Vozík

Úloha číslo: 148

Malý vozík o hmotnosti m sjíždí bez smýkání po dráze zakončené válcovou plochou o poloměru r. Z jaké výšky h musí vozík sjíždět, aby projel celou kruhovou smyčku této válcové plochy? Moment setrvačnosti a valivý odpor koleček zanedbejte.

obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m hmotnost vozíku
    r poloměr válcové plochy
    h = ? výška, z níž musí vozík sjíždět, aby projel celou kruhovou smyčku válcové plochy
  • Rozbor

    Aby vozík projel celou dráhu, musí mít v nejvyšším bodě smyčky nenulovou rychlost. Nejprve zjistíme, jaká je minimální hodnota této rychlosti. K tomu využijeme 2. Newtonův zákon. Vozík sjíždí bez smýkání, takže k nalezení výšky pak použijeme zákon zachování mechanické energie.

  • Nápověda 1 - rychlost v nejvyšším bodě kruhové smyčky

    Zjistěte, jakou minimální rychlost musí mít vozík v nejvyšším bodě smyčky, aby ještě projel dráhu. Nakreslete si obrázek, vyznačte do něj síly působící na vozík a napište pro něj pohybovou rovnici. Jaká bude velikost působících sil v kritickém okamžiku, kdy vozík začne odpadat?

  • Nápověda 2 - zákon zachování mechanické energie

    Zvolte si hladinu nulové potenciální energie. Napište, jaká je mechanická energie vozíku v okamžiku, kdy ho vypouštíme (1), a v nejvyšším bodě smyčky (2).

  • Celkové řešení

    Aby vozík projel celou dráhu, musí mít v nejvyšším bodě smyčky nenulovou rychlost. Nejprve zjistíme, jaká je minimální hodnota této rychlosti. K tomu využijeme 2. Newtonův zákon. Vozík sjíždí bez smýkání, takže k nalezení výšky pak použijeme zákon zachování mechanické energie.

    Pohyb po kruhové smyčce

    V nejvyšším bodě působí na vozík tíhová síla \(\vec{F_G}\) a normálová síla \(\vec{N}\), kterou působí kruhová smyčka na vozík. Zrychlení vozíku \(\vec{a_d}\) směřuje dolů ke středu kruhové smyčky.

    \[\vec{N}+\vec{F_G}\,=\,m\vec{a_d}\]

    \(N\)…normálová síla, kterou kruhová smyčka působí na vozík

    \(F_G\)…tíhová síla působící na vozík

    \(a_d\)…normálové zrychlení vozíku

    Zvolíme souřadný systém podle obrázku a přepíšeme pohybovou rovnici skalárně:

    \[-N-F_G\,=\,-ma_d,\] \[N+mg\,=\,ma_d,\]

    \(m\)…hmotnost vozíku,

    \(g\)…tíhové zrychlení.

    V okamžiku, kdy vozík začne odpadat, přestane na něj smyčka tlačit a síla N bude nulová. Minimální rychlost, kterou musí vozík jet, aby se udržel na dráze a nespadl, dostaneme z podmínky, že N = 0 N.

    \[mg\,=\,ma_d\] \[mg\,=\,m\frac{v_1^2}{r}\]

    \(v_1\)…rychlost v nejvyšším bodě kruhové smyčky

    \(r\)…poloměr kruhové smyčky

    Odsud si vyjádříme rychlost v1:

    \[g\,=\,\frac{v_1^2}{r},\] \[v_1\,=\,\sqrt {gr}.\tag{1}\]

    K určení hledané výšky využijeme zákon zachování mechanické energie. Zvolíme hladinu nulové potenciální energie a napíšeme, jaká je celková mechanická energie vozíku v okamžiku, kdy ho vypouštíme (1) a v nejvyšším bodě smyčky (2).

    Celková situace
    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_{p1}\,=\,E_{p2}+E_{k2}\]

    \(E_{p1}\)…potenciální energie vozíku ve výšce h

    \(E_{p2}\)…potenciální energie vozíku v nejvyšším bodě smyčky

    \(E_{k2}\)…kinetická energie vozíku v nejvyšším bodě smyčky

    \[mgh \,=\, mg2r + \frac{1}{2}mv_1^2\]

    Za rychlost v1 dosadíme ze vztahu (1):

    \[mgh \,=\, mg2r + \frac{1}{2}mgr,\] \[h\,=\,\frac{5r}{2}.\]

    Odpověď: Výška, ze které musí vozík sjíždět, se rovná \(h\,=\,\frac{5r}{2}\).

  • Odpověď

    Výška, ze které musí vozík sjíždět, se rovná \(h\,=\,\frac{5r}{2}.\)

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze