Zrychlený pohyb II

Úloha číslo: 189

Těleso se pohybuje tak, že jeho polohu v libovolném čase popisují funkce:

\[x(t)\,=\,\frac{1}{3}ct^3\,-\,2a_{0}t^2 \,+\,3v_{0}t\,,\]

\[y(t)\,=\,d\,,\]

\[z(t)\,=\,b\,,\]

kde cv0a0db jsou konstanty. Jejich číselné hodnoty v jednotkách SI jsou:

{c} = 6, {v0} = 4, {a0} = 5, {d} = 2, {b} = 3. Určete:

a) jednotky [c], [v0], [a0], [d], [b],

b) průběh rychlosti a zrychlení v závislosti na čase,

c) trajektorii pohybu,

d) čas, ve kterém se změní směr rychlosti na opačný.

  • Nápověda 1 - pro část a)

    Veličiny x, yz jsou souřadnice. Jakou mají jednotku? Jakou jednotku tedy musejí mít jednotlivé členy na pravé straně uvedených vztahů?

  • Nápověda 2 - pro část b)

    Znáte závislost souřadnic na čase. Jak z nich lze určit závislost složek rychlosti a složek zrychlení na čase?

  • Nápověda 3 - pro část c)

    Podívejte se pozorně na souřadnice, které pohyb popisují. Které z nich závisejí na čase? Co to pro trajektorii pohybu znamená?

    Pokud vám tato nápověda nepomohla, zkuste si situaci namodelovat. Posloužit vám může třeba papírový nebo drátěný model krychle: Libovolný její vrchol zvolte za počátek soustavy souřadnic, v něm se sbíhající hrany krychle za osy x, y, z. Umístěte do takto vyrobené soustavy souřadnice bod (může jej reprezentovat třeba špička tužky nebo špendlíku) a zkuste s ním pohybovat tak, aby byly splněny podmínky dané předpisem pro y-obou a z-ovou souřadnici (nezapomínejte, že b, d jsou konstanty!). Jakou trajektorii bod opisuje?

  • Nápověda 4 - pro část d)

    Vyjádřete si velikost rychlosti v libovolném čase t. Jaká je tato velikost při „obratu“, tedy v okamžiku, kdy se směr rychlosti mění na opačný?

  • Celkové řešení

    a) Určení jednotek veličin c, v0, a0, d, b:

    Všechny souřadnice mají za rozměr jednotku délky - metr. To tedy znamená, že také všechny členy na pravé straně rovnic musejí mít za rozměr jednotku metr. Aby to bylo splněno, musí platit:

    \[[c]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{3}}},\]

    \[[a_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}},\]

    \[[v_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s}},\]

    \[[d]\,=\,\mathrm{m},\]

    \[[b]\,=\,\mathrm{m}.\]

    b) Určení průběhu rychlosti a zrychlení v závislosti na čase:

    Složky rychlosti jsou derivací souřadnic podle času:

    \[v_{x}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{3}ct^3\,- \,2a_{0}t^2 \,+\,3v_{0}t\right)\, = \,ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}\,,\]

    \[v_{y}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\, = \,\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t}\, = \,0\,,\]

    \[v_{z}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\, = \,\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}\, =\,0\,.\]

    Složky zrychlení jsou druhou derivací souřadnic podle času, resp. první derivací složek rychlosti podle času:

    \[a_{x}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\,= \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}\right)\, = \,2ct\,-\,4a_{0}\,,\]

    \[a_{y}(t)\,= \,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,=\,0\,,\]

    \[a_{z}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\, = \,0\,.\]

    c) Určení trajektorie pohybu tělesa:

    Souřadnice y a z na čase nezávisejí; jedinou souřadnicí, která se s časem mění, je souřadnice x. Těleso má tedy právě jeden stupeň volnosti - pohyb v kladném nebo záporném smyslu osy x. Trajektorií pohybu je potom přímka rovnoběžná s osou x.

    d) Určení času, ve kterém se změní směr rychlosti na opačný:

    Velikost rychlosti v libovolném čase vyjádříme jako:

    \[v\,=\,\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}\,=\,\sqrt{(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0})^2+0+0}\,.\]

    V okamžiku, kdy se mění směr rychlosti, je velikost rychlosti tělesa nulová (těleso se v okamžiku obratu „zastaví“), tedy platí:

    \[v\,=\,\sqrt{(ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0})^2}\,=\,|{ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}|}\,=\,0\,.\]

    Příslušný čas získáme vyřešením této kvadratické rovnice:

    \(|{ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}|}\,=\,0\), tedy:

    \({ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0}}\,=\,0\,.\)

    Po vyřešení dostáváme:

    \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4a_{0}\pm\sqrt{16a_{0}^{2}-12cv_{0}}}{2c}\,.\]

    Dosadíme číselně:

    \(t_{1{,}2}\,=\,\frac{4{\cdot}5\pm\sqrt{16{\cdot}5^{2}-12{\cdot}6\cdot4}}{2{\cdot}6} \, \mathrm{s}= \,\frac{20\pm\sqrt{112}}{12}\, \mathrm{s}\)

    t1 = 2,55 s, t2 = 0,78 s.

  • Výsledek

    a) Jednotky veličin c, v0, a0, d, b:

    \[[c]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{3}}},\]

    \[[a_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}},\]

    \[[v_{0}]\,=\,\mathrm{\frac{m}{s}},\]

    \[[d]\,=\,\mathrm{m},\]

    \[[b]\,=\,\mathrm{m}.\]

    b) Průběh rychlosti a zrychlení v závislosti na čase:

    Složky rychlosti:

    \[v_{x}(t)\,=\,ct^{2}\,-\,4a_{0}t\,+\,3v_{0},\]

    \[v_{y}(t)\,=\,0,\]

    \[v_{z}(t)\,=\,0.\]

    Složky zrychlení:

    \[a_{x}(t)\,=\,2ct\,-\,4a_{0},\]

    \[a_{y}(t)\,=\,0,\]

    \[a_{z}(t)\,=\,0.\]

    c)Trajektorií pohybu je přímka rovnoběžná s osou x.

    d) Určení času, kdy se mění směr rychlosti na opačný:

    Dostáváme dva výsledky:

    \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4a_{0}\pm\sqrt{16a_{0}^{2}-12cv_{0}}}{2c}\,,\]

    což po dosazení číselných hodnot dává:

    t1 = 2,55 s,

    t2 = 0,78 s.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze