Náboj ve vakuu

Úloha číslo: 129

Náboj byl vystřelen ve vakuu vodorovně rychlostí o velikosti v0. Určete závislost velikosti rychlosti v a velikosti tečného at a normálového zrychlení an na čase t tohoto pohybu.

Odvoďte i průběh poloměru křivosti ρ trajektorie v závislosti na čase t.

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Nakreslete obrázek situace a označte si souřadnicové osy x a y.

    Do obrázku vyznačte vektor počáteční rychlosti náboje \(\vec{v}_0\) a jeho rychlost \(\vec{v}\) v libovolném bodě pohybu i její složky ve směru souřadnicových os.

  • Nápověda 2: Průběh velikosti rychlosti

    Rozmyslete si, jakým pohybem se náboj pohybuje ve směru souřadnicových os.

    Vyjádřete si nejprve složky rychlosti náboje vx, vy. Z nich pak snadno zjistíte průběh velikosti rychlosti náboje.

  • Nápověda 3: Velikost tečného zrychlení

    Využijte znalost průběhu velikosti rychlosti náboje z předchozí nápovědy. Jak z něj vyjádříte velikost tečného zrychlení náboje?

  • Nápověda 4: Velikost normálového zrychlení

    Pro určení velikosti normálového zrychlení náboje budete potřebovat kromě velikosti jeho tečného zrychlení (znáte z předchozí nápovědy) také velikost jeho celkového zrychlení. To získáte ze složek zrychlení ax , ay ve směru souřadnicových os.

    Víte, jaký platí vztah mezi celkovým, tečným a normálovým zrychlením náboje?

  • Nápověda 5: Poloměr křivosti trajektorie

    Trajektorii pohybu náboje máte naznačenu v obrázku situace.

    Jaký je vztah mezi poloměrem křivosti trajektorie, velikostí rychlosti a normálového zrychlení náboje?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Obrázek situace:

    Obrázek celé situace

    Ve směru osy x: Rovnoměrný přímočarý pohyb rychlostí o velikosti v0.

    Ve směru osy y: Volný pád.

    Velikost rychlosti:

    Složky rychlosti (ve směru osy x a osy y ):

    \[v_x\,=\,v_0\,,\] \[v_y=gt\,.\]

    Průběh velikosti rychlosti:

    \[v(t) \,=\, \sqrt{v_x^{2}\,+\,v_y^{2}}\,=\,\sqrt{v_0^{2}\,+\,g^{2}t^{2}}\,.\]

    Velikost tečného zrychlení:

    Velikost tečného zrychlení získáme časovou derivací velikosti celkové rychlosti:

    \[a_t\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{g^{2}t}{ \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Velikost normálového zrychlení:

    Velikost normálového zrychlení získáme ze vztahu:

    \[a_c\,=\,\sqrt{a_t^{2}+ a_n^{2}}\,.\]

    Odtud:

    \[a_n\,=\,\sqrt{a_c^{2}-a_t^{2}}\,.\]

    Složky celkového zrychlení:

    \[a_x\,=\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}(v_0)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0\,,\] \[a_y\,=\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}(gt)}{\mathrm{d}t} \,=\, g\,,\]
    Jednotlivé složky zrychlení
    \[a_c \,=\, \sqrt{a_x^{2}+ a_y^{2}} \,=\, g\,,\] \[a_n\,=\,\sqrt{g^{2}-\frac{g^{4}t^{2}}{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}} \,=\, \sqrt{\frac{g^{2}v_0^{2}}{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,,\] \[a_n\,=\,\frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\, .\]

    Poloměr křivosti trajektorie:

    Pro velikost normálového zrychlení platí:

    \[a_n \,=\,\frac{v^{2}}{\rho}\,.\]

    Pro poloměr křivosti trajektorie pak platí:

    \[\rho\,=\,\frac{v^{2}}{a_n}\,,\]

    kde

    \[v \,=\, \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\,,\] \[a_n\,=\,\frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\] \[\rho(t)\,=\,\frac{ (v_0^{2}+g^{2}t^{2})\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}{gv_0}\,=\,\frac{\sqrt{( v_0^{2}+g^{2}t^{2})^{3}}}{gv_0}\,.\]
  • Odpověď

    Průběh velikosti rychlosti náboje je

    \[v(t) \,=\, \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}\,.\]

    Velikost tečného zrychlení náboje je

    \[a_t(t) \,=\, \frac{g^{2}t}{ \sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Velikost normálového zrychlení náboje je

    \[a_n(t) \,=\, \frac{gv_0}{\sqrt{v_0^{2}+g^{2}t^{2}}}\,.\]

    Pro poloměr křivosti trajektorie náboje platí

    \[\rho(t) \,=\, \frac{\sqrt{( v_0^{2}+g^{2}t^{2})^{3}}}{v_0g}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze