Plovoucí kužel

Úloha číslo: 1032

Rotační kužel s průměrem podstavy 20 cm a výškou 30 cm je vyroben z materiálu, který má hustotu 800 kg·m-3. Určete, do jaké výšky bude ponořen, plove-li ve vodě špičkou vzhůru.

Ilustrační obrázek k úloze
  • Zápis

    D = 20 cm = 0,20 m průměr podstavy kužele
    u = 30 cm = 0,30 m výška kužele
    ρT = 800 kg·m−3 hustota materiálu, ze kterého je kužel vyroben
    h = ? výška, do které je kužel ponořen
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si jaké síly na kužel plovající na vodě působí? Jaký je jejich směr a jaká jejich výslednice? (Uplatněte 1. Newtonův zákon.)

  • Nápověda 2 - určení tíhové síly

    Budete muset vypočítat velikost tíhové a vztlakové síly působící na kužel.

    Nejprve zkuste určit tíhovou sílu působící na kužel. Při dosazování do dobře známého vztahu pro její výpočet potřebujete znát hmotnost kužele - jaké veličiny vám k tomu poskytuje zadání? Využijte definiční vztah pro hustotu a připomeňte si, jak se počítá objem kužele.

  • Nápověda 3 - určení vztlakové síly

    Určete vztlakovou sílu působící na kužel. Kterou z potřebných veličin zatím stále neznáte?

  • Nápověda 4 - určení vztlakové síly

    Navrhněte způsob, jak vypočítat objem ponořené části kužele, možných postupů je víc. Jistě ale budete potřebovat znát průměr d podstavy takového kužele, který vznikne, když si z původního kužele odmyslíte ponořenou část. Nakreslete si řez původního kužele svislou rovinou a k určení průměru d si připomeňte podobnost trojúhelníků.

  • Nápověda 5

    Dosaďte do vztahu pro vztlakovou sílu a položte ji do rovnosti s tíhovou silou podle vztahu (1). Vyjádřete a číselně dopočítejte veličinu h.

  • Komentář

    Povšimněte si, že výška kužele, která je ponořená, nezávisí na rozměru podstavy kužele, ale pouze na jeho výšce.

  • Poznámka

    Objem ponořené části V0 jsme počítali jako rozdíl objemu celého kužele a vynořené části. Stejně tak by bylo možné jej určit jako objem komolého kužele s podstavami o průměrech Dd.

  • Celkové řešení

    Na kužel působí:

    • tíhová síla FG směrem svisle dolů,
    • vztlaková síla Fvz směrem svisle vzhůru.

    Protože kužel je vzhledem k pozorovateli v klidu, je podle 1. Newtonova zákona výslednice sil na něj působících nulová:

    \[\vec{F}_G\,+\,\vec{F}_{vz}\,=\,\vec{o}\,.\]

    Protože působící síly mají opačný směr, lze pro jejich velikosti psát:

    \[F_G\,-\,F_{vz}\,=\,0\,\Rightarrow\,F_G\,=\,F_{vz}\,.\tag{1}\]

    Tíhovou sílu spočítáme dle důvěrně známého vztahu:

    \[F_G\,=\,mg\,,\tag{2}\]

    kde g je tíhové zrychlení a m hmotnost kužele - tu ovšem neznáme. Zadána je ale hustota materiálu, ze kterého je kužel vyroben, a některé rozměry - vyjádříme tedy hmotnost z definičního vztahu pro hustotu:

    \[{\rho}_T\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,m\,=\,V{\rho}_T\,,\tag{3}\]

    kde ρT je hustota materiálu kužele a V jeho objem. Dosazením vztahu (3) do rovnice (2) dostáváme:

    \[F_G\,=\,V{\rho}_Tg\,.\tag{4}\]

    Také rovnice (4) obsahuje stále ještě veličinu, kterou neznáme - objem V rotačního kužele. Objem se určí jako jedna třetina ze součinu obsahu podstavy a výšky kužele, tedy v našem případě:

    \[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}(\frac{D}{2})^2u\,,\tag{5}\]

    kde Du jsou výše zadané rozměry kužele. Dosazením vztahu (5) do (4) dostáváme finální výraz pro tíhovou sílu:

    \[F_G\,=\,\frac{1}{12}{\pi}D^2u{\rho}_Tg\,.\tag{6}\]

    Také vztlakovou sílu vypočítáme podle známého vztahu:

    \[F_{vz}\,=\,V_0{\rho}g\,,\tag{7}\]

    kde V0 je objem ponořené části kužele, ρ hustota kapaliny (tj. v našem případě vody) a g tíhové zrychlení. První z těchto veličin zatím neznáme.

    Jednoduchý způsob, jak určit objem ponořené části kužele, je odečíst od celkového objemu kužele V objem jeho vynořené části:

    \[V_0\,=\,V\,-\,V'\,.\tag{8}\]

    Celkový objem V jsme již spočítali ve vztahu (5), nyní tedy potřebujeme určit objem vynořené části kužele . Tato část má opět tvar kužele a opět tedy pro její výpočet potřebujeme znát výšku (označme ji v) a obsah podstavy (označme jej Sp):

    \[V'\,=\,\frac{1}{3}S_pv\,.\tag{9}\]

    Pro snadnější určení těchto dvou veličin si nakreslíme celý kužel v řezu.

    Situace v řezu svislou rovinou

    Snadno odtud vidíme, že:

    \[v\,=\,u\,-\,h\,.\tag{10}\]

    Pro určení obsahu podstavy potřebujeme znát její průměr d (nebo poloměr d/2). Z obrázku je patrné, že trojúhelníky KLO a MNO jsou si podobné, tedy platí:

    \[\frac{D}{d}\,=\,\frac{u}{u-h}\,\Rightarrow\,d\,=\,\frac{D(u\,-\,h)}{u}\,.\tag{11}\]

    Nyní dosadíme ze vztahů (10) a (11) do vztahu (9):

    \[V'\,=\,\frac{1}{3}S_pv\,=\,\frac{1}{3}{\pi}(\frac{d}{2})^2v\,=\,\frac{1}{12}{\pi}(\frac{D(u\,-\,h)}{u})^2(u\,-\,h)\,.\tag{12}\]

    Konečně ze vztahů (12) a (5) dosadíme do vztahu (8) a získáme objem ponořené části kužele:

    \[V_0\,=\,\frac{1}{3}{\pi}(\frac{D}{2})^2u\,-\,\frac{1}{12}{\pi}(\frac{D(u\,-\,h)}{u})^2(u\,-\,h)\\\,=\,\frac{1}{12}{\pi}D^2(u\,-\frac{(u\,-\,h)^3}{u^2})\,.\tag{13}\]

    Dosazením (13) do vztahu (7) určíme vztlakovou sílu jako:

    \[F_{vz}\,=\,\frac{1}{12}{\pi}D^2(u\,-\,\frac{(u\,-\,h)^3}{u^2}){\rho}g\,.\tag{14}\]

    Dle (1) položíme nyní tíhovou sílu (vztah (6)) a vztlakovou sílu (vztah (14)) do rovnosti a vyjádříme h:

    \[F_G\,=\,F_{vz}\,,\] \[\frac{1}{12}{\pi}D^2u{\rho}_Tg\,=\,\frac{1}{12}{\pi}D^2(u\,-\,\frac{(u\,-\,h)^3}{u^2}){\rho}g\,,\] \[u{\rho}_T\,=\,(u\,-\,\frac{(u\,-\,h)^3}{u^2}){\rho}\,,\] \[u^3{\rho}_T\,=\,u^3{\rho}\,-\,(u\,-\,h)^3{\rho}\,,\] \[(u\,-\,h)^3\,=\,\frac{u^3({\rho}\,-\,{\rho}_T)}{\rho}\,,\] \[u\,-\,h\,=\,u\sqrt[3]{\frac{{\rho}\,-\,{\rho}_T}{\rho}}\,,\] \[h\,=\,u(1\,-\,\sqrt[3]{\frac{{\rho}\,-\,{\rho}_T}{\rho}})\,.\] Číselně: \[h\,=\,0{,}30{\cdot}(1\,-\,\sqrt[3]{\frac{1000\,-\,800}{1000}})\,\mathrm{m}\,\dot=\,12{,}5\,\mathrm{cm}\,.\]
  • Odpověď

    Výška ponořené části kužele bude přibližně 12,5 cm.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze