Srážka s blbcem
Úloha číslo: 197
Oblíbeným termínem mnoha lidí je „srážka s blbcem“. Představme si tedy blbce o hmotnosti 80 kg spěchajícího rychlostí 10 km·h-1.
Jakou velikost a směr bude mít vaše rychlost po této srážce?
Jak velké budou ztráty mechanické energie, ke kterým při srážce dojde?
![Obrázek k zadání Obrázek k zadání](../media/00197/blbec_zadani.page.tagged.gif)
Předpokládejte, že jste před srážkou stáli na místě. Srážka je ideálně nepružná. Počítejte s vlastní hmotností.
Zápis
M = 80 kg hmotnost blbce v = 10 km·h−1 rychlost blbce m = (dosaďte vaši hmotnost) vaše hmotnost v1 = 0 km·h−1 vaše rychlost před srážkou v2 = ? (km·h−1) vaše rychlost po srážce Nápověda 1
Připomeňte si, co je to ideálně nepružná srážka – co je pro pohyb těles po takové srážce podstatné? Které zákony zachování zde platí?
Nápověda 2
Napište zákon zachování hybnosti pro popsanou srážku, tj. vyjádřete rovnost celkové hybnosti před srážkou a celkové hybnosti po srážce. Jak se v rovnici projeví to, že vy a blbec splynete po srážce v jeden společně se pohybující celek? Určete velikost a směr vaší rychlosti.
Nápověda 3: Ztráty energie
Co si představíte pod pojmem „ztráty“ mechanické energie? Jde o rozdíl mechanické energie před srážkou a po srážce. Určete jej.
Celkové řešení
Ideálně nepružná srážka je taková, že vzájemná rychlost srážejících se těles je po ní nulová – tělesa se spojí v jeden celek a dále se společně pohybují, event. společně zůstávají v klidu. Otázka na vaši rychlost je tedy skrytě otázkou na rychlost tohoto celku.
Při takové srážce neplatí zákon zachování mechanické energie, v platnosti však zůstává zákon zachování hybnosti.
Označme vaši hmotnost m. Dle zákona zachování hybnosti (ZZH) se hybnost před srážkou musí rovnat hybnosti po srážce:
Hybnost před srážkou: \[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_\mathrm{b}}\,+\,\vec{p_\mathrm{v}},\]
kde \(\vec{p_\mathrm{b}}\) je hybnost blbce a \(\vec{p_\mathrm{v}}\) vaše hybnost.
Hybnost po srážce: \[\vec{p_2}\,=\,\vec{p_\mathrm{c}},\]
kde \(\vec{p_\mathrm{c}}\) je hybnost celku vy + blbec.
Podle zákona zachování hybnosti:
\[\vec{p_1}\,=\,\vec{p_2},\] tedy:
\[\vec{p_\mathrm{b}}\,+\,\vec{p_\mathrm{v}}\,=\,\vec{p_\mathrm{c}},\]
\[M\vec{v}\,+\,m\vec{v_1}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]
kde \(\vec{v_1}\) je vaše počáteční rychlost a \(\vec{v_2}\) je výsledná rychlost celku o hmotnosti m + M. Přitom víte, že \(\vec{v_1}\,=0\) (protože jste v klidu), tedy:
\[M\vec{v}\,=\,(M+m)\vec{v_2},\]
\[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}.\tag{1}\]
Rychlost \(\vec{v_2}\) bude mít stejný směr jako rychlost blbce \(\vec{v}\).
Číselně je například pro m = 60 kg: \[v_2\,=\,\frac{80}{80\,+\,60}\,\cdot\,10\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,\dot=\,5{,}71\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]
Energetické ztráty:
Neuvažujeme žádný pohyb vás ani blbce ve vertikálním směru (nahoru – dolů), potenciální energie se tedy během pohybu nemění a lze ji volit tak, aby byla stále nulová. Půjde tedy o rozdíl kinetických energií před a po srážce.
Před srážkou je nenulová pouze kinetická energie blbce: \[E_\mathrm{k_b}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2.\]
Po srážce se pohybuje celek vy + blbec s celkovou kinetickou energií: \[E_\mathrm{k_c}\,=\,\frac{1}{2}(M + m)v_2^2.\]
Označíme energetické ztráty \(\Delta E\) a za v2 dosadíme ze vztahu (1). Dostáváme:
\[\Delta E\,=\,E_\mathrm{k_b}\,-\,E_\mathrm{k_c}\,=\,\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)v_2^2\,=\\=\frac{1}{2}Mv^2\,-\,\frac{1}{2}(M+m)(\frac{M}{M+m}v)^2\,= \frac{1}{2}Mv^2\,- \,\frac{1}{2}\frac{M^2v^2}{(M+m)}= \\ = \frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m}.\]
Například pro hmotnost m = 60 kg je
\[\Delta E\,\dot=\,\frac{1}{2}\cdot2{,}78^2\cdot\frac{60{\cdot} 80}{80\,+\,60}\,\mathrm{J}\,\dot=\,132{,}5\,\mathrm{J}.\]
(Nezapomeňte převést rychlost na jednotky m·s-1.)
Výsledek
Rychlost celku blbec + vy je dána vztahem: \[\vec{v_2}\,=\,\frac{M}{M+m}\vec{v}\,,\] kde za m dosaďte vlastní hmotnost.
Pro m = 60 kg vychází číselně \( v_2\,\dot=\,5{,}7\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\).
Ztráty mechanické energie \(\Delta E\): \[\Delta E\,=\,\frac{1}{2}v^2\frac{mM}{M+m}.\]
Například pro hmotnost m = 60 kg je \(\Delta E\,\dot=\,132\,J\).