Skrýš pro oříšek

Úloha číslo: 1215

Poblíž stromu, na kterém bydlí veverka, se nachází tunel, který prochází středem Země. Veverka se rozhodla, že do něj schová oříšek o hmotnosti \(m\).

Obrázek k 
 zadání

a) Jaký pohyb bude oříšek konat, když ho veverka pustí do tunelu? Napište jeho pohybovou rovnici.
b) Jakou rychlostí proletí oříšek středem Země?
c) Vrátí se oříšek k veverce? Pokud ano, jak dlouho mu to bude trvat?

Poznámka: Předpokládejte, že v tunelu je vzduchoprázdno, že Země je homogenní koule a zanedbejte rotaci Země.

  • Nápověda a1)

    S využitím Newtonova gravitačního zákona vyjádřete gravitační sílu, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země.

  • Nápověda a2)

    Dle rovnice (5) určete, jaký pohyb bude oříšek konat.

  • Nápověda a3)

    Znáte výslednou sílu působící na oříšek. Napište pro něj druhý Newtonův zákon.

  • Nápověda a4)

    Řešte diferenciální rovnici (7). Najděte její charakteristický polynom a fundamentální systém. Promyslete si, jaké byly počáteční podmínky a zjistěte čemu se rovná \(r\) .

  • Nápověda a5)

    Jaký fyzikální význam má výraz \(\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) ve vztahu (13)?

  • Nápověda b)

    Znáte vztah pro závislost polohového vektoru oříšku na čase. Určete s jeho pomocí závislost rychlosti oříšku na čase.

    Poté zjistěte, jakou dobu bude oříšku trvat, než se dostane do středu Země a jaká rychlost odpovídá této době. Dopočítejte číselné řešení.

  • Nápověda c)

    Oříšek koná harmonický pohyb, proto se vrátí. Čas, který mu to zabere, odpovídá jedné periodě \(T\). Dopočítejte ji číselně.

  • Celkové řešení

    a) Pohyb a pohybová rovnice oříšku

     

    Formulujeme Newtonův gravitační zákon pro gravitační sílu, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země.

    Nakreslíme si obrázek Země s oříškem, kde \(R\) je poloměr Země, \(r\) je vzdálenost oříšku od středu Země, \(m\) je hmotnost oříšku a \(M_{r}\) je hmotnost části Země, která leží uvnitř koule o poloměru \(r\).

    Země s oříškem

    Na oříšek působí síla, která je vyvolána částí Země o hmotnosti \(M_{r}\), výsledné silové působení zbylé části Země je nulové.

    Napíšeme si vztah pro \(M_{r}\): \[M_{r}=\rho V_{r},\tag{1}\] kde \(\rho\) je předpokládaná hustota homogenní Země a \(V_{r}\) je objem, který je ohraničen přerušovanou čarou v obrázku Země s oříškem. Pro objem \(V_{r}\) platí vztah: \[V_{r}=\frac{4\pi r^3}{3}.\tag{2}\] Do vztahu (1) dosadíme (2): \[M_{r}=\rho \frac{4\pi r^3}{3}.\tag{3}\]

    Gravitační síla, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země, bude vypadat následovně: \[F=-\kappa \frac{mM_{r}}{r^2},\tag{4}\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta. Do vztahu (4) dosadíme (3): \[F=-\kappa \frac{m\rho \frac{4\pi r^3}{3}}{r^2}.\] Vykrátíme \(r^2\) a zlomek upravíme: \[F=-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}.\tag{5}\]

    Pohyb oříšku

    Ve vztahu (5) označíme konstanty písmenem \(k=\kappa \frac{m\rho 4\pi }{3}\): \[F=-kr.\] Vzniklý vztah se podobá vztahu pro sílu pružnosti v Hookově zákoně. Oříšek se chová jako harmonický oscilátor a koná harmonický pohyb.

    Druhý Newtonův zákon

    Známe výslednou sílu působící na oříšek. Napíšeme pro něj druhý Newtonův zákon: \[F=ma,\] kde \(a\) je zrychlení oříšku.

    Zrychlení vyjádříme jako druhou derivaci vzdálenosti oříšku od středu Země \(r\) podle času \(t\): \[F=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\tag{6}\]

    Dosadíme ze vztahu (5): \[-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(m\) a levou stranu vynásobíme jedničkou ve tvaru \(\frac{R^3}{R^3}\): \[-\kappa \frac{\rho 4\pi r}{3}\frac{R^3}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] \(\frac{\rho 4\pi}{3}{R^3}\) je hmotnost Země \(M\) a tedy: \[-\kappa \frac{Mr}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Převedeme oba členy rovnice na jednu stranu: \[ \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\kappa M}{R^3}r=0.\tag{7}\]

    Řešení diferenciální rovnice (7)

    Určíme charakteristický polynom rovnice (7): \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0.\] Chceme najít jeho kořeny, proto ho položíme roven nule: \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0=0.\] Uvědomíme si, že \(\lambda^0=1\) a od obou stran rovnice odečteme člen \(\frac{\kappa M}{R^3}1\): \[ \lambda^2=-1\frac{\kappa M}{R^3}.\] Abychom mohli obě strany rovnice odmocnit, tak \(-1\) na pravé straně nahradíme druhou mocninou imaginární jednotky \(i^2\): \[ \lambda^2=i^2\frac{\kappa M}{R^3}.\] Obě strany rovnice odmocníme: \[ \lambda = ± i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\] Kořeny charakteristického polynomu jsou \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) a \(-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\).

    Fundamentální systém je tedy \(e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\) a \(e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\).

    Řešení rovnice (7) hledáme ve tvaru: \[r=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{8}\]

    Pro určení konstant \(A\) a \(B\) se podíváme na počáteční podmínky.

    Ve chvíli, kdy veverka pustila oříšek do tunelu byl čas roven nule \(t=0\), vzdálenost oříšku od středu Země byla rovna poloměru Země \(r=R\) a rychlost oříšku byla nulová \(v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\).

    Do vztahu (8) dosadíme \(t=0\) a \(r=R\): \[R=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}.\] A protože \(e^0=1\): \[R=A+B.\tag{9}\]

    Zderivujeme rovnici (8) podle času: \[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Dosadíme \(t=0\) a \(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\): \[0=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^0-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^0.\] \(e^0\) nahradíme \(1\) a obě strany rovnice vydělíme \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\): \[0=A-B.\] K oběma stranám rovnice přičteme \(B\): \[A=B.\tag{10}\] Dosadíme vztah (10) do (9): \[R=B+B=2B.\] Obě strany rovnice vydělíme dvěma a vyjádříme \(B\): \[B=\frac{R}{2}.\] Dle (10) tedy platí: \[A=B=\frac{R}{2}.\tag{11}\] Dosadíme (11) do (8): \[r=\frac{R}{2}e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{12}\]

    Dále platí \(e^{iα}=\cos{α}+i\sin{α}\) a \(e^{-iα}=\cos{α}-i\sin{α}\). Rovnici (12) pak můžeme přepsat jako: \[r=\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Posčítáme siny a cosiny: \[r=R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{13}\]

    Fyzikální význam výrazu \(\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) ve vztahu (13)

    Jelikož oříšek koná harmonický pohyb, tak se jedná o úhlovou frekvenci \( ω\): \[ω=\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\tag{14}\] Vztah (13) pak můžeme přepsat jako: \[r=R\cos{ωt}.\]

     

    b) Rychlost oříšku ve středu Země

     

    Závislost rychlosti oříšku na čase zjistíme derivací polohového vektoru.

    Derivujeme (13): \[\begin{eqnarray}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} &= &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\right)\\ v &= &-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\\ \end{eqnarray}\]

    Oříšku bude trvat \(\frac{1}{4}\) jeho periody \(T\) než se dostane do středu Země: \[t=\frac{1}{4}T.\] Pro periodu platí vztah \(T=\frac{2 \pi}{ω}\) do kterého za \(ω\) dosadíme dle vztahu (14): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\tag{15}\] Pro dobu \(t\) bude platit: \[t=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\]

    Dosadíme dobu \(t\) do vztahu pro rychlost a vztah upravíme (\({\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=1\), \(sin{\frac{\pi}{2}}=1\), \(\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}\)): \[v=-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=-\sqrt{\frac{\kappa MR^2}{R^3}}sin{\frac{\pi}{2}}=-\sqrt{\frac{\kappa M}{R}}. \]

    Velikost rychlosti oříšku při průchodu středem Země je tedy rovna:

    \[v = \sqrt{\frac{\kappa M}{R}}\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(M\) a \(\kappa\).

    Poloměr Země     \(R \dot= 6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
    Hmotnost Země     \(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
    Gravitační konstanta     \(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}}\)

    Dopočítáme velikost rychlosti číselně: \[v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}}{6 378\cdot{10}^3} \mathrm{\frac{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}\cdot kg}{m}}} \dot= 7 900 \mathrm{\frac{m}{s}} \dot= 28 440\mathrm{\frac{km}{h}}\]

     

    c) Návrat oříšku

     

    Oříšek koná harmonický pohyb, proto se vrátí. Čas, který mu to zabere, odpovídá jedné periodě \(T\).

    Využijeme vztahu pro periodu (15): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(\kappa\), \(M\) a \(\pi\):

    Poloměr Země     \(R \dot= 6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
    Gravitační konstanta     \(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\)
    Hmotnost Země     \(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
    Ludolfovo číslo     \(\pi \dot= 3{,}14\)
    Oříšek se k veverce vrátí za dobu: \[T=2 {\cdot}3{,}14 \sqrt{\frac{\left(6378{\cdot} 10^3\right) ^3}{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}}\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\mathrm{kg}}} \dot= 5069 \mathrm{s} \dot= 84 \mathrm{min}\] \[T  \dot= 1 \mathrm{h} 24 \mathrm{min}\]

  • Odpověď

    a)  Oříšek bude konat harmonický pohyb. Jeho pohybová rovnice je \( \frac{d^2r}{dt^2}+\frac{\kappa M}{R^3}r=0\). Přičemž \(r=R\cos{ωt}\), kde \(ω=\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\).

    b)  Rychlost oříšku při průletu středem Země je rovna \(v=-\sqrt{\frac{\kappa M}{R}} \) a číselná velikost rychlosti je \(v \dot= 28 440 \mathrm{\frac {km}{h}}. \)

    c)  Oříšek se vrátí k veverce za dobu \(T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}\), tedy přibližně za jednu hodinu a dvacet čtyři minut.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Upraveno podle: Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika, vysokoškolská
učebnice obecné fyziky - Část 2. Mechanika; 
Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Upraveno podle: Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika, vysokoškolská učebnice obecné fyziky - Část 2. Mechanika;
Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze