát:
\[-F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F_\mathrm{G}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\tag{1}\]
Nápověda 3 – určení tíhové a vztlakové síly
Ve vztahu (1) známe pouze sílu F, zbylé dvě síly musíme dopočítat. Jak určíte tíhovou a vztlakovou sílu?
Řešení nápovědy 3
Tíhovou sílu určíme snadno jako: \[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{2}\]
kde m je hmotnost koule a g tíhové zrychlení.

Také pro výpočet vztlakové síly použijeme známý vztah:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,,\tag{3}\]
kde V je objem ponořené části tělesa, ρ_k hustota kapaliny – v našem případě vody – a g opět tíhové zrychlení.

Ve vztahu (3) ovšem stále neznáme objem ponořené koule, a protože není zadán její poloměr, použijeme k výpočtu objemu definiční vztah pro hustotu:
\[{\rho}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,V\,=\,\frac{m}{{\rho}}\,,\tag{4}\]
kde m je hmotnost koule a ρ její hustota. Dosazením vztahu (4) do vztahu (3) dostáváme rovnici pro výpočet vztlakové síly, ve které figuruje už pouze jediná neznámá – hledaná hustota koule:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,=\,\frac{m}{{\rho}}{\rho}_\mathrm{k}g\,.\tag{5}\]
Nápověda 4
Dosaďte vztahy pro tíhovou a vztlakovou sílu do rovnice (1) a vyjádřete z ní hledanou hustotu.
Řešení nápovědy 4
Dosazením vztahů (2) a (5) do rovnice (1) dostáváme:
\[mg\,=\,\frac{m}{\rho}{\rho}_\mathrm{k}g\,+\,F\,.\] Úpravou: \[\rho\,=\,\frac{m{\rho}_\mathrm{k}g}{mg\,-\,F}\,.\] Číselně: \[\rho\,\dot=\,\frac{5{,}67{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{5{,}67{\cdot}9{,}81\,-\,50{,}7}\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,\dot=\,11\,300\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,.\]
Celkové řešení
Na kouli působí následující tři síly:
- tíhová síla F_G svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz svisle vzhůru,
- síla závěsného lana F svisle vzhůru.
Protože koule je vzhledem k nádobě (či experimentátorovi) v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na ni působící nulová, tj.:
\[\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{vz}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\,. \]
Protože tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, lze pro velikosti sil psát:
\[-F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F_\mathrm{G}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\tag{1}\]
Tíhovou sílu určíme snadno jako:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{2}\]
kde m je hmotnost koule a g tíhové zrychlení.

Také pro výpočet vztlakové síly použijeme známý vztah:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,,\tag{3}\]
kde V je objem ponořené části tělesa, ρ_k hustota kapaliny – v našem případě vody – a g opět tíhové zrychlení.

Ve vztahu (3) ovšem stále neznáme objem ponořené koule, a protože není zadán její poloměr, použijeme k výpočtu objemu definiční vztah pro hustotu:
\[{\rho}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,V\,=\,\frac{m}{{\rho}}\,,\tag{4}\]
kde m je hmotnost koule a ρ její hustota. Dosazením vztahu (4) do vztahu (3) dostáváme rovnici pro výpočet vztlakové síly, ve které figuruje už pouze jediná neznámá – hledaná hustota koule:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}_\mathrm{k}g\,=\,\frac{m}{{\rho}}{\rho}_\mathrm{k}g\,.\tag{5}\]
Dosazením vztahů (2) a (5) do rovnice (1) dostáváme:
\[mg\,=\,\frac{m}{\rho}{\rho}_\mathrm{k}g\,+\,F\,.\] Úpravou: \[\rho\,=\,\frac{m{\rho}_\mathrm{k}g}{mg\,-\,F}\,.\] Číselně: \[\rho\,\dot=\,\frac{5{,}67{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{5{,}67{\cdot}9{,}81\,-\,50{,}7}\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,\dot=\,11\,300\,\mathrm{kg{\cdot}m^{-3}}\,.\]
Odpověď
Hustota koule je přibližně 11 300 kg·m^-3. Tato hodnota hustoty odpovídá hustotě olova.