Sbírka řešených úloh

Obvodová rychlost na Zemi

Úloha číslo: 194

Jaká je obvodová rychlost bodu během denní rotace Země, jestliže bod je:

a) na zemském rovníku,

b) na 50 ° severní šířky.

 

• Zápis

  T = 23 h 56 min 4 s	siderická doba rotace Země
  R = 6378 km	poloměr Země
  α = 50 °	severní šířka
  vR = ?	obvodová rychlost na rovníku
  v50 = ?	obvodová rychlost na 50 ° s. š.

• Nápověda 1

  Rozmyslete si, která fyzikální veličina popisující otáčivý pohyb je vhodná pro vyjádření obvodové rychlosti.

• Řešení nápovědy 1

  Obvodovou rychlost určíme pomocí úhlové rychlosti ω, jejíž velikost nezávisí na vzdálenosti otáčejícího se bodu od osy otáčení. Pro velikost obvodové rychlosti platí v = ωr, kde r je kolmá vzdálenost bodu od osy otáčení.

• Nápověda 2: Úhlová rychlost, vzdálenost bodu od osy otáčení

  Pomocí vhodného vztahu spočítejte úhlovou rychlost.

  Za pomoci obrázku určete kolmé vzdálenosti bodu na rovníku a bodu na 50 ° s. š. od osy otáčení.

• Řešení nápovědy 2

  Úhlová rychlost

  Pro úhlovou rychlost rotace Země platí:

  $$\omega = \frac{2\pi}{T},$$ $$T = 23 \mathrm{h}\, 56 \mathrm{min}\, 4 \mathrm{s} = 86164 \mathrm{s},$$ $$\omega = \frac{2\pi}{86164}\, \mathrm{s^{-1}} \dot{=} 7{,}292{\cdot} 10^{-5} \, \mathrm{s^{-1}}.$$

   

  Kolmé vzdálenosti

  Kolmá vzdálenost bodu na rovníku od osy otáčení je rovna poloměru Země.

  Kolmou vzdálenost bodu na 50 ° s. š. určíme pomocí následujícího obrázku.

  

  Na obrázku vidíme, že hledaná vzdálenost r je odvěsna pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky poloměru Země R. Platí tedy:

  $$r = R\cos\alpha = 6378 \, \mathrm{km}\cdot \cos 50^{\circ} \dot{=}\, 4099 \, \mathrm{km}.$$

   

  Obvodové rychlosti

  Nyní již stačí dosadit získané hodnoty do rovnice pro obvodovou rychlost.

  a) $$v_\mathrm{R} = \omega R \dot{=} 7{,}292 {\cdot} 10^{-5}\cdot 6378\, \mathrm{km \cdot s^{-1}} \dot{=} 0{,}465\, \mathrm{km \cdot s^{-1}} \dot{=}\, 465\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

  b) $$v_{50} = \omega r = \frac{v_\mathrm{R}}{R} R\cos\alpha = v_\mathrm{R}\cos\alpha \dot{=} 465 \cdot \cos 50^{\circ} \,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\dot{=}\, 299\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

   

  Poznámka:

  Siderická doba rotace je doba jednoho otočení Země okolo své osy vůči vzdáleným hvězdám. Tato doba je 23 h 56 min 4 s.

  Pokud za periodu rotace Země dosadíme 24 h, dostaneme chybu v úhlové rychlosti na druhém desetinném místě, tedy přibližně 7,272·10⁻⁵ s⁻¹.

  Výsledná rychlost pak je přibližně v případě a) 464 m·s⁻¹ a v případě b) 298 m·s⁻¹.

• Celkové řešení

  Obvodovou rychlost určíme pomocí úhlové rychlosti ω, jejíž velikost nezávisí na vzdálenosti otáčejícího se bodu od osy otáčení. Pro velikost obvodové rychlosti platí v = ωr, kde r je kolmá vzdálenost bodu od osy otáčení.

  Úhlová rychlost

  Pro úhlovou rychlost rotace Země platí:

  $$\omega = \frac{2\pi}{T},$$ $$T = 23 \mathrm{h}\,56 \mathrm{min}\, 4 \mathrm{s} = 86164\, \mathrm{s},$$ $$\omega = \frac{2\pi}{86164}\, \mathrm{s^{-1}} \dot{=} 7{,}292{\cdot} 10^{-5} \, \mathrm{s^{-1}}.$$

   

  Kolmé vzdálenosti

  Kolmá vzdálenost bodu na rovníku od osy otáčení je rovna poloměru Země.

  Kolmou vzdálenost bodu na 50 ° s. š. určíme pomocí následujícího obrázku.

  

  Na obrázku vidíme, že hledaná vzdálenost r je odvěsna pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky poloměru Země R. Platí tedy:

  $$r = R\cos\alpha = 6378 \, \mathrm{km} \cdot \cos 50^{\circ} \dot{=}\, 4099 \, \mathrm{km}.$$

   

  Obvodové rychlosti

  Nyní již stačí dosadit získané hodnoty do rovnice pro obvodovou rychlost.

  a) $$v_\mathrm{R} = \omega R \dot{=} 7{,}292 {\cdot} 10^{-5}\cdot 6378\, \mathrm{km \cdot s^{-1}} \dot{=} 0{,}465\, \mathrm{km \cdot s^{-1}} \dot{=}\, 465\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

  b) $$v_{50} = \omega r = \frac{v_\mathrm{R}}{R} R\cos\alpha = v_\mathrm{R}\cos\alpha \dot{=} 465 \cdot \cos 50^{\circ} \,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\dot{=}\, 299\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

   

  Poznámka:

  Siderická doba rotace je doba jednoho otočení Země okolo své osy vůči vzdáleným hvězdám. Tato doba je 23 h 56 min 4 s.

  Pokud za periodu rotace Země dosadíme 24 h, dostaneme chybu v úhlové rychlosti na druhém desetinném místě, tedy přibližně 7,272·10⁻⁵ s⁻¹.

  Výsledná rychlost pak je přibližně v případě a)  464 m·s⁻¹ a v případě b) 298 m·s⁻¹.

• Odpověď

  Obvodová rychlost bodu na rovníku je přibližně 465 m·s⁻¹ a bodu na 50 ° s. š. je asi 299 m·s⁻¹.