Klouzání úsečky II

Úloha číslo: 190

Úsečka AB konstantní délky l se pohybuje tak, že její koncové body kloužou po y-ové, resp. x-ové ose pravoúhlé soustavy souřadnic. (Obrázek ukazuje situaci v 1. kvadrantu.)

Klouzající úsečka

Zjistěte jakou trajektorii bude při tomto pohybu opisovat libovolný bod M uvedené úsečky.

  • Komentář: Podobný příklad

    Už jste vyřešili úlohu Klouzání úsečky I? Tato úloha se řeší podobným způsobem.

  • Nápověda 1

    Určete obecně souřadnice bodů A, B. Znáte nějaký vztah, který je spojuje s délkou l úsečky AB ?

  • Nápověda 2

    Zajímají nás souřadnice bodu M - pokuste se pomocí nich vyjádřit souřadnice bodů A, B. Uvědomte si, že bod M leží na přímce vytyčené body A, B (označme tuto přímku například p). Pro nějakou hodnotu parametru tedy musí bod M splňovat parametrické rovnice přímky p.

  • Nápověda 3

    Dosaďte vyjádřené souřadnice bodů A, B do vztahu (1) a upravte. Jakou křivku popisuje vzniklá rovnice?

  • Celkové řešení

    Určíme souřadnice bodů A, B:

    A = [0; y],

    B = [x; 0].

    S délkou l úsečky AB jsou tyto souřadnice spojeny prostřednictvím Pythagorovy věty:

    \[x^2\,+\,y^2\,=\,l^2.\tag{1}\]

    Označme souřadnice bodu M = [xm; ym].

    Přímku p určenou body A, B popíšeme parametricky pomocí bodu A = [0; y] a jejího směrového vektoru \(\vec{u}\) = B − A = (x; −y).

    Pro každý bod X = [x0; y0] přímky p pak platí:

    \(X\,=\,A\,+\,s\cdot\vec{u}\), tedy:

    \(x_0\,=\,0\,+\,s\cdot x\,=\,s\cdot x,\)

    \(y_0\,=\,y\,+\,s\cdot (-y)\,=\,(1-s)\cdot y\,,\)

    kde s je libovolný reálný parametr.

    Speciálně pak pro bod M:

    \[x_m\,=\,s_m\cdot x,\tag{2}\]

    \[y_m\,=\,(1-s_m)\cdot y,\tag{3}\]

    kde sm je libovolný reálný parametr z intervalu (0, 1).

    Zúžením definičního oboru parametru se z celé přímky omezujeme pouze na vnitřní body úsečky AB. (Můžete vyzkoušet, že pro sm = 0 dostáváme bod A, pro sm = 1 bod B a pro 0<sm<1 bod mezi A a B.) Číselnou volbou sm dostáváme podmínky pro konkrétní bod M - např. pro sm = 0,5 by to byl střed úsečky AB (viz. úloha Klouzání úsečky I).

    Z rovnic (2) a (3) nyní již snadno vyjádříme souřadnice bodů A, B pomocí souřadnic bodu M:

    \[x\,=\,\frac{x_m}{s_m}\,\rightarrow\,B\,=\,[\frac{x_m}{s_m};\,0],\]

    \[y\,=\,\frac{y_m}{1-s_m}\,\rightarrow\,A\,=\,[0;\,\frac{y_m}{1-s_m}].\]

    Dosadíme do vztahu (1) souřadnice bodů A, B vyjádřené pomocí souřadnic bodu M:

    \[x^2\,+\,y^2\,=\,l^2\,,\]

    \[(\frac{x_m}{s_m})^2\,+\,(\frac{y_m}{1-s_m})^2\,=\,l^2\,,\]

    \[\frac{x_m^2}{(s_{m}l)^2}\,+\,\frac{y_m^2}{[(1-s_m)l]^2}\,=\,1\,,\]

    což je rovnice elipsy se středem v počátku, délkou hlavní poloosy sml a délkou vedlejší poloosy (1−sm)l.

  • Odpověď

    Trajektorií bodu je elipsa se středem v počátku, délkou hlavní poloosy sml a délkou vedlejší poloosy (1−sm)l. (Omezíme-li se pouze na první kvadrant, který je znázorněn obrázkem, bude se jednat o čtvrtinu této elipsy.)

  • Podobná úloha

    Klouzání úsečky I je jednodušší obdobou této úlohy.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze