Sbírka řešených úloh

Pohyb kapky

Úloha číslo: 122

• Nápověda 1: Obrázek situace

  Počátek souřadné soustavy zvolte ve středu podstavy kužele a počáteční polohu kapky na vrcholu kužele.

  Nakreslete situaci pro čas t = 0 s a vyznačte polohu kapky.

  Pak nakreslete situaci pro čas t, vyznačte polohu kapky, kam až se za čas t na kuželi dostala, i její polohový vektor.

  Do obrázku vyznačte i průmět polohového vektoru do osy z a do roviny x, y.

• Řešení k nápovědě 1

  Obrázek 1:

  

   

  

• Nápověda 2: Průběh polohového vektoru kapky

  Z obrázku z předchozí nápovědy sestavte rovnice pro průmět polohového vektoru kapky do osy z a průmět m polohového vektoru kapky do roviny xy.

  Dále zapište rovnice průmětu m do os x a y.

  Z těchto rovnic pak napište průběh polohového vektoru kapky.

• Řešení k nápovědě 2

  

  Průmět polohového vektoru do osy z:

   

  $$z\,=\,h-vt\cos\alpha\,.$$

   

  Průmět polohového vektoru do roviny xy:

   

  $$m\,=\,vt\sin\alpha\,.$$

   

  Průmět m do os x a y:

   

  $$x\,=\,m\cos\omega{t}\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\,,$$ $$y\,=\,-m\sin\omega{t}\,=\,-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\,.$$

   

  Průběh polohového vektoru kapky:

   

  $$\vec{r}\left(t\right)\,=\, x\vec{\,i\,} + y\vec{\,j\,} + z\vec{\,k\,},$$

   

  $$\vec{r}\left(t\right)\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\vec{\,i\,}-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\vec{\,j\,}+(h-vt\cos\alpha)\vec{\,k\,}\,,$$

  kde $\vec{\,i\,}$, $\vec{\,j\,}$, $\vec{\,k\,}$ jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

• Nápověda 3: Průběh velikost rychlosti kapky

  Vyjádřete si nejprve složky rychlosti v_x, v_y, v_z. Jakým způsobem je z parametrických rovnic ve směru souřadnicových os získáte?

  Pak zapište průběh velikosti rychlosti kapky.

• Řešení k nápovědě 3

  Složky rychlosti získáme derivací souřadnic podle času:

   

  $$v_\mathrm{x}\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(vt\sin\alpha\cos\omega{t}\right)\,=\, v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t},$$ $$v_\mathrm{y}\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\right)\,=\,=\, -v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t},$$ $$v_\mathrm{z}\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(h-vt\cos\alpha) \,=\, -v\cos\alpha.$$

   

  Průběh velikosti rychlosti kapky:

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}+v_\mathrm{y}^{2}+v_\mathrm{z}^{2}},$$

   

  $$v_\mathrm{x}^{2}\,=\,\left(v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t}\right)^{2}\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}-2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t},$$

   

   

  $$v_\mathrm{y}^{2}\,=\,\left(-v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t}\right)^{2}\,=\,$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t},$$

   

  $$v_\mathrm{z}^{2}\,=\, \left(-v\cos\alpha\right)^{2}\,=\, v^{2}\cos^{2}\alpha,$$

   

  $$v_\mathrm{x}^{2}+ v_\mathrm{y}^{2}+ v_\mathrm{z}^{2}\,=\, v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+$$ $$\,+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+ v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\,=$$ $$\,=\,v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha,$$

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}\,=\,\sqrt{v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha},$$

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v^{2}+\left(vt\omega\sin\alpha\right)^{2}}.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Obrázek 1:

  

   

  

  Průmět polohového vektoru do osy z:

   

  $$z\,=\,h-vt\cos\alpha.$$

   

  Průmět polohového vektoru do roviny xy:

   

  $$m\,=\,vt\sin\alpha.$$

   

  Průmět m do os x a y:

   

  $$x\,=\,m\cos\omega{t}\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t},$$ $$y\,=\,-m\sin\omega{t}\,=\,-vt\sin\alpha\sin\omega{t}.$$

   

  Průběh polohového vektoru kapky:

   

  $$\vec{r}\left(t\right)\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\vec{\,i\,}-vt\sin\alpha\omega{t}\vec{\,j\,}+(h-vt\cos\alpha)\vec{\,k\,},$$

  kde $\vec{\,i\,}$, $\vec{\,j\,}$, $\vec{\,k\,}$ jsou jednotkové vektory.

   

  Složky rychlosti získáme derivací souřadnic podle času:

   

  $$v_\mathrm{x}\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(vt\sin\alpha\cos\omega{t}\right)\,=\, v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t},$$ $$v_\mathrm{y}\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\right)\,=\, -v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t},$$ $$v_\mathrm{z}\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(h-vt\cos\alpha\right) \,=\, -v\cos\alpha.$$

   

  Průběh velikosti rychlosti kapky:

   

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}+v_\mathrm{y}^{2}+v_\mathrm{z}^{2}},$$

   

  $$v_\mathrm{x}^{2}\,=\,\left(v\sin\alpha\cos\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\sin\omega{t}\right)^{2}\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}-2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t},$$

   

   

  $$v_\mathrm{y}^{2}\,=\,\left(-v\sin\alpha\sin\omega{t}-v\omega{t}\sin\alpha\cos\omega{t}\right)^{2}\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+2v^{2}\omega{t}\sin^{2}\alpha\sin\omega{t}\cos\omega{t}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t},$$

   

  $$v_\mathrm{z}^{2}\,=\, \left(-v\cos\alpha\right)^{2}\,=\, v^{2}\cos^{2}\alpha,$$

   

  $$v_\mathrm{x}^{2}+ v_\mathrm{y}^{2}+ v_\mathrm{z}^{2}\,=\, v^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+$$ $$\,+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\omega{t}+ v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\omega{t}+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=$$ $$\,=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha\,=$$ $$=\,v^{2}\sin^{2}\alpha+v^{2}\cos^{2}\alpha+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha\,=$$ $$\,=\,v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha,$$

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}+v_\mathrm{y}^{2}+v_\mathrm{z}^{2}}\,=\,\sqrt{v^{2}+v^{2}\omega^{2}{t}^{2}\sin^{2}\alpha},$$

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v^{2}+(vt\omega\sin\alpha)^{2}}.$$

• Odpověď

  Průběh polohového vektoru kapky je:

   

  $$\vec{r}\left(t\right)\,=\,vt\sin\alpha\cos\omega{t}\vec{\,i\,}-vt\sin\alpha\sin\omega{t}\vec{\,j\,}+(h-vt\cos\alpha)\vec{\,k\,},$$

  kde $\vec{\,i\,}$, $\vec{\,j\,}$, $\vec{\,k\,}$ jsou jednotkové vektory.

   

  Průběh velikosti rychlosti kapky:

   

  $$\left|\vec{v}_\mathrm{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}+v_\mathrm{y}^{2}+v_\mathrm{z}^{2}}\,=\,\sqrt{v^{2}+\left(vt\omega\sin\alpha\right)^{2}}.$$

• Vizualizace pohybu

  Následující aplet slouží k vizualizaci pohybu kapky na rotujícím kuželu. Polohu kapky udává polohový vektor $\vec{r}_{(t)}$, který je znázorněn modře. Vektor rychlosti $\vec{v}_{(t)}$ je znázorněn červeně. Kliknutím na tlačítko „Zapnout animaci“ se spustí animace pohybu, opětovným kliknutím se animace zastaví. Kliknutím na tlačítko „Zobrazit stopu kapky“ se zapne, nebo naopak vypne stopa bodu K. Obdobně tlačítko „Zobrazit trajektorii kapky“ vykreslí trajektorii bodu K. Tlačítko „Reset“ vrátí aplet do původního stavu.

   

   

  Z apletu je dobře vidět, že trajektorií kapky stékající po rotujícím kuželu je jakási „rozevírající se šroubovice“.