Náboj ve vakuu

Úloha číslo: 129

Náboj byl vystřelen ve vakuu vodorovně rychlostí o velikosti v0. Určete závislost velikosti rychlosti v a velikosti tečného at a normálového zrychlení an na čase t tohoto pohybu.

Odvoďte i průběh poloměru křivosti ρ trajektorie v závislosti na čase t.

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Nakreslete obrázek situace a označte si souřadnicové osy x a y.

    Do obrázku vyznačte vektor počáteční rychlosti náboje \(\vec{v}_0\) a jeho rychlost \(\vec{v}\) v libovolném bodě pohybu i její složky ve směru souřadnicových os.

  • Nápověda 2: Průběh velikosti rychlosti

    Rozmyslete si, jakým pohybem se náboj pohybuje ve směru souřadnicových os.

    Vyjádřete si nejprve složky rychlosti náboje vx, vy. Z nich pak snadno zjistíte průběh velikosti rychlosti náboje.

  • Nápověda 3: Velikost tečného zrychlení

    Využijte znalost průběhu velikosti rychlosti náboje z předchozí nápovědy. Jak z něj vyjádříte velikost tečného zrychlení náboje?

  • Nápověda 4: Velikost normálového zrychlení

    Pro určení velikosti normálového zrychlení náboje budete potřebovat kromě velikosti jeho tečného zrychlení (znáte z předchozí nápovědy) také velikost jeho celkového zrychlení. To získáte ze složek zrychlení ax, ay ve směru souřadnicových os.

    Víte, jaký platí vztah mezi celkovým, tečným a normálovým zrychlením náboje?

  • Nápověda 5: Poloměr křivosti trajektorie

    Trajektorii pohybu náboje máte naznačenu v obrázku situace.

    Jaký je vztah mezi poloměrem křivosti trajektorie, velikostí rychlosti a normálového zrychlení náboje?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Obrázek situace:

    Obrázek celé situace

    Ve směru osy x: Rovnoměrný přímočarý pohyb rychlosti o velikosti v0.

    Ve směru osy y: Volný pád.

    Velikost rychlosti:

    Složky rychlosti (ve směru osy x a osy y ):

    \[v_\mathrm{x}\,=\,v_0\,,\] \[v_\mathrm{y}=gt\,.\]

    Průběh velikosti rychlosti:

    \[v(t) \,=\, \sqrt{v_\mathrm{x}^{2}\,+\,v_\mathrm{y}^{2}}\,=\,\sqrt{v_0^{2}\,+\,g^{2}t^{2}}\,.\]

    Velikost tečného zrychlení:

    Velikost tečného zrychlení získáme časovou derivací velikosti celkové rychlosti:

    \[a_\mathrm{t}\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{g^{2}t}{ \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Velikost normálového zrychlení:

    Velikost normálového zrychlení získáme ze vztahu:

    \[a_\mathrm{c}\,=\,\sqrt{a_\mathrm{t}^{2}+ a_\mathrm{n}^{2}}\,.\]

    Odtud:

    \[a_\mathrm{n}\,=\,\sqrt{a_\mathrm{c}^{2}-a_\mathrm{t}^{2}}\,.\]

    Složky celkového zrychlení:

    \[a_\mathrm{x}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{x}}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}(v_0)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0\,,\] \[a_\mathrm{y}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{y}}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}(gt)}{\mathrm{d}t} \,=\, g\,,\]
    Jednotlivé složky zrychlení
    \[a_\mathrm{c} \,=\, \sqrt{a_\mathrm{x}^{2}+ a_\mathrm{y}^{2}} \,=\, g\,,\] \[a_\mathrm{n}\,=\,\sqrt{g^{2}-\frac{g^{4}t^{2}}{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}} \,=\, \sqrt{\frac{g^{2}v_0^{2}}{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,,\] \[a_\mathrm{n}\,=\,\frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\, .\]

    Poloměr křivosti trajektorie:

    Pro velikost normálového zrychlení platí:

    \[a_\mathrm{n} \,=\,\frac{v^{2}}{\rho}\,.\]

    Pro poloměr křivosti trajektorie pak platí:

    \[\rho\,=\,\frac{v^{2}}{a_\mathrm{n}}\,,\]

    kde

    \[v \,=\, \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\,,\] \[a_\mathrm{n}\,=\,\frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\] \[\rho(t)\,=\,\frac{ (v_0^{2}+g^{2}t^{2})\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}{gv_0}\,=\,\frac{\sqrt{( v_0^{2}+g^{2}t^{2})^{3}}}{gv_0}\,.\]
  • Odpověď

    Průběh velikosti rychlosti náboje je

    \[v(t) \,=\, \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\,.\]

    Velikost tečného zrychlení náboje je

    \[a_\mathrm{t}(t) \,=\, \frac{g^{2}t}{ \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Velikost normálového zrychlení náboje je

    \[a_\mathrm{n}(t) \,=\, \frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Pro poloměr křivosti trajektorie náboje platí

    \[\rho(t) \,=\, \frac{\sqrt{( v_0^{2}+g^{2}t^{2})^{3}}}{v_0g}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
En translation
Zaslat komentář k úloze