Basketbalista

Úloha číslo: 132

Obroučka koše na basketbal se nachází ve výšce h1 nad podlahou. Střed koše je ve vodorovné vzdálenosti L od čáry trestného hodu. Basketbalista hází trestné hody, přičemž míč opouští jeho ruku v poloze, kdy jeho střed je přesně nad čárou trestného hodu ve výšce h2 nad podlahou.

Optimální elevační úhel α je takový, při němž střed míče projde středem obroučky a přitom je zapotřebí co nejmenší počáteční rychlost míče. Dokažte obecně, že tento úhel má velikost α = 45˚ + β/2, kde β je záměrný úhel , tj. odchylka spojnice středu obroučky a počátečního bodu vrhu od vodorovné roviny.

Určete optimální elevační úhel pro zadané hodnoty a vypočtěte příslušnou velikost počáteční rychlosti míče.

Odpor vzduchu zanedbejte.

Řešte pro hodnoty: h1 = 3,05 m, L = 5,425 m, h2 = 2,45 m, g = 9,81 m·s-2 .

  • Zápis

    h1 = 3,05 m výška obroučky koše nad podlahou
    h2 = 2,45 m výška středu míče nad podlahou v okamžiku odhození
    L = 5,425 m vodorovná vzdálenost středu koše od čáry trestného hodu
    α  = ?  optimální elevační úhel

    v0 = ? (m·s−1)

    velikost počáteční rychlosti míče odpovídající optimálnímu elevačnímu úhlu
    Z tabulek:

    g = 9,81 m·s−2

    tíhové zrychlení

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Nakreslete obrázek zachycující danou situaci, vyznačte do něj elevační a záměrný úhel, vzdálenost L a výšku obroučky koše nad místem, ze kterého házíme míč.

  • Nápověda 2: Pohyb míče ve vodorovném a svislém směru

    Jaký pohyb vykonává míč ve vodorovném směru? Jaký pohyb vykonává míč ve svislém směru?

  • Nápověda 3: Rychlost míče ve vodorovném a svislém směru

    Jaká je rychlost míče ve vodorovném směru a jak se mění s časem x-ová souřadnice míče?

    Jaká je rychlost míče ve svislém směru a jak se mění s časem y-ová souřadnice míče?

    Jaké hodnoty budou mít souřadnice x a y v okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše? Napište příslušné vztahy a vyjádřete z nich druhou mocninu počáteční rychlosti v02 (využijte ještě vztah tg β = H/L).

  • Nápověda 4: Minimální hodnota výrazu

    Pro jaký úhel α bude hodnota výrazu pro v02 minimální?

  • Nápověda 5: Počáteční rychlost pro optimální úhel

    Spočítejte počáteční rychlost v0 pro optimální úhel α, tedy pro případ, kdy sin(2αβ) = 1. Sinus a cosinus úhlu β vyjádřete pomocí vzdáleností H a L.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Označíme si L a H vodorovnou a svislou vzdálenost středu obroučky od počátečního bodu vrhu, α elevační úhel, β záměrný úhel, t dobu letu, v0 počáteční rychlost míče, v rychlost míče při průletu košem (viz obrázek 1,2).

     

    Obrázek 1:

     

    Basketbalista - označení

    \[H = h_1 - h_2\]

     

    Obrázek 2:

     

    Basketbalista - označení

     

    Ve vodorovném směru vykonává míč rovnoměrný přímočarý pohyb.Ve svislém směru vykonává míč vrh svislý vzhůru.

    Platí:

    \[v_x=v_0\cos\alpha\,,\] \[v_y=v_0\sin\alpha-gt\,,\] \[x=v_0t\cos\alpha\,,\] \[y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.\]  

    V okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše, bude platit:

    \[x=L=v_0t\cos\alpha\,.\]

    Tedy:

    \[t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,\] \[y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.\]

    Odtud:

    \[\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,\] \[\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,\] \[v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.\]

    Po dosazení \(H=Ltg\beta\)  a úpravě dostaneme:

    \[v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,\] \[v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.\]

     

    Poznámka: Při úpravách jsme použili následující goniometrické vztahy:

    \[2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,\] \[\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,\] \[\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.\]

     

    Hodnota výrazu bude minimální, jestliže bude maximální hodnota jmenovatele, tedy jestliže:

    \[\sin(2\alpha-\beta)=1\,,\] \[2\alpha-\beta=90^{\circ}\,.\]

    Tedy, když platí:

    \[\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.\]

    V takovém případě:

    \[v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.\]

    Platí:

    \[\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,, \] \[\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,. \]

    S použitím    \(H = h_1 - h_2\)  :

    \[\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,, \] \[\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.\]

    Pak:

    \[v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.\]

    S použitím     \(H = h_1 - h_2\)  :

    \[v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.\]

    Číselně pro zadané hodnoty:

    \[\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}\] Z toho plyne: \(\beta \dot{ = } 6^{\circ}\)   Pak: \[\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,\] \[\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.\] Dále: \[v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2} \cdot s^{-2}}\,,\] \[v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]
  • Odpověď:

    Optimální elevační úhel je:

    \(\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2},\)        kde      \(\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,. \)

    Pro zadané hodnoty:    \(\alpha\dot{\,=\,}48^{\circ}\,.\)

    Příslušná velikost počáteční rychlosti míče je:

    \[v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.\]

    Pro zadané hodnoty:

    \[v_0\dot{\,=\,}7{,}7\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na dokazování, ověřování
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz 
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze