Sbírka řešených úloh

Basketbalista

Úloha číslo: 132

• Zápis

  h1 = 3,05 m	výška obroučky koše nad podlahou
  h2 = 2,45 m	výška středu míče nad podlahou v okamžiku odhození
  L = 5,425 m	vodorovná vzdálenost středu koše od čáry trestného hodu
  α  = ?	optimální elevační úhel
  v0 = ? (m·s−1)	velikost počáteční rychlosti míče odpovídající optimálnímu elevačnímu úhlu
  Z tabulek:
  g = 9,81 m·s−2	tíhové zrychlení

• Nápověda 1: Obrázek situace

  Nakreslete obrázek zachycující danou situaci, vyznačte do něj elevační a záměrný úhel, vzdálenost L a výšku obroučky koše nad místem, ze kterého házíme míč.

• Řešení k nápovědě 1:

  Označíme si L a H vodorovnou a svislou vzdálenost středu obroučky od počátečního bodu vrhu, α elevační úhel, β záměrný úhel, t dobu letu, v₀ počáteční rychlost míče, v rychlost míče při průletu košem (viz obrázek 1, 2).

   

  Obrázek 1:

   

  

  $$H = h_1 - h_2$$

   

  Obrázek 2:

   

  

   

• Nápověda 2: Pohyb míče ve vodorovném a svislém směru

  Jaký pohyb vykonává míč ve vodorovném směru? Jaký pohyb vykonává míč ve svislém směru?

• Řešení k nápovědě 2:

  Ve vodorovném směru vykonává míč rovnoměrný přímočarý pohyb. Ve svislém směru se jedná o vrh svislý vzhůru.

• Nápověda 3: Rychlost míče ve vodorovném a svislém směru

  Jaká je rychlost míče ve vodorovném směru a jak se mění s časem x-ová souřadnice míče?

  Jaká je rychlost míče ve svislém směru a jak se mění s časem y-ová souřadnice míče?

  Jaké hodnoty budou mít souřadnice x a y v okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše? Napište příslušné vztahy a vyjádřete z nich druhou mocninu počáteční rychlosti v₀² (využijte ještě vztah tg β = H/L).

• Řešení k nápovědě 3:

  Platí:

  $$v_\mathrm{x}=v_0\cos\alpha\,,$$ $$v_\mathrm{y}=v_0\sin\alpha-gt\,,$$ $$x=v_0t\cos\alpha\,,$$ $$y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.$$

   

  V okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše, bude platit:

  $x=L=v_0t\cos\alpha$,      tedy:   $t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,$

  $y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.$

  Odtud:

  $$\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,$$ $$\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.$$  

  Po dosazení $H=Ltg\beta$  a úpravě dostaneme:

  $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.$$  

  Poznámka: Při úpravách jsme použili následující goniometrické vztahy:

   

  $$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,$$ $$\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,$$ $$\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.$$

   

• Nápověda 4: Minimální hodnota výrazu

  Pro jaký úhel α bude hodnota výrazu pro v₀² minimální?

• Řešení nápovědy 4:

  Hodnota výrazu bude minimální, jestliže bude maximální hodnota jmenovatele, tedy jestliže:

  $$\sin(2\alpha-\beta)=1\,,$$ $$2\alpha-\beta=90^{\circ}\,,$$

  tedy, když platí:

  $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.$$

• Nápověda 5: Počáteční rychlost pro optimální úhel

  Spočítejte počáteční rychlost v₀ pro optimální úhel α, tedy pro případ, kdy sin(2α−β) = 1. Sinus a kosinus úhlu β vyjádřete pomocí vzdáleností H a L.

• Řešení k nápovědě 5:

  V takovém případě:

   

  $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.$$

   

  Platí:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,.$$

   

  S použitím        $H = h_1 - h_2$:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$$

   

  Pak:

  $$v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.$$

   

  S použitím   $H = h_1 - h_2$:

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

   

  Číselně pro zadané hodnoty:

  $$\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}\,.$$ Z toho plyne:  $\beta\dot{=}6^{\circ}.$ Pak: $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,$$ $$\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.$$ Dále: $$v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2}.s^{-2}}\,,$$ $$v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

  Označíme si L a H vodorovnou a svislou vzdálenost středu obroučky od počátečního bodu vrhu, α elevační úhel, β záměrný úhel, t dobu letu, v₀ počáteční rychlost míče, v rychlost míče při průletu košem (viz obrázek 1, 2).

   

  Obrázek 1:

   

  

  $$H = h_1 - h_2$$

   

  Obrázek 2:

   

  

   

  Ve vodorovném směru vykonává míč rovnoměrný přímočarý pohyb.Ve svislém směru vykonává míč vrh svislý vzhůru.

  Platí:

  $$v_\mathrm{x}=v_0\cos\alpha\,,$$ $$v_\mathrm{y}=v_0\sin\alpha-gt\,,$$ $$x=v_0t\cos\alpha\,,$$ $$y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.$$  

  V okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše, bude platit:

  $$x=L=v_0t\cos\alpha\,.$$

  Tedy:

  $$t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,$$ $$y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.$$

  Odtud:

  $$\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,$$ $$\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.$$

  Po dosazení $H=Ltg\beta$  a úpravě dostaneme:

  $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.$$

   

  Poznámka: Při úpravách jsme použili následující goniometrické vztahy:

  $$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,$$ $$\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,$$ $$\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.$$

   

  Hodnota výrazu bude minimální, jestliže bude maximální hodnota jmenovatele, tedy jestliže:

  $$\sin(2\alpha-\beta)=1\,,$$ $$2\alpha-\beta=90^{\circ}\,.$$

  Tedy, když platí:

  $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.$$

  V takovém případě:

  $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.$$

  Platí:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,.$$

  S použitím    $H = h_1 - h_2$:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$$

  Pak:

  $$v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.$$

  S použitím     $H = h_1 - h_2$:

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

  Číselně pro zadané hodnoty:

  $$\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}.$$ Z toho plyne: $\beta \dot{ = } 6^{\circ}$. Pak: $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,$$ $$\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.$$ Dále: $$v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2} \cdot s^{-2}}\,,$$ $$v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.$$

• Odpověď:

  Optimální elevační úhel je:

  $\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2},$        kde      $\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$

  Pro zadané hodnoty:    $\alpha\dot{\,=\,}48^{\circ}\,.$

  Příslušná velikost počáteční rychlosti míče je:

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

  Pro zadané hodnoty:

  $$v_0\dot{\,=\,}7{,}7\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.$$