Pohyb loďky

Úloha číslo: 106

Z místa A plave proti proudu řeky loďka do místa B a odtud zpět do místa A. Rychlost loďky vzhledem k vodě je v obou případech stejná, a to 4 km·h−1, rychlost proudu je 1,6 km·h−1. Určete poměr doby, za kterou vykoná loďka dráhu z místa A do místa B a zpět, a doby , kterou by loďka potřebovala na vykonání této dráhy po jezeře.

  • Zápis

    v = 4 km·h−1 rychlost loďky vzhledem k vodě
    r = 1,6 km·h−1 rychlost proudu
    t doba, za kterou loďka ujede dráhu z A do B a zpět
    t´ doba, za kterou loďka ujede stejnou dráhu po jezeře
    \(\frac{t}{t^,}\,=\,\mathrm{?}\)
  • Nápověda 1: Rychlost loďky, která pluje z A do B

    Nakreslete si obrázek pro plavbu proti proudu a vyznačte do něj rychlost loďky a rychlost proudu.

    Jaká je rychlost loďky vzhledem ke břehu, pluje-li proti proudu? Bude větší nebo menší než kdyby plula loďka po klidné vodě? O kolik? Za jaký čas urazí loďka touto rychlostí vzdálenost AB?

  • Nápověda 2: Rychlost loďky, která pluje z B do A

    Nakreslete si obrázek pro plavbu po proudu a vyznačte do něj rychlost loďky a rychlost proudu.

    Jaká bude rychlost loďky vzhledem ke břehu, pluje-li po proudu? Za jaký čas urazí loďka touto rychlostí vzdálenost BA? Jaký je celkový čas plavby?

  • Nápověda 3: Poměr časů

    Čas, za který urazí loďka vzdálenost 2AB na klidné vodě rychlostí v jistě snadno určíte, stejně jako hledaný poměr časů.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Předpokládejme, že vzdálenost AB se rovná km.

    Obr.1(proti proudu):

    Pohyb loďky proti proudu

    Rychlost loďky proti proudu vzhledem k břehu je daná rozdílem rychlosti loďky vzhledem k proudu a rychlosti proudu (obr.1), tedy:

    \[v_1\,=\,v-r\,.\]

    Obr.2(po proudu):

    Pohyb loďky po proudu

    Rychlost loďky po proudu vzhledem k břehu je daná součtem obou dvou rychlostí (obr.2):

    \[v_2\,=\,v+r\,.\]

    Loďka urazí dráhu s proti proudu za čas:

    \[t_1\,=\,\frac{s}{v_1}\,=\,\frac{s}{v-r}\,.\]

    a po proudu za čas:

    \[t_2\,=\,\frac{s}{v_2}\,=\,\frac{s}{v+r}\,.\]

    Loďka se dostane z místa A do místa B a zpět za čas t :

    \[t\,=\,t_1+t_2\,=\,\frac{s}{v-r}+\frac{s}{v+r}\,=\,s\,\left(\frac{1}{v-r}+\frac{1}{v+r}\right)\,=\,\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s\,.\]

    Na jezeře by loďka přeplula tuto vzdálenost rychlostí v za čas t´:

    \[t^{,}\,=\,\frac{s}{v}+\frac{s}{v}\,=\,\frac{2}{v}s\,.\]

    Určíme podíl t/t´:

    \[\frac{t}{t^{,}}\,=\,\frac{\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s}{\frac{2}{v}\,s}\,=\,\frac{v^{2}}{v^{2}-r^{2}}\,=\,\frac{1}{1-\frac{r^{2}}{v^{2}}}\,.\]

    Číselně:

    \[\frac{t}{t^{,}}\,=\,\frac{4^{2}}{4^{2}-1{,}6^{2}}\,=\,\frac{16}{13{,}44}\,\dot=\,1{,}19\,.\]
  • Odpověď

    Poměr doby t, za kterou loďka urazí dráhu z místa A do místa B a zpět na řece, a doby , kterou by loďka potřebovala na proplutí této dráhy po jezeře je:

    \[\frac{t}{t^{,}}\,=\,\frac{\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s}{\frac{2}{v}\,s}\,=\,\frac{v^{2}}{v^{2}-r^{2}}\,=\,\frac{1}{1-\frac{r^{2}}{v^{2}}}\,.\]

    Číselně:

    \[\frac{t}{t^{,}}\,=\,\frac{4^{2}}{4^{2}-1{,}6^{2}}\,=\,\frac{16}{13{,}44}\,\dot=\,1{,}19\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze