Voda stříkající z nádoby

Úloha číslo: 925

Nádoba má ve stěně vyvrtány dva otvory, jeden ve výšce h1 ode dna a druhý ve výšce h2. V jaké výšce h musí být hladina vody v nádobě, chceme-li, aby voda z obou otvorů stříkala do stejné vzdálenosti x? Odpor vzduchu zanedbejte.

Řešte nejprve obecně a potom pro hodnoty h1 = 10 cm a h2 = 30 cm.

Obrázek k zadání
  • Zápis

    h1 = 10 cm výška prvního otvoru ode dna
    h2 = 30 cm výška druhého otvoru ode dna
    x délka dostřiku
    h = ? výška hladiny v nádobě
  • Rozbor

    Při řešení úlohy využijeme jednak poznatky z hydromechaniky a také poznatky o vodorovném vrhu. Vyjádříme si, jak daleko voda v obou případech dostříkne. K tomu budeme potřebovat znát rychlosti výtoku vody z obou otvorů. Ty zjistíme z Bernoulliho rovnice.

  • Nápověda 1

    Jak vypočítáme délku dostřiku \(x\)?

  • Nápověda 2

    Co dále platí pro \(x_{1}\) a \( x_{2}\)?

  • Nápověda 3

    Jak vypočítáme časy \(t_{1}\), \(t_{2}\), za které voda dopadne na podložku?

  • Nápověda 4

    Jak vypočítáme rychlosti \(v_{1}\) a \(v_{2}\), kterými voda vystřikuje z otvorů?

  • Nápověda 5

    Použijte vztah (3), dosaďte do něj zjištěné časy a rychlosti a vyjádřete hledanou výšku hladiny.

  • Celkové řešení

    Výpočet délky dostřiku

    Délku dostřiku \(x\) vypočítáme dle vztahu:

    \[x=vt,\]

    kde \(v\) je rychlost vody v okamžiku výtoku a \(t\) je čas, za který voda dopadne do vzdálenosti \(x\).

     

    První výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{1}\), bude platit:

    \[x_{1}=v_{1}t_{1}.\tag{1}\]

    Druhá výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{2}\), bude platit:

    \[x_{2}=v_{2}t_{2}.\tag{2}\]

     

    Chceme, aby voda z obou otvorů dopadala do stejné vzdálenosti, proto bude platit:

    \[x_{1}=x_{2}.\]

    Dosadíme za \(x_{1}\), \(x_{2}\) dle vztahů (1), (2) a dostáváme:

    \[v_{1}t_{1}=v_{2}t_{2}.\tag{3}\]

     

    Výpočet času

    Dobu \(t\), za kterou voda dopadne do vzdálenosti \(x\), vypočítáme ze vztahu:

    \[y=\frac{1}{2}gt^2,\]

    kde \(g\) je tíhové zrychlení a \(y\) je výška, ze které voda padá.

     

    První výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{1}\), bude platit:

    \[h_{1}=\frac{1}{2}gt^2_{1}.\]

    Obě strany rovnice upravíme tak, že je vydělíme \(\frac{1}{2}g\).

    \[\frac{2h_{1}}{g}=t^2_{1}\]

    Obě strany rovnice odmocníme a dostaneme \(t_{1}\):

    \[t_{1}=\sqrt{\frac{2h_{1}}{g}}.\tag{4}\]

    Druhá výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{2}\), bude platit:

    \[h_{2}=\frac{1}{2}gt^2_{2}.\]

    Obě strany rovnice upravíme tak, že je vydělíme \(\frac{1}{2}g\).

    \[\frac{2h_{2}}{g}=t^2_{2}\]

    Obě strany rovnice odmocníme a dostaneme \(t_{2}\):

    \[t_{2}=\sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}.\tag{5}\]

     

    Výpočet rychlosti

    Rychlost vody \(v\) získáme z Bernoulliho rovnice:

    \[\frac{1}{2}\rho v^2_{i}+\rho g h_{i}+p_{i}=\frac{1}{2}\rho v^2_{e}+\rho gh_{e}+p_{e},\]

    kde \(\rho\) je hustota vody, \(p\) je tlak a \(h\) je výška nad podložkou. Index \(i\) znamená uvnitř nádoby a index \(e\) vně.

