Kolotoč a vzduchovka

Úloha číslo: 202

Na koníčkovém kolotoči je radiálně umístěna vzduchovka s ústím ve vzdálenosti 1 m od osy otáčení. Puška je namířena na střed terče upevněného na obvodu kolotoče o poloměru 5 m. Kolotoč se rovnoměrně otáčí, jednu otáčku udělá za 8 s. Rychlost střely vystřelené z pušky je 150 m·s−1. Terč je kruhový, poloměr terče je 5 cm.

Mine střela cíl (a případně o kolik)?

Odpověď zdůvodněte. Řešte z hlediska pozorovatele stojícího vedle kolotoče, odpor vzduchu zanedbejte.

  • Zápis

    R = 5 m poloměr kolotoče
    T = 8 s perioda otáčení kolotoče
    v = 150 m·s−1 rychlost střely
    rt = 5 cm = 0,05 m poloměr terče
    r = 1 m vzdálenost hlavně vzduchovky od osy otáčení
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, jaké složky rychlosti bude mít vystřelená střela vzhledem k pozorovateli stojícímu vedle kolotoče.

  • Nápověda 2

    Spočítejte dobu, za kterou dorazí střela na okraj kolotoče.

    O kolik se za tu dobu posune terč po okraji kolotoče?

    Zakřivení trajektorie terče můžete zanedbat.

  • Nápověda 3

    Vypočítejte velikost složky rychlosti střely, kterou získala díky otáčení vzduchovky.

    Vypočítejte vzdálenost, kterou sřela urazí ve směru této složky rychlosti za dobu, než doletí na okraj kolotoče.

  • Celkové řešení

    Úlohu budeme řešit v inerciálním systému spojeném se zemí. Střela bude mít složku rychlosti ve směru radiálním a složku rychlosti ve směru tečny ke kružnici o poloměru r (střela se v hlavni otáčela spolu s kolotočem).

    Potřebujeme zjistit, o kolik se terč pootočí, než se střela dostane na okraj kolotoče. K tomu musíme zjistit čas, během něhož střela letí od ústí pušky k terči:

    \[ t=\frac{R-r}{v}\,.\]

    Zároveň, protože se střela v pušce také pohybovala po kružnici, má střela složku rychlosti ve směru tečny ke kružnici. Velikost této složky je dána vztahem:

    \[v_{0} = \omega r = \frac{2\pi}{T} r\,.\]

    V okamžiku, kdy střela vylétla z hlavně pušky, přestala být spojena s kolotočem. Dále se tato složka její rychlosti nezvyšuje, neboť na střelu nepůsobí žádná síla, která by ji urychlovala v tomto směru.

    Za čas t, za který se střela dostane na okraj kolotoče, se terč posune o vzdálenost:

    \[x=\omega R t = \frac{2\pi}{T} R \frac{R-r}{v} = \frac{2\pi}{8}\,\cdot\, 5\, \cdot\, \frac{5-1}{150}\,\mathrm{m} \dot{=} 0{,}105\,\mathrm{m} =10{,}5\,\mathrm{cm}\,.\]

    Za tentýž čas urazí střela při pohybu po kružnici vzdálenost

    \[x^{,} = v_{0}t = \frac{2\pi}{T} rt = r\frac{2\pi}{T}\frac{R-r}{v} = 1\,\cdot\frac{2\pi}{8}\,\cdot\,\frac{5-1}{150}\,\mathrm{m} \dot{=} 0{,}021\,\mathrm{m} = 2{,}1\,\mathrm{cm}\,.\]

    Střela tedy mine střed terče o vzdálenost \(x-x^{,}\dot{=} 8{,}4\,\mathrm{cm}\, .\) Terč má poloměr 5 cm, takže střela mine jeho okraj o 3,4 cm.

  • Odpověď

    Střela mine okraj terče o 3,4 cm.

  • Komentář:

    Při řešení jsme uvažovali, že se terč během krátké doby, než střela doletí k okraji kolotoče, pohybuje po přímce. Ve skutečnosti terč opisuje kružnici. Podívejme se, jaké chyby jsme se při našem zanedbání dopustili:

    K určení chyby si zvolíme soustavu souřadnic (viz obrázek) a zkusíme si, o kolik se budou lišit jednotlivé souřadnice terče.

     
    Terč na kolotoči
     

    Pokud by se terč pohyboval po přímce kolmé k ose x, pak, za dobu než střela dorazí na okraj kolotoče, by měl souřadnice

    \[x=5\,\mathrm{m}\,,\] \[y=\omega Rt\dot{=}0{,}104719755\,\mathrm{m}\,.\]

    Pro souřadnice terče pohybujícího se po kružnici platí:

    \[x=Rcos\alpha=Rcos\left(\omega t\right)\dot{=}4{,}998903417\,\mathrm{m}\,,\] \[y=Rsin\alpha=Rsin\left(\omega t\right)\dot{=}0{,}104712099\,\mathrm{m}\,.\]

    Chyba určení souřadnice x je přibližně 0,02 % a chyba určení souřadnice y je přibližně 7 ‰.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze