Ocelová kulička

Úloha číslo: 110

Ocelovou kuličku pustíme z klidu po hladké nakloněné rovině, na které se pohybuje se zrychlením 0,5 m·s−2. Potom přejde na vodorovnou dráhu. Celkově ujede dráhu 20 metrů za čas 12 sekund. Jak dlouho se pohybuje po nakloněné rovině?

Tření a odpor prostředí zanedbejte.

  • Zápis

    a = 0,5 m·s−2 zrychlení kuličky
    s =  20 m celková dráha kuličky
    t = 12 s celková doba pohybu kuličky
    t1 = ? (s) doba pohybu kuličky po nakloněné rovině
  • Nápověda 1: Dráha a rychlost kuličky na nakloněné rovině

    Nakreslete si obrázek situace a označte potřebné veličiny.

    Jakou dráhu urazí kulička po nakloněné rovině a jaké rychlosti při tom dosáhne?

  • Nápověda 2: Pohyb kuličky po vodorovné dráze

    Jakým pohybem se pohybuje kulička po vodorovné části dráhy?

    Jakou má při tom rychlost?

    Jakou dráhu urazí?

  • Nápověda 3: Celková dráha kuličky

    Vyjádřete celkovou dráhu, kterou kulička urazila.

    Řešte získanou kvadratickou rovnici pro hledaný čas t1 a zvažte, který kořen vyhovuje podmínkám úlohy.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Obrázek a označení veličin:

    Kulička na nakloněné rovině

    Kulička se po nakloněné rovině pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem a na vodorovné rovině pohybem rovnoměrným přímočarým. Na nakloněné rovině se kulička pohybuje po dobu t1 s daným zrychlením a . Za tento čas ujede dráhu:

    \[s_1\,=\,\frac{1}{2}at_1^{2}\,.\]

    A dosáhne rychlosti:

    \[v\,=\,at_1\,.\]

    Touto rychlostí se pohybuje po vodorovné rovině po dobu t - t1 a ujede dráhu:

    \[s_2\,=\,v\left(t-t_1\right)\,=\,at_1\left(t-t_1\right)\,.\]

    Celková dráha bude:

    \[s\,=\,\frac{1}{2}\,at_1^{2}\,+\,at_1\left(t-t_1\right)\,.\]

    Po roznásobení závorky:

    \[s\,=\,-\frac{1}{2}\,at_1^{2}\,+\,at_1t\,.\]

    A po úpravě:

    \[t_1^{2}\,-\,2tt_1\,+\,\frac{2s}{a}\,=\,0\,.\]

    Řešením kvadratické rovnice dostaneme dva kořeny (ozn. t1, t2), z nichž vyhovuje pouze:

    \[t_1\,=\,t\,-\,\sqrt{t^{2}\,-\,\frac{2s}{a}}\,.\]

    Protože:

    \[t_1\,<\,t\,.\]

    Číselně:

    \[t_1\,=\,\left(12\,-\,\sqrt{(12)^{2}\,-\,\frac{2{\cdot} 20}{0{,}5}}\right)\,\mathrm{s}\,=\,4\,\mathrm{s}\,.\]
  • Odpověď

    Ocelová kulička se pohybuje po nakloněné rovině po dobu:

    \[t_1\,=\,t\,-\,\sqrt{t^{2}\,-\,\frac{2s}{a}}\,=\, 4\,\mathrm{s}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze