Srážka s blbcem

Úloha číslo: 197

Oblíbeným termínem mnoha lidí je „srážka s blbcem“. Představme si tedy blbce o hmotnosti 80 kg spěchajícího rychlostí 10 km·h-1.

Jakou velikost a směr bude mít vaše rychlost po této srážce?

Jak velké budou ztráty mechanické energie, ke kterým při srážce dojde?

Obrázek k zadání

Předpokládejte, že jste před srážkou stáli na místě. Srážka je ideálně nepružná. Počítejte s vlastní hmotností.

  • Zápis

    M = 80 kg hmotnost blbce
    v = 10 km·h−1 rychlost blbce
    m = (dosaďte vaši hmotnost) vaše hmotnost
    v1 = 0 km·h−1 vaše rychlost před srážkou
    v2 = ? (km·h−1) vaše rychlost po srážce
  • Nápověda 1

    Připomeňte si, co je to ideálně nepružná srážka – co je pro pohyb těles po takové srážce podstatné? Které zákony zachování zde platí?

  • Nápověda 2

    Napište zákon zachování hybnosti pro popsanou srážku, tj. vyjádřete rovnost celkové hybnosti před srážkou a celkové hybnosti po srážce. Jak se v rovnicí projeví to, že vy a blbec splynete po srážce v jeden společně se pohybující celek? Určete velikost a směr vaší rychlosti.

  • Nápověda 3: Ztráty energie

    Co si představíte pod pojmem „ztráty“ mechanické energie? Jde o rozdíl mechanické energie před srážkou a po srážce. Určete jej.

  • Celkové řešení

    Ideálně nepružná srážka je taková, že vzájemná rychlost srážejících se těles je po ní nulová - tělesa se spojí v jeden celek a dále se společně pohybují, event. společně zůstávají v klidu. Otázka na vaši rychlost je tedy skrytě otázkou na rychlost tohoto celku.

    Při takové srážce neplatí zákon zachování mechanické energie, v platnosti však zůstává zákon zachování hybnosti.

    Označme vaši hmotnost m. Dle zákona zachování hybnosti (ZZH) se hybnost před srážkou musí rovnat hybnosti po srážce:

    Hybnost před srážkou: \[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_b}\,+\,\vec{p_v},\]

    kde \(\vec{p_b}\) je hybnost blbce a \(\vec{p_v}\) vaše hybnost.

    Hybnost po srážce: \[\vec{p_2}\,=\,\vec{p_c},\]

    kde \(\vec{p_c}\) je hybnost celku vy+blbec.

    Podle zákona zachování hybnosti:

    \[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_2},\]   tedy:

    \[\vec{p_b}\,+\,\vec{p_v}\,=\,\vec{p_c},\]

    \[M\vec{v}\,+\,m\vec{v_1}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]

    kde \(\vec{v_1}\) je vaše počáteční rychlost a \(\vec{v_2}\)  je výsledná rychlost celku o hmotnosti m+M. Přitom víte, že \(\vec{v_1}\,=0\) (protože jste v klidu), tedy:

    \[M\vec{v}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]

    \[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}.\tag{1}\]

    Rychlost \(\vec{v_2}\) bude mít stejný směr jako rychlost blbce \(\vec{v}\).

    Číselně je například pro m = 60 kg \[v_2\,=\,\frac{80}{80\,+\,60}\,\cdot\,10\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,\dot=\,5{,}71\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]

    Energetické ztráty:

    Neuvažujeme žádný pohyb vás ani blbce ve vertikálním směru (nahoru - dolů), potenciální energie se tedy během pohybu nemění a lze ji volit tak, aby byla stále nulová. Půjde tedy o rozdíl kinetických energií před a po srážce.

    Před srážkou je nenulová pouze kinetická energie blbce: \[E_{k_b}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2.\]

    Po srážce se pohybuje celek vy+blbec s celkovou kinetickou energií: \[E_{k_c}\,=\,\frac{1}{2}(M+m)v_2^2.\]

    Označíme energetické ztráty \(\Delta E\) a za v2 dosadíme ze vztahu (1). Dostáváme:

    \[\Delta E\,=\,E_{k_b}\,-\,E_{k_c}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)v_2^2\,=\\=\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)(\frac{M}{M+m}v)^2\,= \frac{1}{2}Mv^2\,- \,\frac{1}{2}\frac{M^2v^2}{(M+m)}= \\ = \frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m}.\]

    Například pro hmotnost m = 60 kg je

    \[\Delta E\,\dot=\,\frac{1}{2}\cdot2{,}78^2\cdot\frac{60{\cdot} 80}{80\,+\,60}\,\mathrm{J}\,\dot=\,132{,}5\,\mathrm{J}.\]

    (Nezapomeňte převést rychlost na jednotky m·s-1.)

  • Výsledek

    Rychlost celku blbec+vy je dána vztahem: \[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}\,,\] kde za m dosaďte vlastní hmotnost.

    Pro m = 60 kg vychází číselně \( v_2\,\dot=\,5{,}7\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\).

     

    Ztráty mechanické energie \(\Delta E\): \[\Delta E\,=\,\frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m},\]

     

    Například pro hmotnost m = 60 kg je \(\Delta E\,\dot=\,132\,J\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze