Spojené nádoby

Úloha číslo: 1026

Dvě kapaliny o hustotách 1 000 kg·m⁻³ a 1 800 kg·m⁻³ jsou v rovnováze v uzavřených válcových nádobách o průřezech 0,5 m² a 0,3 m² spojených krátkou trubicí o průřezu 4·10⁻⁴ m². Nad hladinou kapalin je vzduch, který má v první nádobě tlak 2·10⁵ Pa a v druhé nádobě tlak 1,5·10⁵ Pa. Výška hladiny v první nádobě je 2 m. Ve spojovací trubici je volně pohyblivá zátka zabraňující promísení kapalin. Určete velikost tlakové síly, která působí na zátku zleva a objem kapaliny ve druhé nádobě.

Zápis

ρ₁ = 1000 kg·m⁻³	hustota kapaliny v 1. nádobě
ρ₂ = 1800 kg·m⁻³	hustota kapaliny ve 2. nádobě
S₁ = 0,5 m²	obsah průřezu válcové nádoby č. 1
S₂ = 0,3 m²	obsah průřezu válcové nádoby č. 2
S₃ = 4·10⁻⁴ m²	obsah průřezu spojovací trubice
p₀₁ = 2·10⁵ Pa	tlak vzduchu nad kapalinou v 1. nádobě
p₀₂ = 1,5·10⁵ Pa	tlak vzduchu nad kapalinou ve 2. nádobě
h₁ = 2 m	výška hladiny v 1. nádobě
F₁ = ?	velikost tlakové síly působící zleva na zátku
V = ?	objem kapaliny v nádobě č. 2

Nápověda 1
Při výpočtu tlakové síly na zátku vyjděte z definičního vztahu pro tlak.
Řešení nápovědy 1
Tlak je definován jako podíl síly působící na danou plochu a obsahu této plochy (v našem případě jde o obsah plochy zátky S₃). Odtud vyjádříme tlakovou sílu F₁ působící na zátku zleva (tj. v nádobě č.1):
\[p_1\,=\,\frac{F_1}{S_3}\,\Rightarrow\,F_1\,=\,p_{1}S_{3}\,,\tag{1}\]
kde p₁ je tlak v místě, kde je umístěna zátka.
Nápověda 2
Předpokládáme, že zátka je - co se týče hloubky - umístěna na dně spojených nádob (zhodnoťte, jak je tento předpoklad nepřesný). Jaký je v takovém případě tlak v místě, kde je zátka umístěna? Uvědomte si, jaké vlivy k této výsledné hodnotě tlaku přispívají.
Řešení nápovědy 2
Tlak p₁ na dně nádoby č. 1 (kde je zátka umístěna) je určen součtem tlaku vzduchu p₀₁ nad hladinou kapaliny a hydrostatického tlaku p_h1 způsobeného vlastní tíhou kapaliny:
\[p_1\,=\,p_{01}\,+\,p_\mathrm{h1}\,.\tag{2}\]
Pomocí známého vztahu pro hydrostatický tlak můžeme psát:
\[p_1\,=\,p_{01}\,+\,{h_1}{\rho}_1g\,,\tag{3}\]
kde ρ₁ je hustota kapaliny v nádobě č. 1 a g tíhové zrychlení.

Poznámka: V naší úvaze jsme umístili zátku na samé dno nádoby č. 1, reálně jsou různé části vertikálně umístěné zátky v různých hloubkách a tlak bychom měli počítat pro hloubku, ve které se nachází střed zátky. Ze zadání je však patrné, že plocha zátky, a tedy i její rozměry jsou ve srovnání s ostatními rozměry experimentu velmi malé – pro plochu zátky platí:
\[S_3\,=\,{\pi}r^2\,\Rightarrow\,r\,=\,\sqrt{\frac{S_3}{\pi}}\,=\,\sqrt{\frac{4{\cdot}10^{-4}}{\pi}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1\,\mathrm{cm}\,,\]
kde r je poloměr zátky. Hloubka středu zátky a hloubka h₁ se tedy liší přibližně o 1 cm, což lze vzhledem k zadané hodnotě h₁ = 2 m zanedbat.
Nápověda 3
Dosaďte ze vztahu (3) do vztahu (1) a vypočítejte tlakovou sílu na zátku (z levé strany).
Řešení nápovědy 3
Dosazením ze vztahu (3) do vztahu (1) dostáváme:
\[F_1\,=\,(p_{01}\,+\,h_1{\rho}_1g)S_3\,.\tag{4}\]
Číselně:
\[F_1\,\dot=\,(2{\cdot}10^5\,+\,2{\cdot}1000{\cdot}9{,}81){\cdot}4{\cdot}10^{-4}\,\mathrm{N}\,\dot=\,88\,\mathrm{N}\,.\]
Nápověda 4
Nyní určíme objem kapaliny ve druhé nádobě. Objemu jakého tělesa tento objem odpovídá?
Řešení nápovědy 4
Obě nádoby jsou válcové, objem kapaliny ve druhé nádobě tedy určíme jako objem válce:
\[V\,=\,S_2h_2\,.\tag{5}\]
Velikost podstavy je zadána, zbývá tedy určit výšku sloupce kapaliny h₂ v nádobě č. 2.
(Ze stejných důvodů jako v poznámce z řešení nápovědy 2 můžeme zanedbat malý objem kapaliny ve spojovací trubici.)
Nápověda 5
V zadání se říká, že kapaliny jsou v nádobách v rovnováze. Co to znamená pro pohyb zátky a síly na ni působící? Pomůže vám to k určení výšky/hloubky h₂?
Řešení nápovědy 5
Jsou-li kapaliny v rovnováze, je výška jejich hladin ustálená a nedochází k přesunu kapalin z jedné nádoby do druhé – zátka tedy zůstává v klidu. Síly na ni působící zleva a zprava musí mít stejnou velikost:
\[F_1\,=\,F_2\,.\tag{6}\]
Nápověda 6
Velikost síly F₁ jste již vypočítali, využijte podobný vztah také pro výpočet síly F₂ a dosaďte do vztahu (6). Odtud vyjádřete výšku h₂.
Řešení nápovědy 6
Síla F₁ je obecně vyjádřena vztahem (4), sílu F₂ lze vyjádřit analogicky:
\[F_2\,=\,(p_{02}\,+\,h_2{\rho}_2g)S_3\,.\tag{7}\]
Spojením vztahů (4), (6) a (7) dostáváme:
\[(p_{01}\,+\,h_1{\rho}_1g)S_3 = (p_{02}\,+\,h_2{\rho}_2g)S_3\,.\]
Úpravou:
\[h_2\,=\,\frac{p_{01}\,-\,p_{02}\,+\,h_1{\rho}_1g}{{\rho}_2g}\,.\tag{8}\]
Nápověda 7
Dosaďte vyjádřenou výšku ze vztahu (8) do vztahu (5) a dopočítejte objem V.
Řešení nápovědy 7
Spojením vztahů (5) a (8) dostáváme:
\[V\,=\,h_2S_2\,=\,\frac{p_{01}\,-\,p_{02}\,+\,h_1{\rho}_1g}{{\rho}_2g}S_2\,.\]
Číselně:
\[V\,=\,\frac{2{\cdot}10^5\,-\,1{,}5{\cdot}10^5\,+\,2{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{1800{\cdot}9{,}81}{\cdot}0{,}3\,\mathrm{m^3}\,=\,1{,}18\,\mathrm{m^3}\,.\]
Celkové řešení
Při výpočtu tlakové síly vyjdeme z definice tlaku. Tlak je definován jako podíl síly působící na danou plochu a obsahu této plochy (v našem případě jde o obsah plochy zátky S₃). Odtud vyjádříme tlakovou sílu F₁ působící na zátku zleva (tj. v nádobě č. 1):
\[p_1\,=\,\frac{F_1}{S_3}\,\Rightarrow\,F_1\,=\,p_{1}S_{3}\,,\tag{1}\]
kde p₁ je tlak v místě, kde je umístěna zátka. Tento tlak je určen součtem tlaku vzduchu p₀₁ nad hladinou kapaliny a hydrostatického tlaku p_h1 způsobeného vlastní tíhou kapaliny:
\[p_1\,=\,p_{01}\,+\,p_\mathrm{h1}\,.\tag{2}\]
Pomocí známého vztahu pro hydrostatický tlak můžeme psát:
\[p_1\,=\,p_{01}\,+\,{h_1}{\rho}_1g\,,\tag{3}\]
kde ρ₁ je hustota kapaliny v nádobě č. 1 a g tíhové zrychlení.

Poznámka: V naší úvaze jsme umístili zátku na samé dno nádoby č. 1, reálně jsou různé části vertikálně umístěné zátky v různých hloubkách a tlak bychom měli počítat pro hloubku, ve které se nachází střed zátky. Ze zadání je však patrné, že plocha zátky a tedy i její rozměry jsou ve srovnání s ostatními rozměry experimentu velmi malé – pro plochu zátky platí:
\[S_3\,=\,{\pi}r^2\,\Rightarrow\,r\,=\,\sqrt{\frac{S_3}{\pi}}\,=\,\sqrt{\frac{4{\cdot}10^{-4}}{\pi}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1\,\mathrm{cm}\,,\]
kde r je poloměr zátky. Hloubka středu zátky a hloubka h₁ se tedy liší přibližně o 1 cm, což lze vzhledem k zadané hodnotě h₁ = 2 m zanedbat.

Dosazením ze vztahu (3) do vztahu (1) dostáváme:
\[F_1\,=\,(p_{01}\,+\,h_1{\rho}_1g)S_3\,.\tag{4}\]
Číselně:
\[F_1\,\dot=\,(2{\cdot}10^5\,+\,2{\cdot}1000{\cdot}9{,}81){\cdot}4{\cdot}10^{-4}\,\mathrm{N}\,\dot=\,88\,\mathrm{N}\,.\]
Tlaková síla působící zleva na zátku má velikost přibližně 88 N.

Objem kapaliny ve druhé nádobě určíme jako objem válce:
\[V\,=\,S_2h_2\,.\tag{5}\]
Velikost podstavy je zadána, zbývá tedy určit výšku sloupce kapaliny h₂ v nádobě č. 2.
(Ze stejných důvodů jako v poznámce výše můžeme zanedbat malý objem kapaliny ve spojovací trubici.)
Jsou-li kapaliny v rovnováze, je výška jejich hladin ustálená a nedochází k přesunu kapalin z jedné nádoby do druhé – zátka tedy zůstává v klidu. Síly na ni působící zleva a zprava tedy musí mít stejnou velikost:
\[F_1\,=\,F_2\,.\tag{6}\]
Síla F₁ je obecně vyjádřena vztahem (4), sílu F₂ lze vyjádřit analogicky:
\[F_2\,=\,(p_{02}\,+\,h_2{\rho}_2g)S_3\,.\tag{7}\]
Spojením vztahů (4), (6) a (7) dostáváme:
\[(p_{01}\,+\,h_1{\rho}_1g)S_3 = (p_{02}\,+\,h_2{\rho}_2g)S_3\,.\]
Úpravou:
\[h_2\,=\,\frac{p_{01}\,-\,p_{02}\,+\,h_1{\rho}_1g}{{\rho}_2g}\,.\tag{8}\]
Spojením vztahů (5) a (8) dostáváme:
\[V\,=\,h_2S_2\,=\,\frac{p_{01}\,-\,p_{02}\,+\,h_1{\rho}_1g}{{\rho}_2g}S_2\,.\]
Číselně:
\[V\,=\,\frac{2{\cdot}10^5\,-\,1{,}5{\cdot}10^5\,+\,2{\cdot}1000{\cdot}9{,}81}{1800{\cdot}9{,}81}{\cdot}0{,}3\,\mathrm{m^3}\,=\,1{,}18\,\mathrm{m^3}\,.\]
Objem kapaliny ve druhé nádobě je přibližně 1,18 m³.
Odpověď
Tlaková síla působící zleva na zátku má velikost přibližně 88 N.

Objem kapaliny ve druhé nádobě je přibližně 1,18 m³.