Pohyb kapky

Úloha číslo: 122

Kužel výšky h se otáčí kolem své osy ve směru otáčení hodinových ručiček stálou úhlovou rychlostí ω. Povrchová přímka svírá s osou kužele úhel α. Od vrcholu kužele začne v čase t = 0 s stékat po povrchové přímce kapka stálou rychlostí v vzhledem ke kuželu. V pevném souřadném systému x, y, z zvoleném tak, že osa z je osou kužele a osy x, y leží v jeho podstavě, popište průběh polohového vektoru kapky a průběh velikosti její rychlosti.

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Počátek souřadné soustavy zvolte ve středu podstavy kužele a počáteční polohu kapky na vrcholu kužele.

    Nakreslete situaci pro čas t = 0 s a vyznačte polohu kapky.

    Pak nakreslete situaci pro čas t, vyznačte polohu kapky, kam až se za čas t na kuželi dostala, i její polohový vektor.

    Do obrázku vyznačte i průmět polohového vektoru do osy z a do roviny x, y.

  • Nápověda 2 : Průběh polohového vektoru kapky

    Z obrázku z předchozí nápovědy sestavte rovnice pro průmět polohového vektoru kapky do osy z a průmět m polohového vektoru kapky do roviny xy.

    Dále zapište rovnice průmětu m do os x a y.

    Z těchto rovnic pak napište průběh polohového vektoru kapky.

  • Nápověda 3: Průběh velikost rychlosti kapky

    Vyjádřete si nejprve složky rychlosti vx, vy, vz. Jakým způsobem je z parametrických rovnic ve směru souřadnicových os získáte?

    Pak zapište průběh velikosti rychlosti kapky.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Obrázek 1:

    Kapka na kuželu v čase 0 s

     

    Kapka na kuželu v čase t

    Průmět polohového vektoru do osy z:

     

    \[z\,=\,h-vt\cos\alpha.\]

     

    Průmět polohového vektoru do roviny xy:

     

    \[m\,=\,vt\sin\alpha.\]

     

    Průmět m do os x a y:

     

    \[x\,=\,m\cos\omega{t}\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t},\] \[y\,=\,-m\sin\omega{t}\,=\,-vt\sin\alpha\sin\omega{t}.\]

     

    Průběh polohového vektoru kapky:

     

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\vec{\,i\,}-vt\sin\alpha\omega{t}\vec{\,j\,}+(h-vt\cos\alpha)\vec{\,k\,},\]

    kde \(\vec{\,i\,}\), \(\vec{\,j\,}\), \(\vec{\,k\,}\) jsou jednotkové vektory.

     

    Složky rychlosti získáme derivací souřadnic podle času:

     

    \[v_x\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(vt\sin\alpha\cos\omega{t}\right)\,=\, v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t},\] \[v_y\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\right)\,=\, -v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t},\] \[v_z\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(h-vt\cos\alpha\right) \,=\, -v\cos\alpha.\]

     

    Průběh velikosti rychlosti kapky:

     

     

    \[\left|\vec{v}_v\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}},\]

     

    \[v_x^{2}\,=\,\left(v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t}\right)^{2}\,=\] \[\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}-2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t},\]

     

     

    \[v_y^{2}\,=\,\left(-v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t}\right)^{2}\,=\] \[\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t},\]

     

    \[v_z^{2}\,=\, \left(-v\cos\alpha\right)^{2}\,=\, v^{2}\cos^{2}\alpha,\]

     

    \[v_x^{2}+ v_y^{2}+ v_z^{2}\,=\, v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+\] \[\,+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+ v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=\] \[\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=\] \[=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\,=\] \[\,=\,v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha,\]

     

    \[\left|\vec{v}_v\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}\,=\,\sqrt{v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha},\]

     

    \[\left|\vec{v}_v\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v^{2}+(vt\omega\sin\alpha)^{2}}.\]
  • Odpověď

    Průběh polohového vektoru kapky je:

     

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\vec{\,i\,}-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\vec{\,j\,}+(h-vt\cos\alpha)\vec{\,k\,},\]

    kde \(\vec{\,i\,}\), \(\vec{\,j\,}\), \(\vec{\,k\,}\) jsou jednotkové vektory.

     

    Průběh velikosti rychlosti kapky:

     

    \[\left|\vec{v}_v\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}\,=\,\sqrt{v^{2}+\left(vt\omega\sin\alpha\right)^{2}}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze