Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Basketbalista

Úloha číslo: 132

Obroučka koše na basketbal se nachází ve výšce h1 nad podlahou. Střed koše je ve vodorovné vzdálenosti L od čáry trestného hodu. Basketbalista hází trestné hody, přičemž míč opouští jeho ruku v poloze, kdy jeho střed je přesně nad čárou trestného hodu ve výšce h2 nad podlahou.

Optimální elevační úhel α je takový, při němž střed míče projde středem obroučky a přitom je zapotřebí co nejmenší počáteční rychlost míče. Dokažte obecně, že tento úhel má velikost α = 45˚ + β/2, kde β je záměrný úhel, tj. odchylka spojnice středu obroučky a počátečního bodu vrhu od vodorovné roviny.

Určete optimální elevační úhel pro zadané hodnoty a vypočtěte příslušnou velikost počáteční rychlosti míče.

Odpor vzduchu zanedbejte.

Řešte pro hodnoty: h1 = 3,05 m, L = 5,425 m, h2 = 2,45 m, g = 9,81 m·s-2 .

  • Zápis

    h1 = 3,05 m výška obroučky koše nad podlahou
    h2 = 2,45 m výška středu míče nad podlahou v okamžiku odhození
    L = 5,425 m vodorovná vzdálenost středu koše od čáry trestného hodu
    α  = ?  optimální elevační úhel

    v0 = ? (m·s−1)

    velikost počáteční rychlosti míče odpovídající optimálnímu elevačnímu úhlu
    Z tabulek:

    g = 9,81 m·s−2

    tíhové zrychlení

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Nakreslete obrázek zachycující danou situaci, vyznačte do něj elevační a záměrný úhel, vzdálenost L a výšku obroučky koše nad místem, ze kterého házíme míč.

  • Nápověda 2: Pohyb míče ve vodorovném a svislém směru

    Jaký pohyb vykonává míč ve vodorovném směru? Jaký pohyb vykonává míč ve svislém směru?

  • Nápověda 3: Rychlost míče ve vodorovném a svislém směru

    Jaká je rychlost míče ve vodorovném směru a jak se mění s časem x-ová souřadnice míče?

    Jaká je rychlost míče ve svislém směru a jak se mění s časem y-ová souřadnice míče?

    Jaké hodnoty budou mít souřadnice x a y v okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše? Napište příslušné vztahy a vyjádřete z nich druhou mocninu počáteční rychlosti v02 (využijte ještě vztah tg β = H/L).

  • Nápověda 4: Minimální hodnota výrazu

    Pro jaký úhel α bude hodnota výrazu pro v02 minimální?

  • Nápověda 5: Počáteční rychlost pro optimální úhel

    Spočítejte počáteční rychlost v0 pro optimální úhel α, tedy pro případ, kdy sin(2αβ) = 1. Sinus a kosinus úhlu β vyjádřete pomocí vzdáleností H a L.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Označíme si L a H vodorovnou a svislou vzdálenost středu obroučky od počátečního bodu vrhu, α elevační úhel, β záměrný úhel, t dobu letu, v0 počáteční rychlost míče, v rychlost míče při průletu košem (viz obrázek 1, 2).

     

    Obrázek 1:

     

    Basketbalista - označení

    H=h1h2

     

    Obrázek 2:

     

    Basketbalista - označení

     

    Ve vodorovném směru vykonává míč rovnoměrný přímočarý pohyb.Ve svislém směru vykonává míč vrh svislý vzhůru.

    Platí:

    vx=v0cosα, vy=v0sinαgt, x=v0tcosα, y=v0tsinα12gt2.  

    V okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše, bude platit:

    x=L=v0tcosα.

    Tedy:

    t=Lv0cosα, y=H=v0tsinα12gt2=LtgαgL22v20cos2α.

    Odtud:

    gL22v20cos2α=LtgαH, gL2LtgαH=2v20cos2α, v20=gL22(LtgαH)cos2α=gL22(LsinαcosαHcos2α).

    Po dosazení H=Ltgβ  a úpravě dostaneme:

    v20=gL22(LsinαcosαLtgβcos2α)=gLsin2αtgβ(1+cos2α), v20=gLcosβsin2αcosβsinβsinβcos2α=gLcosβsin(2αβ)sinβ.

     

    Poznámka: Při úpravách jsme použili následující goniometrické vztahy:

    2sinαcosα=sin2α, cos2α=cos2αsin2α, sin(2αβ)=sin2αcosβcos2αsinβ.

     

    Hodnota výrazu bude minimální, jestliže bude maximální hodnota jmenovatele, tedy jestliže:

    sin(2αβ)=1, 2αβ=90.

    Tedy, když platí:

    α=45+β2.

    V takovém případě:

    v20=gLcosβ1sinβ.

    Platí:

    cosβ=LH2+L2, sinβ=HH2+L2.

    S použitím    H=h1h2:

    cosβ=L(h1h2)2+L2, sinβ=h1h2(h1h2)2+L2.

    Pak:

    v20=gL2H2+L21HH2+L2=gL2H2+L2H=g(H2+L2+H).

    S použitím     H=h1h2:

    v20=g((h1h2)2+L2+(h1h2)).

    Číselně pro zadané hodnoty:

    sinβ=3,052,45(3,052,45)2+5,4252. Z toho plyne: β˙=6. Pak: α=45+β2, α˙=48. Dále: v20=9,81((3,052,45)2+5,4252+(3,052,45))m2s2, v0˙=7,7ms1.
  • Odpověď:

    Optimální elevační úhel je:

    α=45+β2,        kde      sinβ=h1h2(h1h2)2+L2.

    Pro zadané hodnoty:    α˙=48.

    Příslušná velikost počáteční rychlosti míče je:

    v20=g((h1h2)2+L2+(h1h2)).

    Pro zadané hodnoty:

    v0˙=7,7ms1.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na dokazování, ověřování
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz 
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
En translation
Pl translation
Zaslat komentář k úloze