Skokan

Úloha číslo: 790

Hustota lidského těla výrazně závisí na aktuálním množství vzduchu v plicích. Těsně po vydechnutí je to až ρmax = 1025 kg/m3, po nadechnutí to může být pouze ρmin = 945 kg/m3. (Hodnoty samozřejmě závisí na tělesné stavbě, množství tuků v těle atd.)

Skokan, který skočil kolmo dolů do vody, se před svým skokem maximálně nadechl. Vypočítejte, s jak velkým zrychlením bude skokan po svém skoku tlačen vzhůru k hladině.

  • Zápis

    ρmax = 1025 kg·m−3 hustota lidského těla po max. vydechnutí
    ρmin = 945 kg·m−3 hustota lidského těla po max. nadechnutí
    a = ? (m·s−2) zrychlení
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−1 tíhové zrychlení
    ρ = 998 kg·m−3 hustota vody při teplotě 20 °C
  • Nápověda 1

    Jakou hodnotu hustoty z dvojice ρmin, ρmax budeme uvažovat?

  • Nápověda 2

    Z jakého vztahu bychom mohli spočítat zrychlení? Vzpomeňte na Newtonovy zákony…

  • Nápověda 3

    Jaké síly na skokana pod vodou působí? Která z nich je větší? Jaká je jejich výslednice?

  • Nápověda 4

    Jak spočítáte tíhovou a vztlakovou sílu? Dosaďte tyto vztahy do vztahu (2).

  • Nápověda 5

    Jak zjistíme objem V skokanova těla? Dosaďte za objem do vztahu (3).

  • Nápověda 6

    Podařilo se nám vyjádřit velikost síly F. Dosaďte ji do vztahu (1) a vyjádřete velikost zrychlení a.

  • Celkové řešení

    Skokan se před skokem maximálně nadechl, budeme tedy uvažovat, že průměrná hustota jeho těla je minimální: ρmin = 945 kg/m3.

    K výpočtu použijeme druhý Newtonův zákon. Ten říká, že nemění-li se hmotnost tělesa, je zrychlení tělesa tím větší, čím větší výsledná síla na něj působí. Matematicky zapsáno:

    \[F\,=\,ma,\tag{1}\]

    kde F je velikost výsledné síly působící na těleso (zde na skokana), m hmotnost tělesa a a velikost jeho zrychlení. Bude tedy třeba určit velikost výsledné síly, působící pod vodou na skokana. K tomu potřebujeme znát jednotlivé síly, které na skokana pod vodou působí. Jsou to:

    • směrem dolů tíhová síla FG,
    • směrem vzhůru vztlaková síla Fvz.

    Má-li být skokan tlačen vzhůru k hladině, musí být větší síla působící směrem vzhůru – tedy síla vztlaková. Velikost výsledné síly F je tedy dána rozdílem velikosti síly působící vzhůru a velikosti síly působící dolů:

    \[F\,=\,F_{vz}\,-\,F_G.\tag{2}\]

    Ze známých vztahů určíme tíhovou a vztlakovou sílu:

    Tíhová síla:

    \[F_G\,=\,mg, \]

    kde m je hmotnost skokana, g je tíhové zrychlení.

    Vztlaková síla:

    \[F_{vz} = V{\rho}_1g,\]

    kde V je objem skokanova těla, ρ1 je hustota vody, g je tíhové zrychlení.

    Dosazením do vztahu (2) dostáváme:

    \[F\,=\,V{\rho}_1g\,-\,mg.\tag{3}\]

    Objem skokanova těla vypočteme ze vztahu:

    \[V\,=\,\frac{m}{{\rho}_{min}},\]

    kde m je skokanova hmotnost a ρmin je hustota skokanova těla (přičemž uvažujeme zadanou hodnotu minimální hustoty).

    Pak tedy lze psát:

    \[F\,=\,\frac{m}{{\rho}_{min}}{\rho}_1g\,-\,mg.\tag{4}\]

    Dosazením ze vztahu (4) do vztahu (1) dostáváme:

    \[ma\,=\,\frac{m}{{\rho}_{min}}{\rho}_1g\,-\,mg,\] \[a\,=\,\frac{1}{{\rho}_{min}}{\rho}_1g\,-\,g\,=\,g\left(\frac{\rho_1}{\rho_{min}}-1\right).\]

    Číselné dosazení:

    \[a\,=\,9{,}81{\cdot}\left(\frac{998}{945}-1\right)\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}.\]

    Skokan bude k hladině tažen se zrychlením \(a\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}.\)

  • Odpověď

    \[a\,=\,g(\frac{\rho_1}{\rho_{min}}-1)\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}} \]

    Skokan bude k hladině tažen se zrychlením \(a\,\dot=\,0{,}55\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s^{-2}}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze