Červ na tělesové úhlopříčce

Úloha číslo: 187

Červ se prokousává konstantní rychlostí v po tělesové úhlopříčce kvádru o hranách a, b, c. V čase t = 0 byl červ v horním vrcholu C' a směřoval k vrcholu A, který zvolte za počátek soustavy souřadnic. Popište průběh polohy červa (tj. závislost souřadnic červa na čase).

  • Nápověda 1

    Nakreslete si obrázek, který situaci popisuje. Víte, že pohyb červa je rovnoměrný přímočarý. Pokuste se vyjádřit průběh x-ové, y-ové a z-ové souřadnice na čase.
  • Nápověda 2

    Pro rovnoměrný přímočarý pohyb je závislost souřadnic na čase dána vztahy: x = x0 + vxt, y = y0 + vyt, z = z0 + vzt. Které veličiny potřebujeme v těchto vztazích určit?

  • Nápověda 3

    Určení konstant x0, y0z0:

    Konstanty x0, y0z0 vyjadřují souřadnice x, y, z na počátku pohybu, kdy je červ v bodě C'. Jaké zde má souřadnice?

  • Nápověda 4

    Určení složek rychlosti vx, vyvz:

    Vektor rychlosti míří ve směru úhlopříčky kvádru, znáte jeho velikost - to je v. Není možné určit složky rychlosti pomocí této velikosti a geometrických úvah (tedy z obrázku)?

    Znáte délky stran abc. Jaký je poměr délek těchto stran vůči délce tělesové úhlopříčky l? A jaký je poměr složek rychlostí vxvyvz vůči velikosti celkové rychlosti v?

    Nelze do výpočtu zapojit například goniometrické funkce?

  • Komentář - alternativní řešení

    Možný alternativní přístup:

    Jinou možností odvození je vyjít z:

    a) podmínek pro polohu červa v čase t = 0,

    b) podmínek pro polohu červa na konci pohybu.

    V čase t = 0 je dán jeho polohový vektor: r = (xyz)  = (abc), na konci je jeho poloha (0, 0, 0).

    Z obecných vztahů pro rovnoměrný pohyb: x = x0 + vxt (pro y a z podobně) lze pak určit hodnoty konstant x0, y0, z0, vx, vy, vz.

  • Celkové řešení

    Nakreslíme obrázek situace:

    Obrázek k řešeníúlohy

    Máme zadány délky a, b, c hran kvádru, délka jeho tělesové úhlopříčky je:

    \[l\,=\,\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\,.\]

    Na počátku (v čase t = 0) byl červ v bodě C', pro jeho souřadnice tedy platilo:

    \[x(0)\,\equiv\,x_{0}\,=\,a\,,\] \[y(0)\,\equiv\,y_{0}\,=\,b\,,\] \[z(0)\,\equiv\,z_{0}\,=\,c\,.\]

    Červ se pohybuje rovnoměrně přímočaře. To znamená, že jeho souřadnice x, y, z závisí na čase t podle vztahů:

    \[x\,=\,x_{0}+v_{x}t\,,\] \[y\,=\,y_{0}+v_{y}t\,,\] \[z\,=\,z_{0}+v_{z}t\,.\]

    Hodnoty x0, y0, z0 už známe, zbývá tedy určit složky rychlosti: vx, vy, vz do směrů os x, y, z.

    Odvození složek rychlosti vycházející z geometrické představy:

    Složka rychlosti ve směru osy z bude mít velikost:

    \[v_z\,=\,-v\,\sin{\alpha}\,=\,-v\,\frac{c}{l}\,.\]

    (úhel α je úhel mezi tělesovou úhlopříčkou a podstavou kvádru).

    Analogicky dostaneme:

    \[v_{x}\,=\,-v\,\frac{a}{l}\,,\] \[v_{y}\,=\,-v\,\frac{b}{l}\,.\]

    Odvození složek rychlosti ze vztahů pro souřadnice:

    Do bodu A = [0,0,0] červ dorazí za čas: \(t\,=\,\frac{l}{v}\,.\) Zároveň pro tento bod platí (např. x-ová souřadnice):

    \[0\,=\,a+v_{x}\,\frac{l}{v} \hspace{10px}\Rightarrow \hspace{10px}v_{x}\,=\,-v\,\frac{a}{l}.\]

    Pro ostatní souřadnice je odvození stejné.

    Výsledné souřadnice červa:

    Souřadnice x červa: \[x\,=\,a+v_{x}t\,=\,a-v\,\frac{a}{l}t\,.\]

    Souřadnice y červa: \[y\,=\,b+v_{y}t\,=\,b-v\,\frac{b}{l}t\,.\]

    Souřadnice z červa: \[z\,=\,c+v_{z}t\,=\,c-v\,\frac{c}{l}t\,.\]

  • Alternativní celkové řešení

    Rovnoměrný pohyb červa je popsán vztahy:

    x = x0 + vxt,

    y = y0 + vyt,

    z = z0 + vzt,

    kde x0, y0, z0, vx, vy, vz jsou konstanty.

    • Určení souřadnicových konstant:

      V čase t = 0 s (tedy je-li červ v bodě C') musí platit:

      x(0) = a,

      y(0) = b,

      z(0) = c.

      Odtud po dosazení vyjde: x0 = a, y0 = b, z0 = c.

    • Určení složek rychlosti:

      V čase tK (který neznáme), musí být červ v bodě A = [0,0,0], tj.:

      x(tK) = a + vxtK = 0,

      y(tK) = b + vytK = 0,

      z(tK) = c + vztK = 0.

      Odtud: \(v_x\,=\,\frac{-a}{t_{K}}\), \(v_y\,=\,\frac{-b}{t_{K}}\), \(v_z\,=\,\frac{-c}{t_{K}}\).

      Velikost rychlosti: \[v\,=\,\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}\,.\]

      Po dosazení: \[v\,=\,\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{t_{K}}\,=\,\frac{l}{t_{K}}\,.\]

      Odtud vypočteme tK a dosazení dostáváme pro složky rychlosti: \(v_{x}\,=\,-v\,\frac{a}{l}\,,\) \(v_{y}\,=\,-v\,\frac{b}{l}\,\) a  \(v_{z}\,=\,-v\,\frac{c}{l}\,.\)

      Dále pokračujeme dosazením do rovnic popisujících rovnoměrný pohyb červa (na začátku tohoto způsobu řešení).

  • Výsledek

    Pohyb červa je popsán vztahy:

    \[x\,=\,a+v_{x}t\,=\,a-v\,\frac{a}{l}t\,,\] \[y\,=\,b+v_{y}t\,=\,b-v\,\frac{b}{l}t\,,\] \[z\,=\,c+v_{z}t\,=\,c-v\,\frac{c}{l}t\,,\]

    kde \(l\,=\,\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\) je délka tělesové úhlopříčky kvádru. (Osy míří podél hran o délkách a, b, c.)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze