Náraz střely na konec otočné tyče

Úloha číslo: 489

Dřevěná tyč délky 40 cm a hmotnosti 1 kg se může otáčet kolem osy kolmé na tyč a procházející jejím středem. Na konec tyče narazí střela o hmotnosti 10 g a rychlosti 200 m·s-1 ve směru kolmém na osu i na tyč. Určete úhlovou rychlost, kterou se tyč dá do pohybu, když v ní střela uvázne.

Poznámka: Předpokládáme, že střela se do tyče nejprve velmi rychle zaryje a pak se dá celá soustava do pohybu hledanou úhlovou rychlostí.

Náraz střely do tyče
  • Zápis

    d = 40 cm délka tyče
    M = 1 kg hmotnost tyče
    m = 10 g hmotnost střely
    v1 = 200 m·s−1 ryhlost střely
    ω = ? (s−1) ryhlost otáčení tyče
  • Teorie – vektorový součin

    Vektorovým součinem vektorů \(\vec{a}\times \vec{b}\) rozumíme operaci, která dané dvojici přiřadí vektor \(\vec{c}\), pro nějž bude platit:

    • \(\vec{c} = \vec{n} |\vec{a}||\vec{b}| sin \varphi\)
    • \(\vec{a}\vec{b}\vec{c}\) tvoří pravotočivou bázi

    \(\vec{n}\) je jednotkový vektor kolmý na \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\), φ je úhel, který vektory \(\vec{a}\) a \(\vec{b}\) svírají.

    Zda trojice vektorů \(\vec{a}\vec{b}\vec{c}\), kde \(\vec{c}\) je kolmý na dva zbylé, tvoří pravotočivou bázi, zjistíme podle pravidla pravé ruky. Pokud prsty pravé ruky ukazují směr nejkratší cesty, kterou by se na sebe přenesly \(\vec{a}\) a \(\vec{b}\), pak zdvižený palec ukazuje směr vektoru \(\vec{c}\). Není-li tato podmínka splněna, jedná se o bázi levotočivou.

    Specielně jsou tedy důležité případy:

    • φ = 0 (vektory jsou rovnoběžné) → \(\vec{a}\times \vec{b} = 0,\)
    • φ = π/2 nebo 3π/2 (vektory jsou kolmé) → \(\vec{a}\times \vec{b} = \vec{n} |\vec{a}||\vec{b}|,\)
    Pravotočivá soustava
    \[\vec{a}\times \vec{b} = \vec{c},\] \[\vec{b}\times \vec{a} = -\vec{c},\] \[\vec{c}\times \vec{a} = \vec{b},\] \[\vec{c}\times \vec{b} = -\vec{a}.\]

    A tak dále...

  • Nápověda 1

    Co musí platit pro soustavu tyč-střela těsně před a po nárazu střely do tyče? Nelze najít nějakou zachovávající se veličinu?

  • Nápověda 2

    Jak je definován moment hybnosti? Zapište jeho definici pro hmotný bod a také vztah, který můžete použít v případě tuhého tělesa otáčejícího se okolo pevné osy.

    Zapište i příslušné velikosti vektoru momentu hybnosti a uvědomte si, kam vektor míří.

  • Nápověda 3

    Zapište, čemu je roven moment hybnosti soustavy tyč-střela těsně před zásahem a těsně po zásahu. Zjistěte, jaký má směr, a napište i příslušné velikosti momentu hybnosti v obou situacích.

  • Nápověda 4

    K vyjádření hledané úhlové rychlosti využijte zákon zachování momentu hybnosti.

  • Celkové řešení

    Náraz střely do tyče

    Při řešení úlohy vyjdeme ze zákona zachování momentu hybnosti. Budeme zkoumat situaci (1) těsně před nárazem střely, tj. v momentě, od kterého bude mít trajektorie střely už tvar kružnice a situaci (2), těsně po nárazu střely, kdy už se střela dává do pohybu spolu s tyčí.

    Ze zákona zachování momentu hybnosti dostáváme:

    \[\vec{L}_1 = \vec{L}_2\,,\]

    kde

    \(\vec{L}_1\) ... celkový moment hybnosti soustavy tyč-střela těsně před nárazem střely,

    \(\vec{L}_2\) ... celkový moment hybnosti soustavy tyč-střela těsně po nárazu střely.

    Situace (1) - těsně před nárazem střely:

    Tyč je v této situaci v klidu, celkový moment hybnosti je tedy roven momentu hybnosti střely.

    Moment hybnosti střely vzhledem k ose otáčení je roven:

    \[\vec{L}_1 = \vec{r} \times \vec{p}\,.\]

    Vektor míří kolmo k obrazovce (papíru) a je orientován směrem před ni:

    Pro velikost platí:

    \[L_1 = rp\sin\varphi \,,\]

    kde φ je rovno 90° a r je rovno d/2.

    \[L_1 = pr = mvr = \frac{1}{2}mdv\tag{1}\]

    Situace (2) - těsně po nárazu střely:

    Střela je již zaryta do tyče a začíná se spolu s ní otáčet. Pro moment hybnosti můžeme psát:

    \[\vec{L}_2 = J\vec{\omega}\,,\]

    kde J je moment setrvačnosti tyče plus střely vzhledem k ose otáčení procházející středem tyče a \(\vec{\omega}\) hledaná úhlová rychlost otáčení.

    Pro velikost momentu hybnosti platí:

    \[L = J\omega\,.\]

    Směr vektoru momentu hybnosti je daný směrem vektoru úhlové rychlosti a míří kolmo k tyči stejně jako osa otáčení, orientován je směrem před obrazovku (papír), tedy stejně jako \(\vec{L}_1.\)

    Momenty setrvačnosti tenké tyče otáčející se kolem svého středu a moment setrvačnosti hmotného bodu otáčejícího se po kružnici o průměru d (jím nahradíme střelu) jsou:

    \[J_{tyc} = \frac{1}{12}Md^2\,,\] \[J_{strela} = \frac{1}{4}md^2\,.\]

    Odtud pro velikost momentu setrvačnosti ve druhé situaci:

    \[L_2 = \omega(J_{tyc} + J_{strela})\,,\] \[L_2= \omega d^2(\frac{1}{12}M + \frac{1}{4}m)\,.\tag{2}\]

    Ze zákona zachování momentu hybnosti dostáváme:

    \[\vec{L}_1 = \vec{L}_2\,.\]

    Rovnost platí i pro velikosti momentů hybnosti.

    \[L_1 = L_2\,.\]

    Dosadíme ze vztahů (1) a (2):

    \[\frac{1}{2}mdv = \omega d^2(\frac{1}{12}M + \frac{1}{4}m)\,.\]

    Odtud dostáváme:

    \[\omega = \frac{mv}{d(\frac{1}{6}M+\frac{1}{2}m)}\,,\]
    \[\omega = \frac{0{,}01 {\cdot} 200}{0{,}4 \cdot (\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{2} \cdot 0{,}01)} s^{-1} = 29{,}1 s^{-1}\,.\]
  • Odpověď

    Úhlovou rychlost tyče po nárazu střely spočteme ze vztahu:

    \[\omega = \frac{mv}{d(\frac{1}{6}M+\frac{1}{2}m)}\,.\]

    Číselný výsledek: ω = 29,1 s-1.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze