Sbírka řešených úloh

Srážka puků na ledě

Úloha číslo: 1239

Na ledě leží dva hokejové puky spojené nehmotným vláknem délky $2l$.

Na soustavu začne působit konstantní síla $\vec{F}$, která je kolmá na spojnici puků a jejím působištěm je střed vlákna.

• Jaká část mechanické energie se v okamžiku srážky puků přemění v energii vnitřní?

Předpokládejte, že se puky na ledě pohybují bez tření. Jejich srážku považujte za dokonale nepružnou.

• Rozbor

  Uvědomme si, že puky jsou identické a jejich vzdálenost $l$ vůči působišti síly je stejná. Soustava je tedy symetrická vzhledem k vektorové přímce síly $\vec F$. Můžeme tak v dalších výpočtech řešit pohyb pouze jednoho puku a výsledek pak rozšířit na puky oba.

  Na oba puky působí tažná síla $\vec F$ prostřednictvím vlákna, které chápeme pouze jako prostředníka této síly (nedeformuje se). Puky se začnou po zapojení síly pohybovat zrychleným pohybem, jak ve směru vektoru $\vec{F}$, tak v linii jejich spojnice. Po určité době dojde k jejich srážce, jak plyne ze symetrie problému – na vektorové přímce síly $\vec F$.

  Protože uvažujeme, že srážka puků je dokonale nepružná, přemění se během ní kinetická energie odpovídající jejich rychlostem ve směru rázu těsně před srážkou na vnitřní energii dotčených těles. Po srážce k sobě zůstanou puky „přilepené“ a jejich pohyb bude pokračovat pouze ve směru síly $\vec F$.

  Kinetická energie puků příslušící rychlostem ve směru vektoru síly $\vec{F}$ se se srážkou nezmění a dále poroste díky stálému urychlování tažnou sílou.

  Puky byly na začátku v klidu. Nějaká síla je tedy musela urychlit. Pachateli jsou síly, kterými jsou puky prostřednictvím vlákna taženy. Pohybu ve směru spojnice puků přísluší složka síly v tomto směru, jejíž velikost však závisí na úhlu, který v daný moment vlákna svírají. Budeme-li znát průběh této síly, můžeme v tomto směru získanou a posléze ztracenou kinetickou energii vypočítat jako práci, kterou musela tato (proměnná) síla vykonat při přemístění puků ze vzdálenosti $l$ do středu jejich spojnice.

• Nápověda 1 – hledání velikosti tahových sil

  Nakreslete si obrázek zachycující situaci několik okamžiků po začátku působení síly $\vec F$. Pomocí vektorového rovnoběžníku rozložte sílu $\vec F$ do směrů vláken.

  Dokážete nalézt závislost velikosti tažných sil na velikosti úhlu $\vartheta$, který v daném okamžiku svírají vlákna s osou symetrie?

• Nápověda 1 – řešení

  Obrázek vpravo zachycuje situaci soustavy v nějakém čase mezi uvedením do pohybu a srážkou.

  

  Sílu $\vec{F}$ jsme rozložili do směrů vláken pomocí vektorového rovnoběžníku na síly $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$, tj.

  $$\vec{F} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2.$$

  Než se pustíme do hledání závislosti velikosti tahových sil na velikosti úhlu, který vlákna svírají s osou symetrie, prozkoumejme následující geometrickou vlastnost.

  Ze symetrie, která je dána tím, že síla $\vec F$ působí uprostřed vlákna kolmo na spojnici obou puků, vychází skutečnost, že vektorový rovnoběžník je kosodelníkem a pro velikosti tahových sil platí

  $$|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2| = T.$$

  Je tedy zřejmé, že postačí řešit úlohu pro jeden puk a v konečném výsledku zohlednit puky oba.

  Nyní přejdeme k hledání závislosti velikosti tahové síly $T$ na velikosti úhlu, který budeme značit $\vartheta$ a je vyznačen v následujícím obrázku.

  

  Protože je vektorový rovnoběžník kosodelníkem (jeho úhlopříčky se půlí), platí

  $$\cos \vartheta = \frac{|\vec{F}|/2}{T} = \frac{F}{2T}.$$

  Závislost velikosti tažných sil $T$ na úhlu $\vartheta$ vyjádříme z předchozí rovnice vztahem

  $$T = \frac{F}{2\cos\vartheta}. \tag{1}$$

  

  
  

  Na vlákna, která plní funkci tuhé vazby, působí síly $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$. Síly, kterými jsou taženy puky, jsou představovány stejnými vektory $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$. Pro usnadnění další úvahy si tyto vektory se zachováním orientace rovnoběžně posuneme tak, aby jejich působiště ležela ve středech puků (viz obr. vpravo).
  
  

  Na základě geometrických vlastností má úhel vyznačený v obrázku stejnou velikost $\vartheta$ jako uvažovaný úhel v rovnici (1). Při dalších rozkladech sil do význačných směrů budeme této skutečnosti využívat.

• Nápověda 2 – zavedení Oxy, rozklad tažné síly

  Vhodně zaveďte soustavu souřadnic a určete složky vektoru tažné síly (např. $\vec{T}_2$).

  Která složka síly $\vec{T}_2$ je zodpovědná za urychlování soustavy ve směru $\vec F$? Která složka síly $\vec{T}_2$ způsobuje urychlování v linii spojnice puků?

  Vyjádřete složku vektoru $\vec{T}_2$ ve směru osy $y$.

• Nápověda 2 – řešení

  Zavedeme soustavu souřadnic $\mathrm{Oxy}$ tak, že osa $x$ leží v ose symetrie a je orientovaná ve směru vektoru $\vec F$ a osa $y$ míří kolmo vzhůru. Počátek ztotožníme s průsečíkem spojnice puků a osy symetrie.

  

  Sílu $\vec{T}_2$ jsme rozložili do složek ve směru osy $x$ (vektor $\vec{T}_\mathrm{x}$) a osy $y$ (vektor $\vec{T}_\mathrm{y}$).

  • Síla $\vec{T}_\mathrm{x}$ puk urychluje ve směru osy $x$.
  • Síla $\vec{T}_\mathrm{y}$ puk urychluje ve směru osy $y$.

  Velikost obou složek síly $\vec{T}_2$, a tedy i okamžitá zrychlení v obou směrech závisí na velikosti úhlu $\vartheta$.

  Pro velikosti $T_2$ a $T_\mathrm{y}$ platí

  $$\sin \vartheta = \frac{T_\mathrm{y}}{T_2} = \frac{T_\mathrm{y}}{T}.$$

  Pro složku vektoru $\vec{T}_2$ ve směru osy $y$ pak lze s pomocí předchozí rovnice psát

  $$T_\mathrm{y} = -T\sin\vartheta.$$ Dosazením vztahu (1) za T získáme: $$T_\mathrm{y} = -\frac{F}{2\cos\vartheta}\sin\vartheta = -\frac{1}{2}F\,\mathrm{tg}\, \vartheta.\tag{2}$$

• Nápověda 3 – výpočet „ztracené“ energie

  Při dokonale nepružné srážce se zachovává hybnost soustavy. Zkoumejte hybnost soustavy před a po srážce.

  Vypočítejte kinetickou energii příslušící pohybu puku ve směru osy $y$ v okamžiku těsně před srážkou.

  Jak velká energie se při srážce přemění v energii vnitřní?

• Řešení nápovědy 3

  Oba puky mají stejnou hmotnost a y-ové souřadnice jejich rychlostí jsou až na znaménko díky symetrii stejné. Ze zákona zachování hybnosti plyne, že hybnost, a tedy i rychlost dvojice puků je po srážce ve směru osy $y$ nulová.

  Rychlost puků ve směru osy $x$ srážka neovlivní, neboť ráz probíhá ve směru kolmém na tuto osu. Rychlost v tomto směru bude dále růst (se zrychlením $a = \frac{F}{2m}$).

  Kinetická energie příslušící pohybu puku ve směru osy $y$ v okamžiku těsně před srážkou se rovná vykonané práci y-ové složky tahové síly na přemístění puku z bodu $[0;l]$ do počátku $[0;0]$. Neboť velikost síly $T_\mathrm{y}$ není konstantní, závisí na úhlu $\vartheta$ vztahem (2) a k jejímu výpočtu užijeme integrálního počtu:

  $$E_\mathrm{k(y)} = W_{\mathrm{l\to 0}} = \int_l^0 T_\mathrm{y}(\vartheta)\,dy = \int_l^0 -\frac12 F \,\mathrm{tg}\, \vartheta \,dy.$$ Protože platí $y = l\sin \vartheta$ (a diferenciál $\mathrm{d}y = l\cos\vartheta \,\mathrm{d}\vartheta$), lze substituovat a integrál dopočítat (nezapomeneme přepočítat meze): $$\int_l^0 -\frac12 F \,\mathrm{tg}\, \vartheta \,dy = -\frac12 Fl \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin \vartheta \,d\vartheta = -\frac12 Fl\, \left[-\cos\vartheta\right]_{\pi/2}^0 = \frac12 Fl.$$

  Mechanická energie, která se při srážce obou puků přemění v energii vnitřní, se rovná dvojnásobku energie $E_\mathrm{k(y)}$, tj.

  $$E' = 2E_\mathrm{k(y)} = Fl.$$

• Celkové řešení

  Obrázek vpravo zachycuje situaci soustavy v nějakém čase mezi uvedením do pohybu a srážkou.

  

  Sílu $\vec{F}$ jsme rozložili do směrů vláken pomocí vektorového rovnoběžníku na síly $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$, tj.

  $$\vec{F} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2.$$

  Než se pustíme do hledání závislosti velikosti tahových sil na velikosti úhlu, který vlákna svírají s osou symetrie, prozkoumejme následující geometrickou vlastnost.

  Ze symetrie, která je dána tím, že síla $\vec F$ působí uprostřed vlákna kolmo na spojnici obou puků, vychází skutečnost, že vektorový rovnoběžník je kosodelníkem a pro velikosti tahových sil platí

  $$|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2| = T.$$

  Je tedy zřejmé, že postačí řešit úlohu pro jeden puk a v konečném výsledku zohlednit puky oba.

   

  Nyní přejdeme k hledání závislosti velikosti tahové síly $T$ na velikosti úhlu, který budeme značit $\vartheta$ a je vyznačen v následujícím obrázku.

  

  Protože je vektorový rovnoběžník kosodelníkem (jeho úhlopříčky se půlí), platí

  $$\cos \vartheta = \frac{|\vec{F}|/2}{T} = \frac{F}{2T}.$$

  Závislost velikosti tažných sil $T$ na úhlu $\vartheta$ vyjádříme z předchozí rovnice vztahem

  $$T = \frac{F}{2\cos\vartheta}. \tag{1}$$

  

  
  

  Na vlákna, která plní funkci tuhé vazby, působí síly $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$. Síly, kterými jsou taženy puky, jsou představovány stejnými vektory $\vec{T}_1$ a $\vec{T}_2$. Pro usnadnění další úvahy si tyto vektory se zachováním orientace rovnoběžně posuneme tak, aby jejich působiště ležela ve středech puků (viz obr. vpravo).
  
  

  Na základě geometrických vlastností má úhel vyznačený v obrázku stejnou velikost $\vartheta$ jako uvažovaný úhel v rovnici (1). Při dalších rozkladech sil do význačných směrů budeme této skutečnosti využívat.
  
  
  
  

  Zavedeme soustavu souřadnic $\mathrm{Oxy}$ tak, že osa $x$ leží v ose symetrie a je orientovaná ve směru vektoru $\vec F$ a osa $y$ míří kolmo vzhůru. Počátek ztotožníme s průsečíkem spojnice puků a osy symetrie.

  

  Sílu $\vec{T}_2$ jsme rozložili do složek ve směru osy $x$ (vektor $\vec{T}_\mathrm{x}$) a osy $y$ (vektor $\vec{T}_\mathrm{y}$).

  • Síla $\vec{T}_\mathrm{x}$ puk urychluje ve směru osy $x$.
  • Síla $\vec{T}_\mathrm{y}$ puk urychluje ve směru osy $y$.

  Velikost obou složek síly $\vec{T}_2$, a tedy i okamžitá zrychlení v obou směrech závisí na velikosti úhlu $\vartheta$.

  Pro velikosti $T_2$ a $T_\mathrm{y}$ platí

  $$\sin \vartheta = \frac{T_\mathrm{y}}{T_2} = \frac{T_\mathrm{y}}{T}.$$

  Pro složku vektoru $\vec{T}_2$ ve směru osy $y$ pak lze s pomocí předchozí rovnice psát

  $$T_\mathrm{y} = -T\sin\vartheta.$$ Dosazením vztahu (1) za T získáme $$T_\mathrm{y} = -\frac{F}{2\cos\vartheta}\sin\vartheta = -\frac{1}{2}F\,\mathrm{tg}\, \vartheta.\tag{2}$$  

  Při dokonale nepružné srážce se zachovává hybnost soustavy. Budeme zkoumat hybnost soutavy před a po srážce a vypočítáme kinetickou energii příslušící pohybu puku ve směru osy $y$ v okamžiku těsně před srážkou.

  Oba puky mají stejnou hmotnost a y-ové souřadnice jejich rychlostí jsou až na znaménko díky symetrii stejné. Ze zákona zachování hybnosti plyne, že hybnost, a tedy i rychlost dvojice puků je po srážce ve směru osy $y$ nulová.

  Rychlost puků ve směru osy $x$ srážka neovlivní, neboť ráz probíhá ve směru kolmém na tuto osu. Rychlost v tomto směru bude dále růst (se zrychlením $a = \frac{F}{2m}$).

  Kinetická energie příslušící pohybu puku ve směru osy $y$ v okamžiku těsně před srážkou se rovná vykonané práci y-ové složky tahové síly na přemístění puku z bodu $[0;l]$ do počátku $[0;0]$. Neboť velikost síly $T_\mathrm{y}$ není konstantní, závisí na úhlu $\vartheta$ vztahem (2) a k jejímu výpočtu užijeme integrálního počtu.

  $$E_\mathrm{k(y)} = W_{\mathrm{l\to 0}} = \int_l^0 T_\mathrm{y}(\vartheta)\,dy = \int_l^0 -\frac12 F \,\mathrm{tg}\, \vartheta \,dy.$$ Protože platí $y = l\sin \vartheta$ (a diferenciál $\mathrm{d}y = l\cos\vartheta \,\mathrm{d}\vartheta$), lze substituovat a integrál dopočítat (nezapomeneme přepočítat meze): $$\int_l^0 -\frac12 F \,\mathrm{tg}\, \vartheta \,dy = -\frac12 Fl \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin \vartheta \,d\vartheta = -\frac12 Fl\, \left[-\cos\vartheta\right]_{\pi/2}^0 = \frac12 Fl.$$

  Mechanická energie, která se při srážce obou puků přemění v energii vnitřní, se rovná dvojnásobku energie $E_\mathrm{k(y)}$, tj.

  $$E' = 2E_\mathrm{k(y)} = Fl.$$

• Komentář: Úlohu lze řešit i bez užití integrálního počtu

  Kromě uspořádání, které jsme dosud řešili (systém A), uvažujme uspořádání B (systém B), kdy se začne působit silou $\vec F$ na již „sražené“ puky.

  V myšlenkovém pokusu necháme oba systémy A i B pohybovat se ve směru osy $x$ tak, že v čase přiložení síly $\vec F$ všechny puky leží na ose $y$.

• Řešení bez užití integrálního počtu

  Uvažujme tedy systémy A a B dle obrázku. V prvotním okamžiku jsou oba systémy v klidu a všechny puky leží na ose $y$. Najednou začne působit síla $\vec F$.

  

  Sledujme nyní, jak se budou puky pohybovat ve směru osy $x$. Na každý z puků v tomto směru po celou dobu působí síla konstantní velikosti $T_\mathrm{x} = \frac{{F}}{2}$. Všechny puky se tedy pohybují se stejným zrychlením. Neboť jsou počáteční rychlosti i polohy puků stejné (nulové), jsou stejné i časové závislosti jejich x-ových souřadnic $x(t)$.

  Nechť srážka puků systému A nastane ve vzdálenosti $d$ od osy $y$. Zkoumejme, jakou celkovou kinetickou energii mají oba systémy bezprostředně před srážkou a jakou práci musela síla $F$ vykonat.

  Systém A: $$E^{(A)} = {E^{(A)}_\mathrm{x}} + E^{(A)}_\mathrm{y}$$ $$W^{(A)} = F(d+l)$$ Systém B: $$E^{(B)} = {E^{(B)}_\mathrm{x}}$$ $$W^{(B)} = Fd$$

  Neboť jsou počáteční kinetické energie obou systému nulové, je vykonaná práce rovna získané kinetické energii.

  Systém A: $$\begin{eqnarray} W^{(A)} &=& E^{(A)}\\ F(d+l) &=& {E^{(A)}_\mathrm{x}} + E^{(A)}_\mathrm{y} \tag{3} \end{eqnarray}$$ Systém B: $$\begin{eqnarray} W^{(B)} &=& E^{(B)}\\ Fd &=& {E^{(B)}_\mathrm{x}}\tag{4} \end{eqnarray}$$

  Neboť jsou časové průběhy x-ové souřadnice $x(t)$ pro všechny puky stejné, musí být stejné i časové průběhy jejich x-ových složek rychlostí $v_\mathrm{x}(t)$ a konečně i kinetické energie těmto rychlostem odpovídající, tj.

  $${E^{(A)}_\mathrm{x}} = {E^{(B)}_\mathrm{x}}.\tag{5}$$ Z rovnic (3), (4) a (5) pro energii $E^{(A)}_\mathrm{y}$plyne $$E^{(A)}_\mathrm{y} = F(d+l) - Fd = Fl.$$ Tato energie odpovídá velikosti energie, která se při srážce přemění v energii vnitřní, tj. $$E' = E^{(A)}_\mathrm{y} = Fl.$$

• Odpověď

  Při dokonale nepružné srážce puků se ve vnitřní energii přemění kinetické energie puků příslušící složkám rychlostí ve směru rázu o velikosti $E' = Fl$.