Rozjíždějící se tramvaj

Úloha číslo: 193

Tramvaj se rozjíždí se stálým zrychlením 0,3 m·s−2. Za jakou dobu projede desátý metr své dráhy? Jaká je rychlost tramvaje na konci desátého metru dráhy?

  • Nápověda 1: Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

    Zkuste zjistit, jaký vztah platí pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu. Pak si z něj můžete vyjádřit, jak spočítáte čas.

  • Nápověda 2: Doba jízdy 9 m a 10 m

    Rozmyslete si, co znamená desátý metr dráhy.

    Za jak dlouho projede tramvaj desátý metr?

    Vyjádřete si, za jak dlouho dojede tramvaj na konec devátého metru a za jak dlouho na konec desátého metru.

  • Nápověda 3: Doba jízdy desátého metru

    Spočítejte čas, za který ujede tramvaj desátý metr, když znáte časy pro ujetí prvních devíti a deseti metrů.

  • Nápověda 4: Rychlost na konci desátého metru

    Jakou rychlost bude mít tramvaj na konci desátého metru? Nehodil by se k výpočtu čas zjištěný na konci desátého metru?

  • Celkové řešení:

    Desátým metrem je myšlena pouze vzdálenost mezi devátým a desátým metrem. Ne, celá vzdálenost.

    Nejjednoduším způsobem, jak určit čas projetí desátého metru je, že spočítáme rozdíl časů, za který tramvaj ujede deset metrů a devět metrů.

    Víme, že pohyb tramvaje je rovnoměrně zrychlený. Vzorec pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu je:

    \[s\,=\,\frac{1}{2}at^{2}\,.\]

    Kde s je vzdálenost, jakou tramvaj ujede, a je její zrychlení a t je doba jízdy.

    Když známe tento vzorec, tak si z něj můžeme vyjádřit čas:

    \[t\,=\,\sqrt{\frac{2s}{a}}\,.\tag{1}\]

    Zvolíme si označení pro vzdálenosti:

    s9 = 9 m,

    s10 = 10 m.

    Podobně si označíme časy potřebné pro ujetí těchto vzdáleností:

    t9 je čas, za který ujede tramvaj devět metrů,

    t10 je čas, za který ujede tramvaj deset metrů.

    Když máme vše označené, můžeme tyto časy vypočítat ze vzorce (1):

    \[t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}}\,,\] \[t_{10} \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,.\]

    Tramvaj ujede desátý metr za dobu, která vznikne rozdílem časů, kdy ujede deset metrů a devět metrů.

    \[\mathrm{\Delta} t \,=\, t_{10} \,-\, t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,-\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}},\] \[\mathrm{\Delta} t \,=\, \sqrt{\frac{2{\cdot}10}{0{,}3}}\,\mathrm{s}\,\,-\, \sqrt{\frac{2{\cdot}9}{0{,}3}}\,\mathrm{s}\,\dot=\,0{,}42\,\mathrm{s}.\]

    Pro zjištění rychlosti na konci desátého metru použijeme již zjištěné údaje z předchozích nápověd. Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

    \[v\,=\,at_{10}\,=\,a\sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\, = \,\sqrt{2s_{10}a}, \] \[v\,= \,\sqrt{2{\cdot}10\cdot0{,}3}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,\dot {=}\,2{,}4\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]
  • Výsledek

    Desáný metr své dráhy projede tramvaj za čas

    \[\mathrm{\Delta} t \,=\, t_{10} - t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,-\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}}\,\dot=\,0{,}42\,\mathrm{s}\,.\]

    Na konci desátého metru dráhy má tramvaj rychlost

    \[v\,= \,\sqrt{2s_{10}a}\,\dot=\, 2{,}4\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze