Zrychlený pohyb II
Úloha číslo: 189
Těleso se pohybuje tak, že jeho polohu v libovolném čase popisují funkce:
\[x(t)\,=\,\frac{1}{3}ct^3\,-\,2a_{0}t^2 \,+\,3v_{0}t\,,\]
\[y(t)\,=\,d\,,\]
\[z(t)\,=\,b\,,\]
kde c, v0, a0, d, b jsou konstanty. Jejich číselné hodnoty v jednotkách SI jsou:
{c} = 6, {v0} = 4, {a0} = 5, {d} = 2, {b} = 3. Určete:
a) jednotky [c], [v0], [a0], [d], [b],
b) průběh rychlosti a zrychlení v závislosti na čase,
c) trajektorii pohybu,
d) čas, ve kterém se změní směr rychlosti na opačný.
Nápověda 1 - pro část a)
Veličiny x, y a z jsou souřadnice. Jakou mají jednotku? Jakou jednotku tedy musejí mít jednotlivé členy na pravé straně uvedených vztahů?
Nápověda 2 - pro část b)
Znáte závislost souřadnic na čase. Jak z nich lze určit závislost složek rychlosti a složek zrychlení na čase?
Nápověda 3 - pro část c)
Podívejte se pozorně na souřadnice, které pohyb popisují. Které z nich závisejí na čase? Co to pro trajektorii pohybu znamená?
Pokud vám tato nápověda nepomohla, zkuste si situaci namodelovat. Posloužit vám může třeba papírový nebo drátěný model krychle: Libovolný její vrchol zvolte za počátek soustavy souřadnic, v něm se sbíhající hrany krychle za osy x, y, z. Umístěte do takto vyrobené soustavy souřadnice bod (může jej reprezentovat třeba špička tužky nebo špendlíku) a zkuste s ním pohybovat tak, aby byly splněny podmínky dané předpisem pro y-ovou a z-ovou souřadnici (nezapomínejte, že b, d jsou konstanty!). Jakou trajektorii bod opisuje?
Nápověda 4 - pro část d)
Vyjádřete si velikost rychlosti v libovolném čase t. Jaká je tato velikost při „obratu“, tedy v okamžiku, kdy se směr rychlosti mění na opačný?
Celkové řešení
a) Určení jednotek veličin c, v0, a0, d, b:
Všechny souřadnice mají za rozměr jednotku délky - metr. To tedy znamená, že také všechny členy na pravé straně rovnic musejí mít za rozměr jednotku metr. Aby to bylo splněno, musí platit:
\[[c]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{3}}},\]
\[[a_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}},\]
\[[v_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s}},\]
\[[d]\,=\,\mathrm{m},\]
\[[b]\,=\,\mathrm{m}.\]
b) Určení průběhu rychlosti a zrychlení v závislosti na čase:
Složky rychlosti jsou derivací souřadnic podle času:
\[v_\mathrm{x}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{3}ct^3\,- \,2a_{0}t^2 \,+\,3v_{0}t\right)\, = \,ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}\,,\]
\[v_\mathrm{y}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\, = \,\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t}\, = \,0\,,\]
\[v_\mathrm{z}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\, = \,\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}\, =\,0\,.\]
Složky zrychlení jsou druhou derivací souřadnic podle času, resp. první derivací složek rychlosti podle času:
\[a_\mathrm{x}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{x}}{\mathrm{d}t}\,= \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}\right)\, = \,2ct\,-\,4a_{0}\,,\]
\[a_\mathrm{y}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{y}}{\mathrm{d}t}\,=\,0\,,\]
\[a_\mathrm{z}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{z}}{\mathrm{d}t}\, = \,0\,.\]
c) Určení trajektorie pohybu tělesa:
Souřadnice y a z na čase nezávisejí; jedinou souřadnicí, která se s časem mění, je souřadnice x. Těleso má tedy právě jeden stupeň volnosti - pohyb v kladném nebo záporném smyslu osy x. Trajektorií pohybu je potom přímka rovnoběžná s osou x.
d) Určení času, ve kterém se změní směr rychlosti na opačný:
Velikost rychlosti v libovolném čase vyjádříme jako:
\[v\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2} + v_\mathrm{y}^{2} + v_\mathrm{z}^{2}}\,=\,\sqrt{(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0})^2+0+0}\,.\]
V okamžiku, kdy se mění směr rychlosti, je velikost rychlosti tělesa nulová (těleso se v okamžiku obratu „zastaví“), tedy platí:
\[v\,=\,\sqrt{(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0})^2}\,=\,|{ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}|}\,=\,0\,.\]
Příslušný čas získáme vyřešením této kvadratické rovnice:
\(|{ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}|}\,=\,0\), tedy:
\({ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}}\,=\,0\,.\)
Po vyřešení dostáváme:
\[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4a_{0}\pm\sqrt{16a_{0}^{2}-12cv_{0}}}{2c}\,.\]
Dosadíme číselně:
\(t_{1{,}2}\,=\,\frac{4{\cdot}5\pm\sqrt{16{\cdot}5^{2}-12{\cdot}6\cdot4}}{2{\cdot}6} \, \mathrm{s}= \,\frac{20\pm\sqrt{112}}{12}\, \mathrm{s},\)
t1 = 2,55 s, t2 = 0,78 s.
Výsledek
a) Jednotky veličin c, v0, a0, d, b:
\[[c]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{3}}},\]
\[[a_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}},\]
\[[v_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s}},\]
\[[d]\,=\,\mathrm{m},\]
\[[b]\,=\,\mathrm{m}.\]
b) Průběh rychlosti a zrychlení v závislosti na čase:
Složky rychlosti:
\[v_\mathrm{x}(t)\,=\,ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0},\]
\[v_\mathrm{y}(t)\,=\,0,\]
\[v_\mathrm{z}(t)\,=\,0.\]
Složky zrychlení:
\[a_\mathrm{x}(t)\,=\,2ct\,-\,4a_{0},\]
\[a_\mathrm{y}(t)\,=\,0,\]
\[a_\mathrm{z}(t)\,=\,0.\]
c)Trajektorií pohybu je přímka rovnoběžná s osou x.
d) Určení času, kdy se mění směr rychlosti na opačný:
Dostáváme dva výsledky:
\[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4a_{0}\pm\sqrt{16a_{0}^{2}-12cv_{0}}}{2c}\,,\]
což po dosazení číselných hodnot dává:
t1 = 2,55 s,
t2 = 0,78 s.
