Moment setrvačnosti tyče

Úloha číslo: 516

Určete momenty setrvačností:

A. Tenké homogenní tyče hmotnosti m a délky L s osou otáčení procházející:

  • a) středem tyče,
  • b) koncem tyče,
  • c) bodem v jedné čtvrtině délky tyče.

B. Tenké tyče délky L s osou otáčení v polovině délky, jejíž délková hustota se lineárně mění podle vztahu: λ = λ0 + ax, kde λ je délková hustota, λ0 a a jsou konstanty o příslušných jednotkách a x je vzdálenost od osy otáčení.

  • Opakování teorie a rozbor úlohy

    Moment setrvačnosti J tuhého tělesa je tenzor popisující vlastnosti tělesa vyplývající z rozložení hmoty vzhledem k ose otáčení.

    Bude-li těleso pravidelné, umístěné ve vhodné soustavě souřadnic a bude-li osa otáčení shodná s jednou z os soustavy, pak se můžeme na J dívat jako na skalár – de facto analogii hmotnosti pro případ rotace.

    Nejtypičtější užití (uvažujeme-li pouze skalární vlastnosti):

    Kinetická energie rotujícího tělesa: \( E_k = \frac{1}{2}J\omega^2\,.\)

    Moment hybnosti rotujícího tělesa: \( \vec{L} = J\vec{\omega}\,.\)

    Moment setrvačnosti hmotného bodu hmotnosti m a ve vzdálenosti r od osy otáčení je:

    \[J_{hb} = mr^2\,.\]

    Zobecnění pro soustavu N hmotných bodů provedeme snadno:

    \[J_{shb} = \sum^{N}_{i=1} m_ir_i^2\,.\]

    Budeme-li se dívat na tuhé těleso jako na soustavu nekonečně malých hmotných bodů, pak nás tento pohled přivede k definici momentu servačnosti tuhého tělesa:

    \[J_{tt} = \int r^2dm\,.\]

    Integrovat přes „kousky hmotnosti“ ovšem není příliš praktické. Častěji se tedy setkáme se vzorcem ve tvaru:

    \[J_{tt} = \int_{V} \rho r^2 dV\,,\]

    kde ρ je hustota tělesa a V jeho objem.

  • Nápověda 1 A

    Z rozboru úlohy vyplývá, že nejjednodušší bude počítat moment setrvačnosti jako integrál:

    \[J = \int_{V} \rho r^2 dV\,.\]

    Šel by tento vztah nějakým způsobem zjednodušit, když budeme uvažovat, že tyč je nekonečně tenká – má pouze jeden rozměr a víme, že je homogenní?

  • Nápověda 2A

    Nakreslete si obrázky pro jednotlivé případy umístění osy otáčení. Uvědomte si, jaké budou meze jednotlivých integrálů (odkud kam budeme přes elementíky sčítat).

  • Řešení nápovědy 2A

    Tyč s osou otáčení v polovině své délky


    Situace

    Budeme používat intergrál ve tvaru (2), jeho meze budou od \(-\frac {L}{2}\) do \(\frac {L}{2}\):

    \[J = \lambda \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} x^2 dx = \lambda \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} = \frac{\lambda}{3}[\frac{L^3}{8} -(- \frac{L^3}{8})] =\] \[= \lambda \frac{L^3}{12} = \frac{m}{L}\frac {L^3}{12} = \frac{1}{12}mL^2\,.\]

    (Je praktičtější si hustotu zpět vhodně převést na hmotnost.)


    Tyč upevněná k ose otáčení na svém konci.


    Situace

    Postupujeme analogicky:

    \[J = \lambda \int_{0}^{L} x^2 dx = \lambda [\frac{1}{3}x^3]^{L}_{0} = \lambda \frac {L^3}{3} =\frac{m}{L}\frac {L^3}{3} = \frac{1}{3}mL^2\,.\]

    Osa otáčení prochází tyčí kolmo v jedné čtvrtině její délky.


    Situace

    \[J = \lambda \int_{-\frac{1}{4}L}^{\frac{3}{4}L} x^2 dx = \lambda [\frac{1}{3}x^3]_{-\frac{1}{4}L}^{\frac{3}{4}L} =\] \[ = \lambda (\frac{27}{192}L^3+\frac{1}{192}L^3) = \frac{7}{48}\lambda L^3 = \frac{7}{48}\frac{m}{L}L^3 =\frac{7}{48}m L^2\,.\]

    Je zjevné, že kdybychom zvolili integrální meze druhým možným způsobem (tj. přisoudili bychom záporné znaménko třem čtvrtinám a kladné jedné polovině délky tyče) integrál vyjde stejně.

