Kutálející se obruč

Úloha číslo: 528

Těleso tvaru obruče o hmotnosti 10 kg, průměru 1 m a zanedbatelné tloušťce se valí bez podkluzování po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 30°. Určete, jakou rychlost má těžiště obruče po uběhnutí 5 m, byla-li na počátku rychlost obruče nulová. Ztráty energie třením zanedbejte.
  • Zápis

    m = 10 kg hmotnost obruče
    r = 0,5 m poloměr obruče
    α = 30° úhel, který svírá nakloněná rovina s vodorovnou rovinou
    s = 5 m uběhnutá dráha
    v = ? (m·s−1) rychlost těžiště
  • Rozbor

    Úlohu je možné řešit dvěma způsoby. Buď pomocí zákona zachování mechanické energie (A), nebo přes impulsové věty (B).

    V prvním případě je třeba zvolit dvě vhodné situace, ve kterých budete mechanickou energii obruče srovnávat. Uvědomte si, že obruč se jednak otáčí kolem svého těžiště a zároveň koná posuvný pohyb.

    Při řešení přes impulsové věty je třeba uvážit, které všechny síly na obruč působí, co platí pro jejich výslednici a co platí pro výslednici momentů těchto sil. Je třeba také zvážit, vzhledem ke kterému bodu budete momenty sil psát a s ohledem na to napsat správný vztah pro moment setrvačnosti obruče vzhledem k ose procházející tímto bodem.

  • 1. a 2. věta impulsová (a něco navíc)

    1. věta impulsová (jako věta o pohybu hmotného středu soustavy) říká, že:

    Hmotný střed soustavy se pohybuje jako hmotný bod o celkové hmotnosti soustavy, na který působí výslednice vnějších sil působících na soustavu.

    \[\vec{F}_v = m_s \vec{a}\]

    2. věta impulsová říká, že:

    Časová změna momentu hybnosti soustavy se rovná celkovému momentu vnějších sil.

    \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\]

    (\(\vec{M}\) a \(\vec{L}\) jsou vztahovány k témuž bodu.)

    V případě rotace tuhého tělesa kolem pevné osy platí:

    \[L = J \omega\,,\] \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt} = J\vec{\epsilon}\,.\]

    Kde:

    J … moment setrvačnosti tělesa vůči pevné ose otáčení,

    \(\vec{\epsilon}\)… úhlové zrychlení (vektory \(\vec{\epsilon},\) \(\vec{M}\) míří ve směru osy otáčení).

    Steinerova věta:

    \[J = J_s + mr^2\,.\]

    Kde:

    J … moment setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose o,

    Js … moment setrvačnosti vůči ose os procházející těžištěm tělesa (o je rovnoběžná s os),

    m … hmotnost tělesa,

    r … vzdálenost os o a os.

    Königova věta:

    Kinetická energie tělesa, které koná posuvný a otáčivý pohyb:

    \[E_k = \frac{1}{2}mv_s^2 + \frac{1}{2}J_s\omega^2\,.\]

    Kde:

    vs… rychlost hmotného středu S,

    Js … moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm tělesa.

  • Hmotný střed vs. těžiště

    V úloze se mluví jednak o hmotném středu (popř. středu) a těžišti. Autor má na mysli vždy ten samý bod.

    V čem je rozdíl?

    Těžiště je zavedeno jako působiště výsledné tíhové síly. Bez této síly nemá smysl o něm mluvit.

    Naopak hmotný střed je dán matematicky. Jednoduše řečeno je souřadnice hmotného středu průměrem z souřadnic všech bodů tělesa, více zde.

    Jejich polohy by se mohly lišit pouze ve značně nehomogenním tíhovém poli, například pokud by se náš problém odehrával v blízkosti drobné černé díry.

    V praxi se s takovými problémy v podstatě nesetkáváme.

     

    (Nemluvě o tom, že v blízkosti černých děr máme většinou jediný problém a to jak dostatečně rychle utéci.)

  • Nápověda 1A

    Vyberte dvě situace, ve kterých budete mechanickou energii obruče srovnávat. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.
  • Nápověda 2A

    Vyjádřete potenciální energii obruče v situaci (1) a kinetickou energii obruče v situaci (2). Dosaďte do vztahu (1) a odtud pak získáte hledanou rychlost.

  • Nápověda 1B

    Nakreslete do obrázku všechny síly, které na obruč působí. Napište, co platí pro jejich výslednici.
  • Nápověda 2B

    Zvolte bod, vzhledem ke kterému budete vztahovat momenty působících sil a napište, co pro ně platí.

  • Nápověda 3B

    Pomocí rovnic (2) a (3) vyjádřete zrychlení obruče a odtud pak hledanou rychlost.

  • Komentář

    Momenty působících sil můžeme vztahovat i k jinému bodu např. bodu Q styku obruče s podložkou. Tím se vynuluje moment hned dvou sil, třecí a reakce podložky.

    Zbývá moment síly tíhové.

    \[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}_g = J_Q\vec{\epsilon}\]

    Přepíšeme skalárně:

    \[M=F_{g}r\sin\alpha= J_Q\epsilon\,,\] \[mgr\sin\alpha = J_Q \frac{a}{r}\,.\]

    Moment setrvačnosti obruče o hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem je \(J=mr^2\), ovšem bod dotyku je od osy procházející středem vzdálen r, takže podle Steinerovy věty:

    \[J_Q=J+md^2=mr^2+mr^2=2mr^2\,.\]

    Pak:

    \[mgr\sin\alpha = 2mr^2\frac{a}{r}\,.\]

    Odtud:

    \[a = \frac{1}{2}g\sin\alpha\,.\]

    Dále je řešení stejné jako u nápovědy 3B.

  • Číselné dosazení

    \[\alpha=30^{\circ}\] \[sin\alpha=0{,}5\] \[s=5\,\mathrm{m}\] \[g=9{,}81\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\] \[v=\sqrt{gs \sin\alpha}=\sqrt{9{,}81{\cdot}5\cdot0{,}5} \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\dot{=}5 \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\]
  • Celkové řešení pomocí zákona zachování mechanické energie

    Vybereme dvě situace, ve kterých budeme mechanickou energii obruče srovnávat.

    energie kutálející se obruče

    Všimneme si energie kinetické Ek0 a potenciální Ep0 na počátku pohybu a po uběhnutí dráhy s: Ek, Ep.

    Podle zákona zachování mechanické energie platí:

    \[E_{k0}+E_{p0} = E_k+ E_p\,.\]

    Rychlost na počátku je nulová, proto je:

    \[E_{k0}=0\,.\]

    Zvolíme hladinu nulové potenciální energie tak, aby byla po uražení dráhy s nulová:

    \[E_p=0\,.\]

    Platí tedy:

    \[E_{p0} = E_k\,.\tag{1}\]

    Pro potenciální energii v situaci (1) platí

    \[E_{p0}=mgh\,,\]

    kde h, tedy rozdíl výšky, je v tomto případě

    \[h=s\sin\alpha\,.\]

    Kinetická energie v situaci (2) se skládá ze dvou složek, energie otáčení obruče kolem středu a energie posuvného pohybu těžiště.

    \[E_k=\frac{1}{2} J\omega^2+ \frac{1}{2} mv^2.\]

    Moment setrvačnosti obruče vůči ose procházející středem je \(J=mr^2\).

    Pro úhlovou rychlost otáčení obruče platí:

    \[\omega=\frac{v}{r}.\]

    Postupně dosadíme do vztahu (1):

    \[E_{p0}=E_k\,,\] \[mgh=\frac{1}{2} J\omega^2+ \frac{1}{2} mv^2\,,\] \[mgs \sin\alpha= \frac{1}{2} mr^2(\frac{v}{r})^2+\frac{1}{2}mv^2\,.\]

    Vydělíme m a sečteme pravou stranu:

    \[gs \sin\alpha=v^2\,,\] \[v=\sqrt{gs \sin\alpha}\,.\]
  • Celkové řešení pomocí impulsových vět

    Nakreslíme do obrázku všechny síly, které na obruč působí. Napíšeme, co platí pro jejich výslednici.

    síly působící na obruč
    • \(\vec{F}_g\)...síla tíhová

    • \(\vec{F}_r\)...tlaková síla, kterou působí podložka

    • \(\vec{F}_t\)...síla třecí, neboť obruč nepodkluzuje

    Pro výslednici sil platí:

    \[\vec{F}_g + \vec{F}_t + \vec{F}_r = m\vec{a}\,.\]

    Kde \(\vec{a}\) je zrychlení těžiště.

    Přepíšeme skalárně. Osu x volíme ve směru pohybu těžiště, osu y kolmo na ni.

    \[x: \hspace{10px} mgsin\alpha - F_t = ma\tag{1}\] \[y: \hspace{15px} F_r - mg cos\alpha = 0\]

    Zvolíme bod, vzhledem ke kterému budeme vztahovat momenty působících sil a napíšeme, co pro ně platí.

    Vzhledem k bodu S:

    Moment \(\vec{F}_g\) a \(\vec{F}_r\) je nulový. Takže:

    \[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}_t = J\vec{\epsilon}\,.\]

    Přepíšeme skalárně:

    \[F_tr = J\epsilon = J \frac{a}{r}\,.\]

    Pro moment setrvačnosti platí: \(J = mr^2\). Pak:

    \[F_tr = mr^2\frac{a}{r}\,.\]

    Odtud:

    \[F_t = ma\,.\tag{2}\]

    Pomocí rovnic (1) a (2) vyjádříme zrychlení obruče a odtud pak hledanou rychlost.

    Z (2) dosadíme za Ft do (1):

    \[mg\sin\alpha = 2ma\,.\]

    Vydělíme m:

    \[a = \frac{1}{2}g\sin\alpha\,.\tag{3}\]

    Pro uraženou dráhu platí:

    \[s=\frac{1}{2}at^2\,.\]

    Kde:

    \[v=at\,.\]

    Odtud:

    \[s=\frac{1}{2}a\frac{v^2}{a^2}\,,\] \[v^2 = 2sa\,,\] \[v=\sqrt{2sa}\,.\]

    Dosadíme z (3):

    \[v=\sqrt{2s\frac{1}{2}g\sin\alpha}\,,\] \[v=\sqrt{gs\sin\alpha}\,.\]
  • Odpověď

    Rychlost těžiště obruče je:

    \[v=\sqrt{gs \sin\alpha}\,.\]

    Číselně:

    \[v \,\dot{=}\,5 \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze