Sbírka řešených úloh

Skrýš pro oříšek

Úloha číslo: 1215

Poblíž stromu, na kterém bydlí veverka, se nachází tunel, který prochází středem Země. Veverka se rozhodla, že do něj schová oříšek o hmotnosti \(m\).

a) Jaký pohyb bude oříšek konat, když ho veverka pustí do tunelu? Napište jeho pohybovou rovnici.

b) Jakou rychlostí proletí oříšek středem Země?

c) Vrátí se oříšek k veverce? Pokud ano, jak dlouho mu to bude trvat?

Poznámka: Předpokládejte, že v tunelu je vzduchoprázdno a Země je homogenní koule. Zanedbejte rotaci Země.

• Nápověda a₁)

  S využitím Newtonova gravitačního zákona vyjádřete gravitační sílu, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země.

• Řešení nápovědy a₁)

  Nakreslíme si obrázek Země s oříškem, kde \(R\) je poloměr Země, \(r\) je vzdálenost oříšku od středu Země, \(m\) je hmotnost oříšku a \(M_\mathrm{r}\) je hmotnost části Země, která leží uvnitř koule o poloměru \(r\).

  

  Na oříšek působí gravitační síla, která je vyvolána částí Země o hmotnosti \(M_\mathrm{r}\). Výsledné silové působení zbylé části Země je nulové (viz úloha Intenzita gravitačního pole Země).

  Napíšeme si vztah pro \(M_\mathrm{r}\): \[M_\mathrm{r}=\rho V_\mathrm{r},\tag{1}\] kde \(\rho\) je předpokládaná hustota homogenní Země a \(V_\mathrm{r}\) je objem, který je ohraničen přerušovanou čarou v obrázku Země s oříškem. Pro objem \(V_\mathrm{r}\) platí vztah: \[V_\mathrm{r}=\frac{4\pi r^3}{3}.\tag{2}\] Do vztahu (1) dosadíme (2): \[M_\mathrm{r}=\rho \frac{4\pi r^3}{3}.\tag{3}\]

  Gravitační síla, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země, bude vypadat následovně: \[F=-\kappa \frac{mM_\mathrm{r}}{r^2},\tag{4}\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta. Do vztahu (4) dosadíme (3): \[F=-\kappa \frac{m\rho \frac{4\pi r^3}{3}}{r^2}.\] Vykrátíme \(r^2\) a zlomek upravíme: \[F=-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}.\tag{5}\]

• Nápověda a₂)

  Dle rovnice (5) určete, jaký pohyb bude oříšek konat.

• Řešení nápovědy a₂)

  Ve vztahu (5) označíme konstanty písmenem \(k=\kappa \frac{m\rho 4\pi }{3}\): \[F=-kr.\] Tento vztah se podobá vztahu pro sílu pružnosti v Hookově zákoně (případ deformace v tahu/tlaku). Oříšek se chová jako harmonický oscilátor a koná harmonický pohyb.

• Nápověda a₃)

  Znáte výslednou sílu působící na oříšek. Napište pro něj druhý Newtonův zákon.

• Řešení nápovědy a₃)

  Vyjádříme druhý Newtonův zákon pro sílu působící na oříšek: \[F=ma,\] kde \(a\) je zrychlení oříšku.

  Zrychlení vyjádříme jako druhou derivaci vzdálenosti oříšku od středu Země \(r\) podle času \(t\): \[F=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\tag{6}\]

  Dosadíme ze vztahu (5): \[-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(m\) a levou stranu vynásobíme jedničkou ve tvaru \(\frac{R^3}{R^3}\): \[-\kappa \frac{\rho 4\pi r}{3}\frac{R^3}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] \(\frac{\rho 4\pi}{3}{R^3}\) je hmotnost Země \(M\) a tedy: \[-\kappa \frac{Mr}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Převedeme oba členy rovnice na jednu stranu: \[ \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\kappa M}{R^3}r=0.\tag{7}\]

• Nápověda a₄)

  Řešte diferenciální rovnici (7). Najděte její charakteristický polynom a fundamentální systém. Promyslete si, jaké byly počáteční podmínky, a zjistěte, čemu se rovná \(r\).

• Řešení nápovědy a₄)

  Určíme charakteristický polynom rovnice (7): \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0.\] Chceme najít jeho kořeny, proto ho položíme roven nule: \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0=0.\] Uvědomíme si, že \(\lambda^0=1\), a od obou stran rovnice odečteme člen \(\frac{\kappa M}{R^3}1\): \[ \lambda^2=-1\frac{\kappa M}{R^3}.\] Abychom mohli obě strany rovnice odmocnit, tak \(-1\) na pravé straně nahradíme druhou mocninou imaginární jednotky \(i^2\): \[ \lambda^2=i^2\frac{\kappa M}{R^3}.\] Obě strany rovnice odmocníme: \[ \lambda = ± i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\] Kořeny charakteristického polynomu jsou \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) a \(-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\).

  Fundamentální systém je tedy \(e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\) a \(e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\).

  Řešení rovnice (7) hledáme ve tvaru: \[r=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{8}\]

  Pro určení konstant \(A\) a \(B\) se podíváme na počáteční podmínky.

  Ve chvíli, kdy veverka pustila oříšek do tunelu, byl čas roven nule \(t=0\), vzdálenost oříšku od středu Země byla rovna poloměru Země \(r=R\) a rychlost oříšku byla nulová \(v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\).

  Do vztahu (8) dosadíme \(t=0\) a \(r=R\): \[R=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}.\] A protože \(e^0=1\): \[R=A+B.\tag{9}\]

  Zderivujeme rovnici (8) podle času: \[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Dosadíme \(t=0\) a \(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\): \[0=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^0-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^0.\] \(e^0\) nahradíme \(1\) a obě strany rovnice vydělíme \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\): \[0=A-B.\] K oběma stranám rovnice přičteme \(B\): \[A=B.\tag{10}\] Dosadíme vztah (10) do (9): \[R=B+B=2B.\] Obě strany rovnice vydělíme dvěma a vyjádříme \(B\): \[B=\frac{R}{2}.\] Dle (10) tedy platí: \[A=B=\frac{R}{2}.\tag{11}\] Dosadíme (11) do (8): \[r=\frac{R}{2}e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{12}\]

  Dále platí \(e^{iα}=\cos{α}+i\sin{α}\) a \(e^{-iα}=\cos{α}-i\sin{α}\). Rovnici (12) pak můžeme přepsat jako: \[r=\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Posčítáme siny a cosiny: \[r=R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{13}\]

• Nápověda a₅)

  Jaký fyzikální význam má výraz \(\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) ve vztahu (13)?

• Řešení nápovědy a₅)

  Jelikož oříšek koná harmonický pohyb, tak se jedná o úhlovou frekvenci \( ω\): \[ω=\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\tag{14}\] Vztah (13) pak můžeme přepsat jako: \[r=R\cos{ωt}.\]

• Nápověda b)

  Znáte vztah pro závislost polohového vektoru oříšku na čase. Určete s jeho pomocí závislost rychlosti oříšku na čase.

  Poté zjistěte, jakou dobu bude oříšku trvat, než se dostane do středu Země, a jaká rychlost odpovídá této době. Dopočítejte číselné řešení.

• Řešení nápovědy b)

  Závislost rychlosti oříšku na čase zjistíme derivací polohového vektoru.

  Derivujeme (13): \[\begin{eqnarray}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} &= &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\right)\\ v &= &-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\\ \end{eqnarray}\]

  Oříšku bude trvat \(\frac{1}{4}\) jeho periody \(T\), než se dostane do středu Země: \[t=\frac{1}{4}T.\] Pro periodu platí vztah \(T=\frac{2 \pi}{ω}\), do kterého za \(ω\) dosadíme dle vztahu (14): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\tag{15}\] Pro dobu \(t\) bude platit: \[t=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\]

  Dosadíme dobu \(t\) do vztahu pro rychlost a vztah upravíme (\({\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=1\), \(\sin{\frac{\pi}{2}}=1\), \(\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}\)): \[v=-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=-\sqrt{\frac{\kappa MR^2}{R^3}}\sin{\frac{\pi}{2}}=-\sqrt{\frac{\kappa M}{R}}. \] Velikost rychlosti oříšku při průchodu středem Země je tedy rovna: \[v = \sqrt{\frac{\kappa M}{R}}.\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(M\) a \(\kappa\).

  Poloměr Země			\(R \dot =6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
  Hmotnost Země			\(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
  Gravitační konstanta			\(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}}\)

  Dopočítáme velikost rychlosti číselně: \[v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}}{6 378\cdot{10}^3} \mathrm{\frac{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}\cdot kg}{m}}} \dot= 7 900 \mathrm{\frac{m}{s}} \dot= 28 440 \mathrm{\frac{km}{h}}\]

• Nápověda c)

  Oříšek koná harmonický pohyb, proto se vrátí. Čas, který mu to zabere, odpovídá jedné periodě \(T\). Dopočítejte ji číselně.

• Řešení nápovědy c)

  Využijeme vztahu pro periodu (15): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(\kappa\), \(M\) a \(\pi\):

  Poloměr Země			\(R \dot= 6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
  Gravitační konstanta			\(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\)
  Hmotnost Země			\(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
  Ludolfovo číslo			\(\pi \dot= 3{,}14\)

  Oříšek se k veverce vrátí za dobu: \[T=2 {\cdot}3{,}14 \sqrt{\frac{\left(6378{\cdot} 10^3\right) ^3}{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}} \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\mathrm{kg}}} \dot= 5069 \mathrm{s} \dot= 84 \mathrm{min}\] \[T  \dot= 1 \mathrm{h} 24 \mathrm{min}\]

• Celkové řešení

  a) Pohyb a pohybová rovnice oříšku

   

  Formulujeme Newtonův gravitační zákon pro gravitační sílu, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země.

  Nakreslíme si obrázek Země s oříškem, kde \(R\) je poloměr Země, \(r\) je vzdálenost oříšku od středu Země, \(m\) je hmotnost oříšku a \(M_\mathrm{r}\) je hmotnost části Země, která leží uvnitř koule o poloměru \(r\).

  

  Na oříšek působí síla, která je vyvolána částí Země o hmotnosti \(M_\mathrm{r}\). Výsledné silové působení zbylé části Země je nulové.

  Napíšeme si vztah pro \(M_\mathrm{r}\): \[M_\mathrm{r}=\rho V_\mathrm{r},\tag{1}\] kde \(\rho\) je předpokládaná hustota homogenní Země a \(V_\mathrm{r}\) je objem, který je ohraničen přerušovanou čarou v obrázku Země s oříškem. Pro objem \(V_\mathrm{r}\) platí vztah: \[V_\mathrm{r}=\frac{4\pi r^3}{3}.\tag{2}\] Do vztahu (1) dosadíme (2): \[M_\mathrm{r}=\rho \frac{4\pi r^3}{3}.\tag{3}\]

  Gravitační síla, která působí na oříšek ve vzdálenosti \(r\) od středu Země, bude vypadat následovně: \[F=-\kappa \frac{mM_\mathrm{r}}{r^2},\tag{4}\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta. Do vztahu (4) dosadíme (3): \[F=-\kappa \frac{m\rho \frac{4\pi r^3}{3}}{r^2}.\] Vykrátíme \(r^2\) a zlomek upravíme: \[F=-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}.\tag{5}\]

  Pohyb oříšku

  Ve vztahu (5) označíme konstanty písmenem \(k=\kappa \frac{m\rho 4\pi }{3}\): \[F=-kr.\] Vzniklý vztah se podobá vztahu pro sílu pružnosti v Hookově zákoně. Oříšek se chová jako harmonický oscilátor a koná harmonický pohyb.

  Druhý Newtonův zákon

  Známe výslednou sílu působící na oříšek. Napíšeme pro něj druhý Newtonův zákon: \[F=ma,\] kde \(a\) je zrychlení oříšku.

  Zrychlení vyjádříme jako druhou derivaci vzdálenosti oříšku od středu Země \(r\) podle času \(t\): \[F=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\tag{6}\]

  Dosadíme ze vztahu (5): \[-\kappa \frac{m\rho 4\pi r}{3}=m \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(m\) a levou stranu vynásobíme jedničkou ve tvaru \(\frac{R^3}{R^3}\): \[-\kappa \frac{\rho 4\pi r}{3}\frac{R^3}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] \(\frac{\rho 4\pi}{3}{R^3}\) je hmotnost Země \(M\) a tedy: \[-\kappa \frac{Mr}{R^3}= \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}.\] Převedeme oba členy rovnice na jednu stranu: \[ \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\kappa M}{R^3}r=0.\tag{7}\]

  Řešení diferenciální rovnice (7)

  Určíme charakteristický polynom rovnice (7): \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0.\] Chceme najít jeho kořeny, proto ho položíme roven nule: \[ \lambda^2+\frac{\kappa M}{R^3}\lambda^0=0.\] Uvědomíme si, že \(\lambda^0=1\), a od obou stran rovnice odečteme člen \(\frac{\kappa M}{R^3}1\): \[ \lambda^2=-1\frac{\kappa M}{R^3}.\] Abychom mohli obě strany rovnice odmocnit, tak \(-1\) na pravé straně nahradíme druhou mocninou imaginární jednotky \(i^2\): \[ \lambda^2=i^2\frac{\kappa M}{R^3}.\] Obě strany rovnice odmocníme: \[ \lambda = ± i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\] Kořeny charakteristického polynomu jsou \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) a \(-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\).

  Fundamentální systém je tedy \(e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\) a \(e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\).

  Řešení rovnice (7) hledáme ve tvaru: \[r=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{8}\]

  Pro určení konstant \(A\) a \(B\) se podíváme na počáteční podmínky.

  Ve chvíli, kdy veverka pustila oříšek do tunelu, byl čas roven nule \(t=0\), vzdálenost oříšku od středu Země byla rovna poloměru Země \(r=R\) a rychlost oříšku byla nulová \(v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\).

  Do vztahu (8) dosadíme \(t=0\) a \(r=R\): \[R=Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}+Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}0}.\] A protože \(e^0=1\): \[R=A+B.\tag{9}\]

  Zderivujeme rovnici (8) podle času: \[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Dosadíme \(t=0\) a \(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=0\): \[0=i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Ae^0-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}Be^0.\] \(e^0\) nahradíme \(1\) a obě strany rovnice vydělíme \(i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\): \[0=A-B.\] K oběma stranám rovnice přičteme \(B\): \[A=B.\tag{10}\] Dosadíme vztah (10) do (9): \[R=B+B=2B.\] Obě strany rovnice vydělíme dvěma a vyjádříme \(B\): \[B=\frac{R}{2}.\] Dle (10) tedy platí: \[A=B=\frac{R}{2}.\tag{11}\] Dosadíme (11) do (8): \[r=\frac{R}{2}e^{i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}e^{-i\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{12}\]

  Dále platí \(e^{iα}=\cos{α}+i\sin{α}\) a \(e^{-iα}=\cos{α}-i\sin{α}\). Rovnici (12) pak můžeme přepsat jako: \[r=\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}+\frac{R}{2}\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}-i\frac{R}{2}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\] Posčítáme siny a cosiny: \[r=R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\tag{13}\]

  Fyzikální význam výrazu \(\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\) ve vztahu (13)

  Jelikož oříšek koná harmonický pohyb, tak se jedná o úhlovou frekvenci \( ω\): \[ω=\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}.\tag{14}\] Vztah (13) pak můžeme přepsat jako: \[r=R\cos{ωt}.\]

   

  b) Rychlost oříšku ve středu Země

   

  Závislost rychlosti oříšku na čase zjistíme derivací polohového vektoru.

  Derivujeme (13): \[\begin{eqnarray}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} &= &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(R\cos{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}\right)\\ v &= &-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}t}.\\ \end{eqnarray}\]

  Oříšku bude trvat \(\frac{1}{4}\) jeho periody \(T\), než se dostane do středu Země: \[t=\frac{1}{4}T.\] Pro periodu platí vztah \(T=\frac{2 \pi}{ω}\), do kterého za \(ω\) dosadíme dle vztahu (14): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\tag{15}\] Pro dobu \(t\) bude platit: \[t=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\]

  Dosadíme dobu \(t\) do vztahu pro rychlost a vztah upravíme (\({\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=1\), \(sin{\frac{\pi}{2}}=1\), \(\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}\)): \[v=-R\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}sin{\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}}=-\sqrt{\frac{\kappa MR^2}{R^3}}sin{\frac{\pi}{2}}=-\sqrt{\frac{\kappa M}{R}}. \]

  Velikost rychlosti oříšku při průchodu středem Země je tedy rovna:

  \[v = \sqrt{\frac{\kappa M}{R}}.\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(M\) a \(\kappa\).

  Poloměr Země			\(R \dot= 6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
  Hmotnost Země			\(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
  Gravitační konstanta			\(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}}\)

  Dopočítáme velikost rychlosti číselně: \[v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}}{6 378\cdot{10}^3} \mathrm{\frac{\frac{m^3}{kg\cdot s^{2}}\cdot kg}{m}}} \dot= 7 900 \mathrm{\frac{m}{s}} \dot= 28 440\mathrm{\frac{km}{h}}.\]

   

  c) Návrat oříšku

   

  Oříšek koná harmonický pohyb, proto se vrátí. Čas, který mu to zabere, odpovídá jedné periodě \(T\).

  Využijeme vztahu pro periodu (15): \[T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}.\] V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(R\), \(\kappa\), \(M\) a \(\pi\):

  Poloměr Země			\(R \dot= 6 378\cdot{10}^3 \mathrm{m}\)
  Gravitační konstanta			\(\kappa \dot= 6{,}67\cdot{10}^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\)
  Hmotnost Země			\(M \dot= 5{,}97\cdot{10}^{24} \mathrm{kg}\)
  Ludolfovo číslo			\(\pi \dot= 3{,}14\)

  Oříšek se k veverce vrátí za dobu: \[T=2 {\cdot}3{,}14 \sqrt{\frac{\left(6378{\cdot} 10^3\right) ^3}{6{,}67\cdot{10}^{-11}\cdot 5{,}97\cdot{10}^{24}}\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}\mathrm{kg}}} \dot= 5069 \mathrm{s} \dot= 84 \mathrm{min}\] \[T  \dot= 1 \mathrm{h} 24 \mathrm{min}\]

• Odpověď

  a)  Oříšek bude konat harmonický pohyb. Jeho pohybová rovnice je \( \frac{d^2r}{dt^2}+\frac{\kappa M}{R^3}r=0\). Přičemž \(r=R\cos{ωt}\), kde \(ω=\sqrt{\frac{\kappa M}{R^3}}\).

  b)  Rychlost oříšku při průletu středem Země je rovna \(v=-\sqrt{\frac{\kappa M}{R}} \) a číselná velikost rychlosti je \(v \dot= 28 440 \mathrm{\frac {km}{h}}. \)

  c)  Oříšek se vrátí k veverce za dobu \(T=2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{\kappa M}}\), tedy přibližně za jednu hodinu a dvacet čtyři minut.