  • Nápověda 3B

    Zamyslete se, jak by šlo upravit integrál z předchozího případu. Co je nutné změnit a co naopak zůstane stejné?

  • Celkové řešení

    A.

    Vyjdeme ze vztahu pro moment setrvačnosti:

    \[J = \int_{V} \rho r^2 dV\,.\]

    Vztah postupně zjednodušíme s ohledem na to, že tyč je nekonečně tenká – má pouze jeden rozměr a víme, že je homogenní.

    Tyč budeme brát jako jednorozměrný objekt. Integrál přes objem s využítím objemové hustoty se nám tak zjednodušší na integrál jednorozměrný s délkovou hustotou λ zavedenou vztahem:

    \[ \lambda = \frac{m}{L}\,,\]

    kde L je celková délka tyče.

    Vztah pro výpočet momentu setrvačnosti bude tedy ve tvaru:

    \[J = \int\lambda x^2 dx\,.\tag{1}\]

    (Můžeme si představit, že tyč rozsekáme na malé elementíky délky dx a posčítáme jejich momenty setrvačnosti.)

    Délková hustota λ je konstantní, můžeme ji vytknout před integrál:

    \[J = \lambda \int x^2 dx\,.\tag{2}\]

    Tyč s osou otáčení v polovině své délky


    Situace

    Budeme používat intergrál ve tvaru (2), jeho meze budou od \(-\frac {L}{2}\) do \(\frac {L}{2}\):

    \[J = \lambda \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} x^2 dx = \lambda \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} = \frac{\lambda}{3}[\frac{L^3}{8} -(- \frac{L^3}{8})] =\] \[= \lambda \frac{L^3}{12} = \frac{m}{L}\frac {L^3}{12} = \frac{1}{12}mL^2\,.\]

    (Je praktičtější si hustotu zpět vhodně převést na hmotnost.)


    Tyč upevněná k ose otáčení na svém konci.


    Situace

    Postupujeme analogicky:

    \[J = \lambda \int_{0}^{L} x^2 dx = \lambda [\frac{1}{3}x^3]^{L}_{0} = \lambda \frac {L^3}{3} =\frac{m}{L}\frac {L^3}{3} = \frac{1}{3}mL^2\,.\]

    Osa otáčení prochází tyčí kolmo v jedné čtvrtině její délky.


    Situace

    \[J = \lambda \int_{-\frac{1}{4}L}^{\frac{3}{4}L} x^2 dx = \lambda [\frac{1}{3}x^3]_{-\frac{1}{4}L}^{\frac{3}{4}L} =\] \[ = \lambda (\frac{27}{192}L^3+\frac{1}{192}L^3) = \frac{7}{48}\lambda L^3 = \frac{7}{48}\frac{m}{L}L^3 =\frac{7}{48}m L^2\,.\]

    Je zjevné, že kdybychom zvolili integrální meze druhým možným způsobem (tj. přisoudili bychom záporné znaménko třem čtvrtinám a kladné jedné polovině délky tyče) integrál vyjde stejně.

    B.

    Stejně jako v předchozím případě zjednodušíme integrál na jednorozměrný (vztah (1)) a dosadíme meze. Hustota však již není konstatntní, je potřeba za ní dosadit podle zadání.

    \[J = \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} \lambda x^2 dx = \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} (\lambda_{0} + ax) x^2 dx = \int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} (\lambda_{0}x^2 + a x^3)dx =\] \[= \lambda_{0} \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} + a \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L}= \frac{1}{12}\lambda_0 L^3 + \frac{1}{32}aL^4\,.\]
  • Odpověď

    Moment setrvačnosti tenké homogenní tyče hmotnosti m a délky L s osou otáčení procházející kolmo...

    • ...v polovině tyče je: \(J = \frac{1}{12}mL^2,\)

    • ...jedním koncem tyče je:\(J = \frac{1}{3}mL^2,\)

    • ...v jedné čtvrtině tyče je: \(J = \frac{7}{48}mL^2.\)

    Moment setrvačnosti tyče délky L, jejíž hustota se lineárně mění (viz zadání) je: \[J = \frac{1}{12}\lambda_0 L^3 + \frac{1}{32}aL^4\,.\]

  • Rychlá kontrola

    Srovnejte tvar všech výsledků a udělejte jednotkovou zkoušku. Je jasné, že dokud do hry nevstoupí proměnlivá hustota tělesa nebo jiná osa než kolmá jde prakticky jen o určení multiplikativní konstanty před výrazem mL2.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze