Sbírka řešených úloh

Rotor turbíny

Úloha číslo: 208

• Zápis

  f0 = 3000 min−1 = 50 s−1	počáteční frekvence
  T = 2 min = 120 s	doba brzdění
  n = ?	počet otáček

• Nápověda 1 – řešení úvahou

  Rozmyslete si, jak lze pro určení počtu otáček využít fakt, že klesají rovnoměrně.

• Řešení nápovědy 1 – řešení úvahou

  Protože se frekvence otáčení snižuje rovnoměrně, můžeme určit průměrnou frekvenci jako aritmetický průměr krajních hodnot. Frekvence klesla z počátečních 3000 otáček za minutu na nulu během dvou minut. Aritmetický průměr je 1500 otáček za minutu.

  Můžeme si představit, že s touto průměrnou frekvencí se rotor otáčí po celé dvě minuty, celkový počet vykonaných otáček je tedy 3000.

• Nápověda 2 – grafické řešení

  Nakreslete graf závislosti frekvence otáčení kola na čase. Kde je v grafu schovaný daný počet otáček?

• Řešení k nápovědě 2 – grafické řešení

  Grafické řešení:

  

  Počtu otáček odpovídá plocha pod křivkou:

  \[n\,=\,\frac{f_{0}T}{2}.\]

  Číselně:

  \[n\,=\, \frac{50{\cdot}120}{2}\,=\, 3000.\]

• Nápověda 3 – řešení integrací

  Napište matematicky, jak závisí počet otáček rotoru na čase. Jak pomocí této závislosti určíte celkový počet otáček v daném časovém intervalu?

• Řešení nápovědy 3 – řešení integrací

  Frekvence otáčení se s časem mění podle vztahu:

  \[f\left(t\right)\,=\, f_0 - kt\,,\]

  kde \(\{k\}\,=\,\frac{50}{120} = \frac{5}{12}\,\)

  (směrnice přímky v grafu z Nápovědy 2).

  Počet otáček rotoru od začátku brzdění do zastavení pak můžeme spočítat jako integrál funkce f(t) v daném časovém intervalu (obsah plochy pod křivkou):

  \[n\,=\,\int_{0}^{T}{f(t)}\mathrm{d}t\,=\, \int_{0}^{T}{(f_0 - kt)}\mathrm{d}t\,,\] \[n\,=\,\left[f_0t - \frac{kt^{2}}{2}\right]_0^{T}\,=\, f_0T - k\frac{T^{2}}{2}\,.\]

  Číselně:

  \[n\,=\, 50{\cdot}120 \,-\, \frac{5}{12}\frac{120^{2}}{2}\,=\, 3000\,.\]

• Celkové řešení

  1. způsob řešení – úvahou:

  Protože se frekvence otáčení snižuje rovnoměrně, můžeme určit průměrnou frekvenci jako aritmetický průměr krajních hodnot. Frekvence klesla z počátečních 3000 otáček za minutu na nulu během dvou minut. Aritmetický průměr tedy je 1500 otáček za minutu.

  Můžeme si představit, že s touto průměrnou frekvencí se rotor otáčí po celé dvě minuty, tedy celkový počet vykonaných otáček je 3000.

   

  2. způsob řešení – graficky:

  Graf závislosti frekvence na čase:

  

  Počtu otáček odpovídá plocha pod křivkou:

  \[n\,=\,\frac{f_{0}T}{2}.\]

  Číselně:

  \[n\,=\, \frac{50{\cdot}120}{2}\,=\, 3000.\]

   

  3. způsob řešení – integrací:

  Frekvence otáčení se s časem mění podle vztahu:

  \[f\left(t\right)\,=\, f_{0} - kt,\]

  kde

  \[\{k\}\,=\,\frac{50}{120} = \frac{5}{12}\]

  (směrnice přímky v grafu z Nápovědy 2).

  Počet otáček rotoru od začátku brzdění do zastavení pak můžeme spočítat jako integrál funkce f(t) v daném časovém intervalu (obsah plochy pod křivkou):

  \[n\,=\,\int_{0}^{T}{f(t)}\mathrm{d}t\,=\, \int_{0}^{T}{(f_{0} - kt)}\mathrm{d}t,\] \[n\,=\,\left[f_{0}t - \frac{kt^{2}}{2}\right]_{0}^{T}\,=\, f_{0}T - k\frac{T^{2}}{2}.\]

  Číselně:

  \[n\,=\, 50{\cdot}120 \,-\, \frac{5}{12}\frac{120^{2}}{2}\,=\, 3000.\]

• Odpověď

  Počet otáček:

  \(n\,=\,\frac{f_{0}T}{2} = 3000\,.\)

  Rotor vykonal 3000 otáček.

• Podobná úloha

  Zkuste podobnou úlohu Otáčení kola.