Těžiště neobvyklého kruhu

Úloha číslo: 1128

Určete polohu těžiště plošného útvaru znázorněného na obrázku níže.

Zkoumaný útvar
  • Nápověda 1

    Zamyslete se nad tím, co vlastně znamená úkol „určete polohu těžiště“. Co má být výstupem úlohy, co vlastně určujete?

  • Nápověda 2

    Vhodně umístěte útvar do souřadného systému. Lze jeho polohu zvolit tak, aby se další výpočty zjednodušily, event. některé nebylo třeba vůbec dělat?

  • Popis metody

    Polohový vektor rT popisující polohu těžiště obvykle počítáme pomocí integrálu:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dm}{{\int}dm}.\]

    Tvar tohoto zkoumaného objektu je ovšem netypický a získat x-ovou souřadnici těžiště integrací je – jemně řečeno – nesmírně obtížné. Níže se proto pokusíme daný problém vyřešit jiným způsobem (omezujeme se na rovinný problém). Pomohou nám dva různé pohledy na stejný celek:

    Situace 1: Na chvíli si představíme, že do našeho útvaru doplníme zpátky vyříznutý malý kruh. Těžiště T1 doplněného velkého kruhu o hmotnosti m bude ležet v jeho středu, jeho souřadnice tedy bude xT1 = R.

    Situace 2: Nyní si plný kruh opět rozdělíme na:

    • „vykousnutý“ útvar o  hmotnosti m1, jehož těžiště má hledanou souřadnici xT,
    • malý kruh o hmotnosti m2, jehož těžiště T2 má souřadnici xT2 = 3R/2.
    Souřadnice těžišť jednotlivých částí obrazce

    Protože jsme tentýž zkoumaný objekt popsali jednou jako celek, jednou jako systém dvou částí, je jasné, že těžiště soustavy „vykousnutý“ útvar + malý kruh musí být v místě těžiště celého plného kruhu. Tato myšlenka pro nás bude východiskem při dalších výpočtech.

  • Nápověda 3

    Myšlenku uvedenou tučně v předcházející části „Popis metody“ převeďte do matematického vyjádření. Dosaďte známé souřadnice xT1xT2 a vyjádřete neznámou xT.

  • Nápověda 4

    Pomocí plošné hustoty dopočtěte hmotnosti m1m2. Předpokládejte, že útvar je homogenní a jeho plošná hustota ρ je tedy všude stejná.

  • Nápověda 5

    Dosaďte hmotnosti ze vztahů (5) a (6) do vztahu (4) a vyjádřete hledanou souřadnici xT.

  • Celkové řešení

    Určit polohu těžiště znamená určit souřadnice těžiště v nějakém vhodně zvoleném souřadném systému. Protože daný útvar je rovinný (třetí rozměr, „výšku“, zanedbáváme), jsou výstupem úlohy dvě souřadnice těžiště T: xT, yT. Výhodné umístění útvaru do souřadného systému ukazuje obrázek níže – levý okraj útvaru prochází počátkem soustavy souřadnic.

    Umístění útvaru do souřadného systému

    Protože takto umístěný útvar je osově symetrický podle osy x, musí jeho těžiště ležet na této ose – libovolný bod na ose x má ovšem nulovou y-ovou souřadnici, tedy ihned můžeme psát:

    \[y_T\,=\,0.\]

    Dále tedy stačí vypočítat pouze x-ovou souřadnici těžiště xT. Tento výpočet obvykle provádíme pomocí integrálu:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dm}{{\int}dm},\]

    kde rT je polohový vektor popisující polohu těžiště. Tvar tohoto zkoumaného objektu je ovšem netypický a získat x-ovou souřadnici těžiště integrací je – jemně řečeno – nesmírně obtížné. Níže se proto pokusíme daný problém vyřešit jiným způsobem (omezujeme se na rovinný problém). Pomohou nám dva různé pohledy na stejný celek:

    Situace 1: Na chvíli si představíme, že do našeho útvaru doplníme zpátky vyříznutý malý kruh. Těžiště T1 doplněného velkého kruhu o hmotnosti m bude ležet v jeho středu, jeho souřadnice tedy bude xT1 = R.

    Situace 2: Nyní si plný kruh opět rozdělíme na:

    • „vykousnutý“ útvar o  hmotnosti m1, jehož těžiště má hledanou souřadnici xT ,
    • malý kruh o hmotnosti m2, jehož těžiště T2 má souřadnici xT2 = 3R/2.
    Souřadnice těžišť jednotlivých částí obrazce

    Protože jsme tentýž zkoumaný objekt popsali jednou jako celek, jednou jako systém dvou částí, je jasné, že těžiště soustavy „vykousnutý“ útvar + malý kruh musí být v místě těžiště celého plného kruhu. Této myšlence lze dát následující matematickou podobu:

    \[x_{T1}\,=\,\frac{m_1x_T\,+\,m_2x_{T2}}{m_1\,+\,m_2},\tag{1}\]

    kde pravá strana rovnice vychází ze vzorce pro výpočet polohy těžiště soustavy hmotných bodů či těles – podrobněji například v úloze Těžiště různě uspořádaných soustav koulí.

    Protože známe souřadnice xT1xT2, můžeme za ně do vztahu (1) dosadit a vyjádřit xT:

    \[R\,=\,\frac{m_1x_T\,+\,m_2{\cdot}\frac{3R}{2}}{m_1\,+\,m_2},\tag{2}\] \[R(m_1\,+\,m_2)\,-\,m_2\frac{3R}{2}\,=\,m_1x_T,\tag{3}\] \[x_T\,=\,R(1\,-\,\frac{m_2}{2m_1}).\tag{4}\]

    Hmotnost malého kruhu m2 určíme jako součin obsahu malého kruhu a plošné hustoty:

    \[m_2\,=\,{\pi}\frac{R^2}{4}\varrho.\tag{5}\]

    Hmotnost m1 „vykousnutého“ útvaru můžeme určit jako rozdíl hmotnosti m celého velkého kruhu a hmotnosti m2 malého kruhu:

    \[m_1\,=\,m\,-\,m_2\,=\,{\pi}R^2\varrho\,-\,{\pi}\frac{R^2}{4}\varrho\,=\,\frac{3}{4}{\pi}R^2\varrho.\tag{6}\]

    Na závěr dosadíme ze vztahů (5) a (6) do vztahu (4):

    \[x_T\,=\,R(1\,-\,\frac{m_2}{2m_1})\,=\,R(1\,-\,\frac{{\pi}\frac{R^2}{4}\varrho}{2{\cdot}\frac{3}{4}{\pi}R^2\varrho})\,=\,\frac{5}{6}R.\tag{7}\]

    Souřadnice těžiště „vykousnutého“ útvaru xT je tedy rovna 5R/6.

  • Alternativní řešení

    Jiná metoda řešení je postavená na znalosti práce s momenty sil. Využívá poznatku, že máme-li (v rovině) soustavu hmotných bodů či plošných útvarů podrobenou silám, můžeme vzhledem k libovolnému bodu roviny určit momenty těchto sil. Tyto síly mají dohromady na soustavu stejný otáčivý účinek jako jejich výslednice s působištěm v těžišti soustavy. Určíme tedy nejdříve momenty jednotlivých sil:

    Určení momentu tíhové síly – útvar považujeme za celek:

    Působiště tíhové síly FG je v těžišti T zkoumaného útvaru - rameno tíhové síly je tedy rovno hledané veličině xT (viz obrázek):

    Moment tíhové síly

    Pro velikost momentu tíhové síly FG vzhledem k počátku souřadného systému tedy platí:

    \[M_1\,=\,F_Gx_T\,=\,mgx_T\,=\,{\varrho}Sgx_T,\tag{8}\]

    kde ρ je plošná hustota útvaru, S jeho plošný obsah a g tíhové zrychlení.

    Z geometrických vlastnosti obrazce můžeme jeho obsah určit jako:

    \[S\,=\,{\pi}R^2\,-\,{\pi}(\frac{R}{2})^2\,=\,\frac{3}{4}{\pi}R^2.\tag{9}\]

    Dosazením ze vztahu (9) do vztahu (8) dostáváme:

    \[M_1\,=\,\frac{3}{4}{\pi}R^2{\varrho}g{\cdot}x_T.\tag{10}\]

    Určení momentů sil - útvar rozložíme na dvě části:

    Nyní budeme uvažovat velký kruh bez jakýchkoli vyříznutí. Na takový kruh působí síla FG1, její působiště je ve středu velkého kruhu, a pro velikost momentu tíhové síly FG1 vzhledem k počátku soustavy souřadnic tedy platí:

    \[M_2\,=\,F_{G1}R.\] Protože doplněním velkého kruhu o vyřízlou část jsme zvětšili jeho hmotnost, budeme nyní uvažovat, že malý kruh má efektivní hmotnost zápornou – tak dostaneme výslednou hmotnost útvaru. (Jako by vykrojený malý kruh nadlehčoval velký plný kruh.) Efektivní tíhová síla na malý kruh FG2 bude tedy směřovat svisle vzhůru a její působiště bude ve středu malého kruhu. Pro velikost momentu tíhové síly FG2 vzhledem k počátku soustavy souřadnic pak platí: \[M_3\,=\,F_{G2}{\cdot}\frac{3R}{2}.\]

    Ramena sil lze snadno odečíst z obrázku:

    Momenty sil

    Výsledný moment sil FG1FG2 získáme jako rozdíl dílčích momentů (rozdíl proto, že síly mají opačné otáčivé účinky). Pro velikost výsledného momentu M tedy platí:

    \[M\,=\,M_2\,-\,M_3\,=\,R(F_{G1}\,-\,\frac{3}{2}F_{G2}).\tag{11}\]

    Vztah (11) nyní upravíme pomocí plošné hustoty ρ podobně jako vztah (1):

    \[M\,=\,Rg(m_1\,-\,\frac{3}{2}m_2)\,=\,Rg{\varrho}(S_1\,-\,\frac{3}{2}S_2),\tag{12}\]

    kde S1 je obsah velkého kruhu a S2 obsah malého kruhu. S přihlédnutím ke geometrii útvaru lze psát:

    \[M\,=\,Rg{\varrho}({\pi}R^2\,-\,\frac{3}{2}{\pi}({\frac{R}{2}})^2)\,=\,\frac{5}{8}R^3g{\varrho}{\pi}.\tag{13}\]

    Porovnání výše vypočítaných momentů:

    Podle základní úvahy našeho postupu platí:

    \[M_1\,=\,M.\tag{14}\]

    Dosadíme do rovnosti (14) ze vztahů (10) a (13) a vyjádříme xT:

    \[\frac{3}{4}{\pi}R^2{\varrho}g{\cdot}x_T\,=\,\frac{5}{8}R^3g{\varrho}{\pi},\] \[\frac{3}{4}x_T\,=\,\frac{5}{8}R,\] \[x_T\,=\,\frac{20}{24}R\,=\,\frac{5}{6}R.\]

    Souřadnice těžiště xT je rovna 5R/6.

  • Odpověď

    Souřadnice těžiště zadaného útvaru v námi zvoleném souřadném systému jsou:

    \[x_T\,=\,\frac{5}{6}R,\] \[y_T\,=\,0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze