Srážka s blbcem
Úloha číslo: 197
Oblíbeným termínem mnoha lidí je „srážka s blbcem“. Představme si tedy blbce o hmotnosti 80 kg spěchajícího rychlostí 10 km·h-1.
Jakou velikost a směr bude mít vaše rychlost po této srážce?
Jak velké budou ztráty mechanické energie, ke kterým při srážce dojde?
Předpokládejte, že jste před srážkou stáli na místě. Srážka je ideálně nepružná. Počítejte s vlastní hmotností.
Zápis
M = 80 kg hmotnost blbce v = 10 km·h−1 rychlost blbce m = (dosaďte vaši hmotnost) vaše hmotnost v1 = 0 km·h−1 vaše rychlost před srážkou v2 = ? (km·h−1) vaše rychlost po srážce Nápověda 1
Připomeňte si, co je to ideálně nepružná srážka – co je pro pohyb těles po takové srážce podstatné? Které zákony zachování zde platí?
Nápověda 2
Napište zákon zachování hybnosti pro popsanou srážku, tj. vyjádřete rovnost celkové hybnosti před srážkou a celkové hybnosti po srážce. Jak se v rovnici projeví to, že vy a blbec splynete po srážce v jeden společně se pohybující celek? Určete velikost a směr vaší rychlosti.
Nápověda 3: Ztráty energie
Co si představíte pod pojmem „ztráty“ mechanické energie? Jde o rozdíl mechanické energie před srážkou a po srážce. Určete jej.
Celkové řešení
Ideálně nepružná srážka je taková, že vzájemná rychlost srážejících se těles je po ní nulová – tělesa se spojí v jeden celek a dále se společně pohybují, event. společně zůstávají v klidu. Otázka na vaši rychlost je tedy skrytě otázkou na rychlost tohoto celku.
Při takové srážce neplatí zákon zachování mechanické energie, v platnosti však zůstává zákon zachování hybnosti.
Označme vaši hmotnost m. Dle zákona zachování hybnosti (ZZH) se hybnost před srážkou musí rovnat hybnosti po srážce:
Hybnost před srážkou: \[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_\mathrm{b}}\,+\,\vec{p_\mathrm{v}},\]
kde \(\vec{p_\mathrm{b}}\) je hybnost blbce a \(\vec{p_\mathrm{v}}\) vaše hybnost.
Hybnost po srážce: \[\vec{p_2}\,=\,\vec{p_\mathrm{c}},\]
kde \(\vec{p_\mathrm{c}}\) je hybnost celku vy + blbec.
Podle zákona zachování hybnosti:
\[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_2},\] tedy:
\[\vec{p_\mathrm{b}}\,+\,\vec{p_\mathrm{v}}\,=\,\vec{p_\mathrm{c}},\]
\[M\vec{v}\,+\,m\vec{v_1}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]
kde \(\vec{v_1}\) je vaše počáteční rychlost a \(\vec{v_2}\) je výsledná rychlost celku o hmotnosti m + M. Přitom víte, že \(\vec{v_1}\,=0\) (protože jste v klidu), tedy:
\[M\vec{v}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]
\[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}.\tag{1}\]
Rychlost \(\vec{v_2}\) bude mít stejný směr jako rychlost blbce \(\vec{v}\).
Číselně je například pro m = 60 kg: \[v_2\,=\,\frac{80}{80\,+\,60}\,\cdot\,10\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,\dot=\,5{,}71\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]
Energetické ztráty:
Neuvažujeme žádný pohyb vás ani blbce ve vertikálním směru (nahoru – dolů), potenciální energie se tedy během pohybu nemění a lze ji volit tak, aby byla stále nulová. Půjde tedy o rozdíl kinetických energií před a po srážce.
Před srážkou je nenulová pouze kinetická energie blbce: \[E_\mathrm{k_b}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2.\]
Po srážce se pohybuje celek vy + blbec s celkovou kinetickou energií: \[E_\mathrm{k_c}\,=\,\frac{1}{2}(M + m)v_2^2.\]
Označíme energetické ztráty \(\Delta E\) a za v2 dosadíme ze vztahu (1). Dostáváme:
\[\Delta E\,=\,E_\mathrm{k_b}\,-\,E_\mathrm{k_c}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)v_2^2\,=\\=\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)(\frac{M}{M+m}v)^2\,= \frac{1}{2}Mv^2\,- \,\frac{1}{2}\frac{M^2v^2}{(M+m)}= \\ = \frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m}.\]
Například pro hmotnost m = 60 kg je
\[\Delta E\,\dot=\,\frac{1}{2}\cdot2{,}78^2\cdot\frac{60{\cdot} 80}{80\,+\,60}\,\mathrm{J}\,\dot=\,132{,}5\,\mathrm{J}.\]
(Nezapomeňte převést rychlost na jednotky m·s-1.)
Výsledek
Rychlost celku blbec + vy je dána vztahem: \[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}\,,\] kde za m dosaďte vlastní hmotnost.
Pro m = 60 kg vychází číselně \( v_2\,\dot=\,5{,}7\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\).
Ztráty mechanické energie \(\Delta E\): \[\Delta E\,=\,\frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m}.\]
Například pro hmotnost m = 60 kg je \(\Delta E\,\dot=\,132\,J\).