    Rychlost vody v místě výtoku uvnitř nádoby je u obou otvorů nulová. Tedy:

    \[\frac{1}{2}\rho v^2_{i}=0.\]

    Výška nad podložkou je uvnitř i vně stejná, člen \(\rho gh\) odpovídající polohové energii vypadne. Tlak v místě výtoku uvnitř nádoby bude dán součtem atmosférického tlaku \(p_{a}\) a hydrostatického tlaku \(p_{h}=(h-h_{i})\rho g\) sloupce vody nad výtokovým otvorem. Tedy:

    \[p_{i}=p_{a}+(h-h_{i})\rho g .\]

    Tlak v místě výtoku vně nádoby je pro oba otvory roven atmosférickému tlaku. Přepíšeme Bernoulliho rovnici pro oba případy.

     

    První výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{1}\), bude platit:

    \[ p_{a}+\rho g( h- h_{1})=\frac{1}{2} \rho v^2_{1}+p_{a}.\]

    Odečteme od obou stran \(p_{a}\) a vydělíme \(\rho\):

    \[ g( h- h_{1})=\frac{1}{2} v^2_{1}.\]

    Obě strany rovnice upravíme tak, že je vynásobíme \(2\) a odmocníme je:

    \[ v_{1}=\sqrt{2g( h- h_{1})}.\tag{6}\]

     

    Druhá výška

    Pro vodu, která vystřikuje z výšky \(h_{2}\), bude platit:

    \[ p_{a}+\rho g( h- h_{2})=\frac{1}{2} \rho v^2_{2}+p_{a}.\]

    Odečteme od obou stran \(p_{a}\) a vydělíme \(\rho\):

    \[ g( h- h_{2})=\frac{1}{2} v^2_{2}.\]

    Obě strany rovnice upravíme tak, že je vynásobíme \(2\) a odmocníme je:

    \[ v_{2}=\sqrt{2g( h- h_{2})}.\tag{7}\]

     

    Dosazení do vztahu (3)

    Do vztahu (3) dosadíme za \(t_{1},t_{2},v_{1},v_{2}\) vztahy (4),(5), (6) a (7).

    \[v_{1}t_{1}=v_{2}t_{2}\] \[\sqrt{2g( h- h_{1})}\sqrt{\frac{2h_{1}}{g}}=\sqrt{2g( h- h_{2})}\sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}\]

    Obě strany rovnice upravíme tak, že je umocníme na druhou:

    \[2g( h- h_{1})\frac{2h_{1}}{g}= 2g( h- h_{2})\frac{2h_{2}}{g}.\]

    \(g\) se vykrátí a obě strany rovnice vydělíme \(4\):

    \[( h- h_{1})h_{1}=( h- h_{2})h_{2}.\]

    Roznásobíme závorky, členy obsahující \(h\) přesuneme na levou stranu a zbylé na pravou stranu rovnice:

    \[hh_{1}-hh_{2}=h^2_{1}-h^2_{2}.\]

    Vytkneme \(h\) a člen \(h^2_{1}-h^2_{2}\) rozepíšeme jako součin:

    \[h(h_{1}-h_{2})=(h_{1}-h_{2})(h_{1}+h_{2}).\]

    Vykrátíme \((h_{1}-h_{2})\) a dostaneme:

    \[h=h_{1}+h_{2}.\tag{8}\]

     

    Číselné řešení

    Zadané hodnoty \(h_{1}=10\,\mathrm{cm}\) a \(h_{2}=30\,\mathrm{cm}\) dosadíme do vztahu (8).

    \[h=h_{1}+h_{2}=10\,\mathrm{cm}+30\,\mathrm{cm}=40\,\mathrm{cm}\]
  • Odpověď

    Voda z obou otvorů bude stříkat do stejné vzdálenosti, pokud bude pro výšku \(h\) hladiny vody v nádobě platit:

    \(h=h_{1}+h_{2}.\)

    Pro zadané hodnoty \(h_{1}=10\,\mathrm{cm}\) a \(h_{2}=30\,\mathrm{cm}\) bude \(h=40\,\mathrm{cm}.\)

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Inspirováno: Vondra, M.: Cvičení k fyzice v kostce. 1. vyd. havlíčkův
Brod, Fragment, 2000.
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Inspirováno: Vondra, M.: Cvičení k fyzice v kostce. 1. vyd. havlíčkův Brod, Fragment, 2000.
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze