Skokan
Úloha číslo: 790
Hustota lidského těla výrazně závisí na aktuálním množství vzduchu v plicích. Těsně po vydechnutí je to až ρmax = 1025 kg/m3, po nadechnutí to může být pouze ρmin = 945 kg/m3. (Hodnoty samozřejmě závisí na tělesné stavbě, množství tuků v těle atd.)
Skokan, který skočil kolmo dolů do vody, se před svým skokem maximálně nadechl. Vypočítejte, s jak velkým zrychlením bude skokan po svém skoku tlačen vzhůru k hladině.
Zápis
ρmax = 1025 kg·m−3 hustota lidského těla po max. vydechnutí ρmin = 945 kg·m−3 hustota lidského těla po max. nadechnutí a = ? (m·s−2) zrychlení Z tabulek: g = 9,81 m·s−1 tíhové zrychlení ρ = 998 kg·m−3 hustota vody při teplotě 20 °C Nápověda 1
Jakou hodnotu hustoty z dvojice ρmin, ρmax budeme uvažovat?
Nápověda 2
Z jakého vztahu bychom mohli spočítat zrychlení? Vzpomeňte na Newtonovy zákony…
Nápověda 3
Jaké síly na skokana pod vodou působí? Která z nich je větší? Jaká je jejich výslednice?
Nápověda 4
Jak spočítáte tíhovou a vztlakovou sílu? Dosaďte tyto vztahy do vztahu (2).
Nápověda 5
Jak zjistíme objem V skokanova těla? Dosaďte za objem do vztahu (3).
Nápověda 6
Podařilo se nám vyjádřit velikost síly F. Dosaďte ji do vztahu (1) a vyjádřete velikost zrychlení a.
Celkové řešení
Skokan se před skokem maximálně nadechl, budeme tedy uvažovat, že průměrná hustota jeho těla je minimální: ρmin = 945 kg/m3.
K výpočtu použijeme druhý Newtonův zákon. Ten říká, že nemění-li se hmotnost tělesa, je zrychlení tělesa tím větší, čím větší výsledná síla na něj působí. Matematicky zapsáno:
\[F\,=\,ma,\tag{1}\]
kde F je velikost výsledné síly působící na těleso (zde na skokana), m hmotnost tělesa a a velikost jeho zrychlení. Bude tedy třeba určit velikost výsledné síly, působící pod vodou na skokana. K tomu potřebujeme znát jednotlivé síly, které na skokana pod vodou působí. Jsou to:
- směrem dolů tíhová síla FG,
- směrem vzhůru vztlaková síla Fvz.
Má-li být skokan tlačen vzhůru k hladině, musí být větší síla působící směrem vzhůru – tedy síla vztlaková. Velikost výsledné síly F je tedy dána rozdílem velikosti síly působící vzhůru a velikosti síly působící dolů:
\[F\,=\,F_\mathrm{vz}\,-\,F_\mathrm{G}.\tag{2}\]
Ze známých vztahů určíme tíhovou a vztlakovou sílu:
Tíhová síla:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg, \]kde m je hmotnost skokana, g je tíhové zrychlení.
Vztlaková síla:
\[F_\mathrm{vz} = V{\rho}_1g,\]kde V je objem skokanova těla, ρ1 je hustota vody, g je tíhové zrychlení.
Dosazením do vztahu (2) dostáváme:
\[F\,=\,V{\rho}_1g\,-\,mg.\tag{3}\]
Objem skokanova těla vypočteme ze vztahu:
\[V\,=\,\frac{m}{{\rho}_\mathrm{min}},\]kde m je skokanova hmotnost a ρmin je hustota skokanova těla (přičemž uvažujeme zadanou hodnotu minimální hustoty).
Pak tedy lze psát:
\[F\,=\,\frac{m}{{\rho}_\mathrm{min}}{\rho}_1g\,-\,mg.\tag{4}\]Dosazením ze vztahu (4) do vztahu (1) dostáváme:
\[ma\,=\,\frac{m}{{\rho}_\mathrm{min}}{\rho}_1g\,-\,mg,\] \[a\,=\,\frac{1}{{\rho}_\mathrm{min}}{\rho}_1g\,-\,g\,=\,g\left(\frac{\rho_1}{\rho_\mathrm{min}}-1\right).\]Číselné dosazení:
\[a\,=\,9{,}81{\cdot}\left(\frac{998}{945}-1\right)\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}.\]Skokan bude k hladině tažen se zrychlením \(a\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}.\)
Odpověď
\[a\,=\,g(\frac{\rho_1}{\rho_\mathrm{min}}-1)\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}} \]Skokan bude k hladině tažen se zrychlením \(a\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}\).