Rotor turbíny

Úloha číslo: 208

Rotor turbíny se otáčel rychlostí 3000 otáček za minutu. Pak ho začali brzdit tak, že se otáčky rovnoměrně snižovaly. Rotor se zastavil za 2 min. Kolik otáček vykonal rotor od počátku brzdění až do svého zastavení?

  • Zápis

    f0 = 3000 min−1 = 50 s−1 počáteční frekvence
    T = 2 min = 120 s doba brzdění
    n = ? počet otáček
  • Nápověda 1 – řešení úvahou

    Rozmyslete si, jak lze pro určení počtu otáček využít fakt, že klesají rovnoměrně.

  • Nápověda 2 – grafické řešení

    Nakreslete graf závislosti frekvence otáčení kola na čase. Kde je v grafu schovaný daný počet otáček?

  • Nápověda 3 – řešení integrací

    Napište matematicky, jak závisí počet otáček rotoru na čase. Jak pomocí této závislosti určíte celkový počet otáček v daném časovém intervalu?

  • Celkové řešení

    1. způsob řešení – úvahou:

    Protože se frekvence otáčení snižuje rovnoměrně, můžeme určit průměrnou frekvenci jako aritmetický průměr krajních hodnot. Frekvence klesla z počátečních 3000 otáček za minutu na nulu během dvou minut. Aritmetický průměr tedy je 1500 otáček za minutu.

    Můžeme si představit, že s touto průměrnou frekvencí se rotor otáčí po celé dvě minuty, tedy celkový počet vykonaných otáček je 3000.

     

    2. způsob řešení – graficky:

    Graf závislosti frekvence na čase:

    Graf závislosti frekvence na čase

    Počtu otáček odpovídá plocha pod křivkou.

    \[n\,=\,\frac{f_{0}T}{2}\]

    Číselně:

    \[n\,=\, \frac{50{\cdot}120}{2}\,=\, 3000.\]

     

    3. způsob řešení – integrací:

    Frekvence otáčení se s časem mění podle vztahu:

    \[f\left(t\right)\,=\, f_{0} - kt,\]

    kde

    \[\{k\}\,=\,\frac{50}{120} = \frac{5}{12}\]

    (směrnice přímky v grafu z Nápovědy 2).

    Počet otáček rotoru od začátku brzdění do zastavení pak můžeme spočítat jako integrál funkce f(t) v daném časovém intervalu (obsah plochy pod křivkou):

    \[n\,=\,\int_{0}^{T}{f(t)}\mathrm{d}t\,=\, \int_{0}^{T}{(f_{0} - kt)}\mathrm{d}t,\] \[n\,=\,\left[f_{0}t - \frac{kt^{2}}{2}\right]_{0}^{T}\,=\, f_{0}T - k\frac{T^{2}}{2}.\]

    Číselně:

    \[n\,=\, 50{\cdot}120 \,-\, \frac{5}{12}\frac{120^{2}}{2}\,=\, 3000.\]
  • Odpověď

    Počet otáček:

    \(n\,=\,\frac{f_{0}T}{2} = 3000\,.\)

    Rotor vykonal 3000 otáček.

  • Podobná úloha

    Zkuste podobnou úlohu Otáčení kola.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze