Pružná síla
Úloha číslo: 91
Těleso o hmotnosti 2,0 kg se pohybuje po hladké vodorovné podložce ve směru osy x. Výsledná síla, která na těleso působí, má nenulovou, jen x-ovou složku a ta má tvar Fx = kx, kde k = −6 Nm−1. Souřadnice x je zadaná v metrech. Rychlost tělesa v bodě o souřadnici x1 = 3 m má velikost v1 = 8,0 m·s−1.
a) Jak velká je rychlost tělesa v poloze x2 = 4 m?
b) V jaké poloze má těleso rychlost o velikosti v3 = 5,0 m·s−1?
Zápis
m = 2,0 kg hmotnost tělesa Fx = kx výsledná síla působící na těleso k = −6 N·m−1 konstanta v1 = 8,0 m·s−1 rychlost tělesa v bodě o souřadnici x1 = 3 m v2 = ? m·s−1 rychlost tělesa v bodě o souřadnici x2 = 4 m x3 = ? m poloha tělesa, v níž má rychlost v3 = 5,0 m·s −1 Rozbor
Síla, která na těleso působí, má charakter pružné síly a působí proti směru jeho pohybu. Můžete si představit, že těleso narazí do pružiny a začne ji stlačovat. Práce pružné síly je rovna změně kinetické energie tělesa.
Nápověda 1 – práce síly Fx
Zapište, čemu je rovna práce síly Fx při posunutí tělesa z polohy x1 do polohy x2. Nezapomeňte, že síla není konstantní, ale závisí na souřadnici x.
Nápověda 2 – změna kinetické energie
Práce síly Fx je rovna změně kinetické energie tělesa. Zapište to rovnicí. Všimněte si, zda je práce síly Fx kladná či záporná, a rozmyslete si, zda se bude kinetická energie tělesa a tím i jeho rychlost zvětšovat, či zmenšovat.
Nápověda 3 a) – rychlost tělesa
Ze vztahu (2) vyjádřete hledanou rychlost v2.
Nápověda 3 b) – poloha tělesa
Při řešení bodu b) vyjdeme ze stejné úvahy. Změna kinetické energie při posunutí tělesa z polohy x1 do hledané polohy x3 je rovna práci síly Fx.
Číselný výpočet
a)
\[m\,=\,2{,}0\, \mathrm{kg}\] \[k\,=\,\,-\,6\,\mathrm{Nm^{-1}}\] \[x_{1}\,=\,3\, \mathrm{m}\] \[x_{2}\,=\,4\, \mathrm{m}\] \[v_{1}\,=\,8\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v_{2}\,=\,?\]
\[v_{2}\,=\,\sqrt{v_{1}^{2}\,-\,\frac{k}{m}x_{1}^{2}\,+\,\frac{k}{m}x_{2}^{2}}\,=\,\sqrt{8^{2}\,-\,\frac{\,-\,6}{2}3^{2}\,+\,\frac{\,-\,6}{2}4^{2}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v_{2}\,\dot=\,6{,}56\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\]b)
\[m\,=\,2{,}0\, \mathrm{kg}\] \[k\,=\,\,-\,6\,\mathrm{Nm^{-1}}\] \[x_{1}\,=\,3\, \mathrm{m}\] \[v_{1}\,=\,8\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v_{2}\,=\,5\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[x_{3}\,=\,?\]
\[x_{3}\,=\,\sqrt{\,-\,\frac{m}{k}v_{3}^{2}\,+\,\frac{m}{k}v_{1}^{2}\,+\,x_{1}^{2}}=\,\sqrt{\,-\frac{2}{6}\,5^{2}\,+\,\frac{2}{6}\,8^{2}\,+\,3^{2}}\,\mathrm{m}\] \[x_{3}\,\dot=\,4{,}69\, \mathrm{m}\]Odpověď
a) Hledaná rychlost je: \[v_{2}\,=\,\sqrt{v_{1}^{2}\,-\,\frac{k}{m}x_{1}^{2}\,+\,\frac{k}{m}x_{2}^{2}}\,\dot=\,6{,}56\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]
b) Hledaná poloha je: \[x_{3}\,=\,\sqrt{\frac{m}{k}v_{3}^{2}\,-\,\frac{m}{k}v_{1}^{2}\,+\,x_{1}^{2}}\,\dot=\,4{,}69\, \mathrm{m}.\]
Celkové řešení bodu a)
Síla, která na těleso působí, má charakter pružné síly a působí proti směru jeho pohybu. Můžete si představit, že těleso narazí do pružiny a začne ji stlačovat. Práce pružné síly je rovna změně kinetické energie tělesa.
Na těleso působí rovnoběžně se směrem jeho posunutí proměnná síla, která je závislá na souřadnici x. Práci této síly určíme ze vztahu
\[W\,=\,\int_{x_1}^{x_2}{F_\mathrm{x}\mathrm{d}x}\,.\]Dosadíme za sílu \(F_\mathrm{x}\,=\,kx\) a zintegrujeme:
\[W\,=\,\int_{x_1}^{x_2}{kx\mathrm{d}x}\,=\,\frac{1}{2}kx_2^2\,-\,\frac{1}{2}kx_1^2\,.\tag{1}\]Práce síly Fx je rovna změně kinetické energie tělesa:
\[W\,=\,\mathrm{\Delta} E_\mathrm{k}\,=\, \frac{1}{2}mv_2^2\,-\,\frac{1}{2}mv_1^2.\]Za práci W dosadíme ze vztahu (1):
\[\frac{1}{2}kx_2^2\,-\,\frac{1}{2}kx_1^2\,=\,\frac{1}{2}mv_2^2\,-\,\frac{1}{2}mv_1^2.\tag{2}\]Práce síly Fx je záporná, práci tedy koná těleso a jeho kinetická energie i rychlost se snižují.
Celou rovnici vynásobíme dvěma:
\[mv_{2}^{2}\,-\,mv_{1}^{2}\,=\,\,-\,kx_{1}^{2}\,+\,kx_{2}^{2}\,.\]Přičteme k celé rovnici výraz \(mv_{1}^{2}\):
\[mv_{2}^{2}\,=\,mv_{1}^{2}\,-\,kx_{1}^{2}\,+\,kx_{2}^{2}\,.\]Vydělíme hmotností m:
\[v_{2}^{2}\,=\,v_{1}^{2}\,-\,\frac{k}{m}x_{1}^{2}\,+\,\frac{k}{m}x_{2}^{2}\,.\]Dostali jsme druhou mocninu hledané rychlosti. Stačí už jen odmocnit celou rovnici:
\[v_{2}\,=\,\sqrt{v_{1}^{2}\,-\,\frac{k}{m}x_{1}^{2}\,+\,\frac{k}{m}x_{2}^{2}}\,,\] \[v_{2}\,=\,\sqrt{8^{2}\,-\,\frac{-6}{2}3^{2}\,+\,\frac{-6}{2}4^{2}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v_{2}\,\dot=\,6{,}56\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]Odpověď: Hledaná rychlost je: \(v_{2}\,\dot=\,6{,}56\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\).
Celkové řešení bodu b)
Síla, která na těleso působí, má charakter pružné síly a působí proti směru jeho pohybu. Můžete si představit, že těleso narazí do pružiny a začne ji stlačovat. Práce pružné síly je rovna změně kinetické energie tělesa.
Na těleso působí rovnoběžně se směrem jeho posunutí proměnná síla, která je závislá na souřadnici x. Práci této síly určíme ze vztahu:
\[W\,=\,\int_\mathrm{x_1}^\mathrm{x_3}{F_\mathrm{x}\mathrm{d}x}.\]Dosadíme za sílu \(F_\mathrm{x}\,=\,kx\) a zintegrujeme:
\[W\,=\,\int_\mathrm{x_1}^\mathrm{x_3}{kx\mathrm{d}x}\,=\,\frac{1}{2}kx_3^2\,-\,\frac{1}{2}kx_1^2.\tag{1}\]Práce pružné síly je rovna změně kinetické energie tělesa:
\[W\,=\,\Delta E_\mathrm{k}\,=\, \frac{1}{2}mv_3^2\,-\,\frac{1}{2}mv_1^2.\]Za práci W dosadíme za vztahu (1):
\[\frac{1}{2}kx_3^2\,-\,\frac{1}{2}kx_1^2\,=\,\frac{1}{2}mv_3^2\,-\,\frac{1}{2}mv_1^2.\tag{2}\]Odtud vyjádříme hledanou polohu x3. Celou rovnici vynásobíme dvěma:
\[mv_{3}^{2}\,-\,mv_{1}^{2}\,=\,kx_{3}^{2}\,-\,kx_{1}^{2}.\]Přičteme k celé rovnici výraz \(kx_{1}^{2}\):
\[kx_{3}^{2}\,=\,mv_{3}^{2}\,-\,mv_{1}^{2}\,+\,kx_{1}^{2}.\]Vydělíme k:
\[x_{3}^{2}\,=\,\frac{m}{k}v_{3}^{2}\,-\,\frac{m}{k}v_{1}^{2}\,+\,x_{1}^{2}.\]Dostali jsme druhou mocninu hledané polohy, zbývá ješte celou rovnici odmocnit:
\[x_{3}\,=\,\sqrt{\frac{m}{k}v_{3}^{2}\,-\,\frac{m}{k}v_{1}^{2}\,+\,x_{1}^{2}},\] \[x_{3}\,=\,\sqrt{-\frac{2}{6}5^{2}\,+\,\frac{2}{6}8^{2}\,+\,3^{2}}\,\mathrm{m},\] \[x_{3}\,=\,4{,}69\, \mathrm{m}.\]Odpověď: Hledaná poloha je:\(\,x_{3}\,\dot=\,4{,}69\, \mathrm{m}\).
