Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Basketbalista
Úloha číslo: 132
Obroučka koše na basketbal se nachází ve výšce h1 nad podlahou. Střed koše je ve vodorovné vzdálenosti L od čáry trestného hodu. Basketbalista hází trestné hody, přičemž míč opouští jeho ruku v poloze, kdy jeho střed je přesně nad čárou trestného hodu ve výšce h2 nad podlahou.
Optimální elevační úhel α je takový, při němž střed míče projde středem obroučky a přitom je zapotřebí co nejmenší počáteční rychlost míče. Dokažte obecně, že tento úhel má velikost α = 45˚ + β/2, kde β je záměrný úhel, tj. odchylka spojnice středu obroučky a počátečního bodu vrhu od vodorovné roviny.
Určete optimální elevační úhel pro zadané hodnoty a vypočtěte příslušnou velikost počáteční rychlosti míče.
Odpor vzduchu zanedbejte.
Řešte pro hodnoty: h1 = 3,05 m, L = 5,425 m, h2 = 2,45 m, g = 9,81 m·s-2 .
Zápis
h1 = 3,05 m výška obroučky koše nad podlahou h2 = 2,45 m výška středu míče nad podlahou v okamžiku odhození L = 5,425 m vodorovná vzdálenost středu koše od čáry trestného hodu α = ? optimální elevační úhel v0 = ? (m·s−1)
velikost počáteční rychlosti míče odpovídající optimálnímu elevačnímu úhlu Z tabulek: g = 9,81 m·s−2
tíhové zrychlení
Nápověda 1: Obrázek situace
Nakreslete obrázek zachycující danou situaci, vyznačte do něj elevační a záměrný úhel, vzdálenost L a výšku obroučky koše nad místem, ze kterého házíme míč.
Nápověda 2: Pohyb míče ve vodorovném a svislém směru
Jaký pohyb vykonává míč ve vodorovném směru? Jaký pohyb vykonává míč ve svislém směru?
Nápověda 3: Rychlost míče ve vodorovném a svislém směru
Jaká je rychlost míče ve vodorovném směru a jak se mění s časem x-ová souřadnice míče?
Jaká je rychlost míče ve svislém směru a jak se mění s časem y-ová souřadnice míče?
Jaké hodnoty budou mít souřadnice x a y v okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše? Napište příslušné vztahy a vyjádřete z nich druhou mocninu počáteční rychlosti v02 (využijte ještě vztah tg β = H/L).
Nápověda 4: Minimální hodnota výrazu
Pro jaký úhel α bude hodnota výrazu pro v02 minimální?
Nápověda 5: Počáteční rychlost pro optimální úhel
Spočítejte počáteční rychlost v0 pro optimální úhel α, tedy pro případ, kdy sin(2α−β) = 1. Sinus a kosinus úhlu β vyjádřete pomocí vzdáleností H a L.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ:
Označíme si L a H vodorovnou a svislou vzdálenost středu obroučky od počátečního bodu vrhu, α elevační úhel, β záměrný úhel, t dobu letu, v0 počáteční rychlost míče, v rychlost míče při průletu košem (viz obrázek 1, 2).
Obrázek 1:
H=h1−h2Obrázek 2:
Ve vodorovném směru vykonává míč rovnoměrný přímočarý pohyb.Ve svislém směru vykonává míč vrh svislý vzhůru.
Platí:
vx=v0cosα, vy=v0sinα−gt, x=v0tcosα, y=v0tsinα−12gt2.V okamžiku, kdy míč doletí do obroučky koše, bude platit:
x=L=v0tcosα.Tedy:
t=Lv0cosα, y=H=v0tsinα−12gt2=Ltgα−gL22v20cos2α.Odtud:
gL22v20cos2α=Ltgα−H, gL2Ltgα−H=2v20cos2α, v20=gL22(Ltgα−H)cos2α=gL22(Lsinαcosα−Hcos2α).Po dosazení H=Ltgβ a úpravě dostaneme:
v20=gL22(Lsinαcosα−Ltgβcos2α)=gLsin2α−tgβ(1+cos2α), v20=gLcosβsin2αcosβ−sinβ−sinβcos2α=gLcosβsin(2α−β)−sinβ.Poznámka: Při úpravách jsme použili následující goniometrické vztahy:
2sinαcosα=sin2α, cos2α=cos2α−sin2α, sin(2α−β)=sin2αcosβ−cos2αsinβ.Hodnota výrazu bude minimální, jestliže bude maximální hodnota jmenovatele, tedy jestliže:
sin(2α−β)=1, 2α−β=90∘.Tedy, když platí:
α=45∘+β2.V takovém případě:
v20=gLcosβ1−sinβ.Platí:
cosβ=L√H2+L2, sinβ=H√H2+L2.S použitím H=h1−h2:
cosβ=L√(h1−h2)2+L2, sinβ=h1−h2√(h1−h2)2+L2.Pak:
v20=gL2√H2+L21−H√H2+L2=gL2√H2+L2−H=g(√H2+L2+H).S použitím H=h1−h2:
v20=g(√(h1−h2)2+L2+(h1−h2)).Číselně pro zadané hodnoty:
sinβ=3,05−2,45√(3,05−2,45)2+5,4252. Z toho plyne: β˙ = 6∘. Pak: α=45∘+β2, α˙=48∘. Dále: v20=9,81(√(3,05−2,45)2+5,4252+(3,05−2,45))m2⋅s−2, v0˙=7,7m⋅s−1.Odpověď:
Optimální elevační úhel je:
α=45∘+β2, kde sinβ=h1−h2√(h1−h2)2+L2.Pro zadané hodnoty: α˙=48∘.
Příslušná velikost počáteční rychlosti míče je:
v20=g(√(h1−h2)2+L2+(h1−h2)).Pro zadané hodnoty:
v0˙=7,7m⋅s−1.